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2025赛季一试模拟（三)
一、填空题（每小题8分，共64分）
1.满足x∈[0,1]，且log2(1og2(2x+2)+22x为整数的实数x的个数为
2.已知函数f(x)=x2一2ax十a2一1，若关于x的不等式f(f(x)<0的解集为空
集，则实数a的取值范围是
0
3.已知0.84.在等腰直角三角形ABC中，|AB|=AC=4,点P是边
AB上异于A、B的一点，光线从点P出发，经BC、CA反射后又回
到点P(如图所示)。若光线QR经过△ABC的重心，则|AP|等于
R
5.在棱长为1的正方体M内，作一个内切大球O1,在M内作
一个小球O2,使它与大球O,外切，同时与正方体的三个面都相切，
则球O2的表面积为
(第↓题)
6.在△ABC中，B=否，AC=1,点D在边AB上，且DA=DC,BD=l,则∠DCA=
7.已知互不相等的三个实数a、b、c成等比数列，且loga、logc、log,b构成公差为d
的等差数列。则d=
8.一个标准的正方体骰子（每个面分别标上数字1~6）被投掷4次，投掷出的数字的乘
积恰为完全平方数的概率为
二、解答题（共56分）
9.(16分)数列{a}满足a1=a,=1,a2o=a21,a+=a+一2ar1十am,求a1十
a2十…十Q2022的值。
10.(20分)设两两不同的复数1,1，，，模均为1，之=24十十…+名，n≥
2。证明：存在唯一实数列(a},使得a∈(0,1)，且a4=z-(1-a)·z4,其中点∈(1，
2,…,n},且
宫-≥21-.
11.(20分)已知双线C:一y=1(a>0)的左右焦点分别为F、F1,过双曲鱼
左焦点F,的直线！与双曲线左支交于M、N两点，MNI的最小值为？3。
(1)求双曲线C的轨迹方程；
(2)过F2的直线交双曲线于B1、C,两点，过点(3，O)的直线交双曲线于B:、C 两点，
且B,C1、BC2的斜率之积为2022，以B,C1、B,C2为直径的圆相交于X、Y两点。
位已知点s(停，0求冠C的值，
()求原点到直线XY的最大距离。
2025赛季一试模拟（三)答案
1,14解析：因为f(x)=og2(log2(2x+2)+22x+2在区间[0,1]上单调递增，且∫(0)=4，
f(1)=17,知共有14个实数x满足f(x)为整数。
2a≤-2解析：由f(x)<0,得a一1不等式a-13.a1>a°>a>a,
故a4专解析：以点A为坐标原点，分别以AB、AC所在宜线为
x轴、y轴，建立如图所示的平面直角坐标系。因为AB=AC=4,
所以B(4,0),C(0,4)。设点P(,0)(0点为P'(-t,0),点P关于直线BC的对称点为M(a,b),则
6-1)=-1
a-
+-4=0，
解得
=4,,所以M(4,4-)。由光的
6=4-t,
(第4题)
2T2
反射定律，可知点P、M一定在直线RQ上.易知△ABC的重心坐标为G(停，号)·
由题意可
知点G在线段RQ上，故P'、G、M三点共线。因为
P店=（停+，），m=(←4-，-4，
P∥应，所以（侍+-4）--4-t)=0,解得1=或1=
B
0(舍去)，故1AP=号·
5.(7一43)π解析：如图，取出正方体的对角面，设球O2的半径
为则0,0+0B=-0,B得号+r+-解得，25故球
M
N B
2
(第5题)
0,的表面积为(7一4W3)π。
6奇或5解折：设∠DCA=0,则∠A=0,
A
∠C8=x-骨-20-爱-2，
D
6
则AC=1=2DC·s0,
C
(第6题)

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