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2024-2025学年安徽省蒙城第一中学高二下学期期末模拟
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知函数在处可导，且，则( )
A. B. C. D.
2.正项等比数列中，，，则( )
A. B. C. D.
3.已知随机变量服从正态分布，且，则等于( )
A. B. C. D.
4.三棱锥中，，点为中点，点满足，则( )
A. B.
C. D.
5.已知直线：，：，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6.北京有悠久的历史和丰富的文化底蕴，其美食也独具特色．现有一名游客每天分别从北京烤鸭、炸酱面、糖火烧、豆汁、老北京涮羊肉、爆肚这种美食中随机选择种品尝选择的种美食不分先后顺序，若三天后他品尝完这种美食，则这三天他选择美食的不同选法种数为( )
A. B. C. D.
7.已知数列的前项和为，且，，，则( )
A. B. 为奇数时，
C. D.
8.已知双曲线的左右焦点分别为，若在上存在点不是顶点，使得，则的离心率的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若，则下列说法正确的是( )
A. 的展开式中奇数项的二项式系数之和为
B.
C.
D. 的展开式中二项式系数最大项为
10.已知函数，其导函数为，则下列说法正确的是( )
A.
B. 在区间上单调递减
C. 无最大值，有最小值
D. 若函数有两个零点，则
11.已知，，是抛物线：上不同的动点，为抛物线的焦点，直线为抛物线的准线，的中点为，则( )
A. 当时，的最大值为
B. 当时，的最小值为
C. 当时，直线的斜率为
D. 当时，点到直线的距离的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.数列的前项和且若，则 ．
13.已知随机变量，且，则的展开式中常数项为 ．
14.已知正四棱锥的底面边长为，该四棱锥内部的球与其所有面均相切，若球面上有且仅有一点满足，则球的表面积为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
设正项等比数列，，且、的等差中项为．
求数列的通项公式；
若，数列的前项为，数列满足，为数列的前项和，求．
16.本小题分
如图，四棱柱的底面是正方形，，平面D.
求点到平面的距离；
若是线段上一点，平面与平面夹角的余弦值为时，求的值．
17.本小题分
甲、乙两名小朋友每人手中各有张龙年纪念卡片，其中甲的张卡片的颜色为张金色和张银色，乙手中的张卡片的颜色都是金色．现在两人各从自己的卡片中随机抽取张，去与对方交换，重复次这样的操作，记甲手中有银色纪念卡片张，恰有张银色纪念卡片的概率为，恰有张银色纪念卡片的概率为．
分别求，的值，求操作几次后甲手中的银色纪念卡片就可能首次出现张，并求首次出现这种情况的概率．
记．
(ⅰ)证明数列是等比数列；
(ⅱ)求的数学期望．用表示
18.本小题分
已知函数．
若函数在点处的切线与直线平行，求函数的极值；
若，对于任意，当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．
19.本小题分
已知椭圆：，，椭圆内部的一点，过点作直线交椭圆于，作直线交椭圆于．、是不同的两点．
若椭圆的离心率是，求的值；
设的面积是，的面积是，若，时，求的值；
若点，满足且，则称点在点的左上方．求证：当时，点在点的左上方．
参考答案
1.
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9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：设等比数列的公比为，则，
由题意可得，解得，
则．
解：由得，则，
所以，数列为等差数列，所以，，
所以，，
则．

16.解：连接交于点．
因为平面，平面，所以，
又，，C、平面，
所以平面，
又平面，所以平面平面．
因为平面，平面，所以，
又，所以，
在中，，，所以．
又为的中点，所以且，
又平面平面，平面平面，且平面，
所以平面．
故点到平面的距离为．
以为原点，分别以，，所在直线为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
由，可得，
，，
由知，平面的一个法向量，
设，
所以，，，
设为平面的一个法向量，
由得
取，
设平面与平面的夹角为，
则有，
解得舍负，
即．
17.根据题意，表示“重复次操作，甲手中恰有张银色纪念卡片”的概率，包含两种情况：
第一次甲交换金色卡片，第二次甲还交换金色卡片；
第一次甲交换银色卡片，第二次甲交换金色卡片，乙交换银色卡片，
则，，，
表示“重复次操作，甲手中恰有张银色纪念卡片”的概率，包含两种情况：
第一次甲交换金色卡片，第二次甲交换银色卡片；
第一次甲交换银色卡片，第二次甲交换银色卡片，乙交换银色卡片或第二次甲交换金色卡片，
乙交换金色卡片，则．
其中，故交换一次不会出现的情况，而，
操作两次甲手中的银色纪念卡片就可能首次出现张，其概率为．
由题意可得，
，
则，，
所以，，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
(ⅱ)由(ⅰ)知，所以．
的所有可能取值为，，，
其分布列为
从而．
18.解：由题可得函数的定义域为，
，
由题意得，，解得，
所以，
令，解得或，
当或时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减，
则当时，函数取得极小值为
，
当时，函数取得极大值为
．
由得，
不等式可变形为：
，即，
因为，且，
所以函数在上单调递减，
令，，
则在上恒成立，
即在上恒成立，
设，
则，
因为当时，，
所以函数在上单调递减，
所以
，
所以，
则实数的取值范围为．
19.因为椭圆的离心率是．
当时，，得；
当时，，得；
所以的值为或；
由题意，直线的斜率存在，直线的斜率存在，
，直线的方程，设．
则．
，直线的方程，设．
则．
由图，，
注意到，则．
又，同理可得
则
由题意，直线的斜率存在，直线的斜率存在，
，直线的方程，设．
则．
，直线的方程，设．
则．
则又在椭圆内部，则，故．
又根据题意知，所以所以当时，点在点的左上方．

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