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2024-2025学年江苏省南京、镇江、徐州联盟校高二下学期5月学情调研数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.一个盒子里装有大小相同的个黑球和个白球，从中不放回地取出个球，则白球个数的数学期望是( )
A. B. C. D.
2.已知的分布列如下表所示，设，则( )
A. B. C. D.
3.为了研究某种商品的广告投入和收益之间的相关关系，某研究小组收集了组样本数据如表所示，得到线性回归方程为，则当广告投入为万元时，收益的预测值为 万元．
万元
万元
A. B. C. D.
4.将本不同的书分给个同学，每人至少一本，则不同的分法共有种．
A. B. C. D.
5.已知，则的值为( )
A. B. C. D.
6.如图为我国数学家赵爽约世纪初在为周髀算经作注时验证勾股定理的示意图，也叫赵爽弦图，现用种不同颜色给图中的个区域涂色，要求相邻的区域不能涂同一种颜色，则不同的涂色方法共有多少种( )
A. B. C. D.
7.不透明口袋中有个相同的黑色小球和红色白色蓝色的小球各个，从中任取个小球，表示当时取出黑球的数目，表示当时取出黑球的数目，则下列结论中成立的是( )
A. B.
C. D.
8.如图所示，函数及其导函数的图象有且仅有一个公共点，则下列说法正确的是( )
A. 函数的最大值为 B. 函数的最小值为
C. 函数的最大值为 D. 函数的最小值为
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.如图所示，在样本数据中，根据最小二乘法求得线性回归方程为，去掉点后，下列说法正确的是( )
A. 相关系数变大 B. 残差平方和变大 C. 回归系数变大 D. 回归截距变大
10.已知随机事件，的概率分别为，，且，，，则( )
A. 事件与事件相互对立 B. 事件与事件相互独立
C. D.
11.已知函数，若，则下列选项中不正确的是( )
A. B.
C. 若，则 D. 若，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若，则二项式展开式中常数项为 结果用数字作答
13.已知某同学做抛硬币实验，若他连续抛掷一枚质地均匀的硬币次，要使正面至少出现一次的概率超过，则至少需要抛掷硬币 次
14.已知函数满足，，分别是函数极大、极小值点，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数，为实数．
若函数在处的切线经过点，求的值；
若有极小值，且极小值大于，求的取值范围．
16.本小题分
年月日凌晨，我国斯诺克球员赵心童以业余选手身份参赛，连过九轮，最终取得年斯诺克世界锦标赛的冠军，成为了我国乃至亚洲在这一赛事上的第一人，这必将在青少年中掀起一股新的台球热某调研机构为了解青少年对台球的喜爱程度进行问卷调查评价结果仅有“喜爱”、“不喜爱”，从所有参与评价的对象中抽取人进行调查，部分数据如表所示单位：人：
喜欢 不喜欢 合计
男生
女生
合计
请将列联表补充完整，试根据小概率值的独立性检验，能否认为“对台球运动的喜爱与性别有关”？
若将频率视为概率，从所有“喜欢”的青少年中随机选取人，记被选中的人中恰有个男生的概率为，当取何值时，取得最大值．
附：，，．
17.本小题分
为庆祝五一国际劳动节，某科技企业开展人工智能知识竞赛活动，竞赛试题有甲、乙、丙三类，每类题有若干道，各类试题的每题分值及选手小李答题情况如下：甲类题答对一题得分，小李能答对甲类题的概率为，乙类题答对一题得分，小李能答对乙类题的概率为、丙类题答对一题得分，小李能答对丙类题的概率为，各小题回答正确得到相应分值，否则得分竞赛分三轮答题依次进行，竞赛结束各轮得分之和即为选手最终得分。竞赛规则为：第一轮先回答一道甲类题，若正确进入第二轮答题，若错误继续回答另一道甲类题，该题回答正确，同样进入第二轮答题，否则退出比赛。第二轮在乙类题中选择一道作答，若正确进入第三轮答题，否则退出比赛，第三轮在丙类题中选择一道作答．
求小李答题次数恰好为次的概率；
求小李最终得分的数学期望．
18.本小题分
某学校有，两家餐厅，王同学每天中午会在两家餐厅中选择一家用餐，如果前一天选择了餐厅则后一天继续选择餐厅的概率为，前一天选择餐厅则后一天选择餐厅的概率为，如此往复．已知他第天选择餐厅的概率为，第天选择餐厅的概率为．
求王同学第天恰好有两天在餐厅用餐的概率；
求王同学第天选择餐厅用餐的概率．
19.本小题分
若存在一个实数，使得对于函数定义域内的任意，都有，则称有下界，且是的一个下界．
求函数的下界的取值范围：
若是函数的一个下界，求的取值集合；
若是函数的一个下界，求证：的最大值为．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
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7.
8.
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10.
11.
12.
13.
14.
15.解：因为，所以，所以，
又，
所以函数在处的切线方程为，
因为切线经过点，所以，解得；
由知，函数的定义域为，
当时，在上恒成立，
所以在上单调递增，无极值，
当时，令，得，
所以当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
所以当时，函数有极小值，极小值为，
由，所以，所以的取值范围为．

16.解：提出假设：青少年对台球的喜爱与性别无关
填表得：，，，，，
所以．
因为当成立时，
的概率约为，所以我们有的把握认为对台球运动的喜爱与性别有关．
记从喜爱打台球的青少年中选中男生为事件，由频率可知，
，
则，所以，
则，即
解得，
因为，所以．
故当时，取得最大值．
17.解：记事件“小李先答对一道甲类试题”，事件“小李继续答对另一道甲类试题”，
事件“小李答对乙类试题”，事件“小李答对丙类试题”，
则，，，
记事件“小李答题次数恰好为两次”，则，
所以．
设小李最终得分为，则的可能取值为，，，，
则，
，
，
分布表如下：
所以．
18.解：设“王同学第天选择餐厅”．
则，，
，．
由全概率公式，得
，解得．
设“王同学第天恰好有两天在餐厅用餐”，
则，
因此
．
设“王同学第天选择餐厅”，则，，
由题与可得，，
由全概率公式，得
．
则，又因为，
所以是以首项为，公比为的等比数列．
因此，即
19.由函数，得，
令，得，
所以为增函数；
又，
所以当时，，当时，，
所以，故；
函数，得，
若，则，函数在为减函数，
因为，所以当时，，不合题意，舍去，
若，令，得，
故当时，，当时，，
所以函数在单调递减，在上单调递增，
所以，
由题知，
令，，
故当时，，当时，，
所以函数在上单调递减，在单调递增，
所以，所以，所以的取值集合为．
，
即证的最小值为，
，
令，则，
故函数单调递增，又，，
故在上存在唯一零点，即，
故当，，当时，，
故函数在上单调递减，在上单调递增，
故，
由得，
下面证明：；
因为，
所以，即，
令，则上式等式可化为
因为，所以在单调递增，
故，即，
故的最小值为；
即的最大值为，得证．

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