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2024-2025学年山东省百师联盟高二下学期5月联考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.若“，”是假命题，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
3.用数字、、、、组成没有重复数字的三位数，其中满足，且的三位数的个数是( )
A. B. C. D.
4.已知，则的最小值是( )
A. B. C. D.
5.下列说法中，正确的是( )
A. 经验回归直线必经过样本点中心
B. 样本相关系数的值越大，两个变量的相关程度越强
C. 在残差图中，残差点所在的水平带状区域越宽，回归方程的预报精确度越高
D. 根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验，可判断与有关联，此推断犯错误的概率不超过
6.随机变量的取值为，，若，，则等于( )
A. B. C. D.
7.在数字通信中，信号是由数字和组成的序列由于随机因素的干扰，发送的信号或有可能被错误地接收为或已知发送信号时，接收为和的概率分别为和；发送信号时，接收为和的概率分别为和假设发送信号和是等可能的，则接收信号为的概率为( )
A. B. C. D.
8.设函数，若恒成立，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.过点的曲线的切线有条，则的值可能是( )
A. B. C. D.
10.下列结论正确的有( )
A. 若随机变量服从两点分布，，则
B. 若随机变量的方差，则
C. 若随机变量服从二项分布，则
D. 若随机变量服从正态分布，，则
11.已知集合，现随机选取集合中个元素组成集合的元子集记为记该子集中的最小数为，则下列说法正确的有( )
A. 不同的个数为
B. 的取值范围是
C. 在所有集合中随机取个，则取到的的概率为
D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数，则 ．
13.的展开式中的系数为 ．
14.已知不等式，对恒成立，则的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
为了增强市民的交通意识，某社区举办了一次交通规则知识竞赛经统计发现，参加本次知识竞赛的社区居民的竞赛成绩近似服从正态分布．
若有参赛社区居民的成绩低于本次知识竞赛预期的平均成绩，试估计本次知识竞赛预期的平均成绩．
参加了知识竞赛的社区居民可继续参加该社区组织的答题赠话费活动，活动规则如下：每人需回答道题，每答对一道题获得元话费已知能参加了知识竞赛的居民小王答对每道题的概率均为，且每道题答对与否相互独立记小王获得话费为元，求的数学期望和方差．
参考数据：若随机变量，则，，．
16.本小题分
已知函数在处取得极值．
求函数的单调区间；
求函数在区间上的最大值与最小值．
17.本小题分
某赛事结束后，主管部门为提升服务质量，随机采访了名参赛人员，得到如下不完整列联表：
满意度 性别 合计
女性 男性
比较满意
非常满意
合计
补全列联表，依据小概率值的独立性检验，能否认为不同性别的参赛人员对该部门服务质量的评价有差异？
用频率估计概率，现随机采访名女性参赛人员与中男性参赛人员，设表示这人中对该部门服务质量非常满意的人数，求的分布列和数学期望．
附：，．
18.本小题分
甲、乙两工厂试生产同一型号的零件，经检验，甲工厂试生产的零件的合格率为，乙工厂试生产的零件的合格率为，若将将这些零件混合放在一起，则合格率为．
设甲工厂试生产的零件有件，乙工厂试生产的零件有件，求证：；
从混合放在一起的零件中随机抽取一个，若该零件是合格品，求该零件来自甲工厂的概率；
从混合放在一起的零件中随机抽取个，用频率估计概率，记这个零件中来自甲工厂的个数为，求的分布列和数学期望．
19.本小题分
已知函数为自然对数的底数，其中．
试讨论函数的单调性；
若有两个极值点和，记过点，的直线的斜率为，同：是否存在，使得？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.因为，
又正态分布中，，
所以本次知识竞赛预期的平均成绩大约为；
记小王答对题的数量为，则，
由题意得，
则，
所以，
．
16.函数的定义域为，求导得，
由在处取得极值，得，解得，
则，由，得或；
由，得，则为的极小值点，符合题意
函数在上单调递增，在上单调递减，
所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为．
由知，在上单调递增，在上单调递减，
因此，而，
所以函数在区间上的最大值为，最小值为．
17.根据题意，完整的列联表如下
满意度 性别 合计
女性 男性
比较满意
非常满意
合计
零假设不同性别的参赛人员对该部门服务质量的评价没有差异，
根据列联表中的数据，计算得，
依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
即认为不同性别的参赛人员对该部门服务质量的评价有差异．
由列联表，得女性对服务非常满意的概率为，男性对服务非常满意的概率为，
由题意可知，可能的取值为、、，
，，，
故的分布列为
故的数学期望．
18.甲工厂试生产的件零件的合格率为，则合格零件为件；
乙工厂试生产的件零件的合格率为，则合格零件为件，
混合后，总零件为件，合格率为，则混合后合格零件为件，
依题意，，化简得，即．
设甲工厂试生产的零件有件，乙工厂试生产的零件有件，由知，
事件“任取一个混合放在一起的零件，零件来自甲工厂”，
事件“任取一个混合放在一起的零件，零件来自乙工厂”，
事件“任取一个混合放在一起的零件，零件是合格品”，
则，，
所以所求概率．
由知，任取一个混合放在一起的零件，零件来自甲工厂的概率是，
依题意，的可能取值为，，，，且，
，，
，，
所以的分布列为
的数学期望．
19.函数定义域为，求导得，而，
则当时，即在上为增函数，
当时，由，得，即，解得或，
则有或，由，解得，
所以在上递减，在和上递增．
依题意，，求导得，
有两个极值点，即在上有两个不等根和，则，且，
因为，
则，若存在，使得，则，
即，不妨令，亦即成立，
令，，，因此在上递增，
，于是得当时，不成立，
所以不存在，使得．

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