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2024-2025学年云南省昭通市昭通一中教研联盟高二下学期期中考试
数学试卷(A卷)
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.的展开式中按的升幂排列的第项的系数为( )
A. B. C. D.
2.某城市高中数学会考，假设考试成绩服从正态分布如果成绩按照从高到低排列且以，，，的比例将考试成绩分为，，，四个等级，则等级的分数线为 精确到附：若随机变量，则；；
A. B. C. D.
3.安排名志愿者完成项工作，每人至少完成项，每项工作由人完成，则不同的安排方式共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
4.已知离散型随机变量的分布列如下，若，则( )
A. B. C. D.
5.已知函数的大致图象如图所示，则不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
6.若函数在区间上是减函数，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.用总长的钢条制作一个长方体容器的框架接口处与损耗忽略不计，若制作的容器的底面的一边长比另一边长则长方体容积的最大值为( )
A. B. C. D.
8.某人在次射击中击中目标的次数为，且，其中，，则下列说法正确的是( )
A. 若，，则
B. 若确定，则当时，有最小值
C. 若，，则当或时，取得最大值
D. 若，，则
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.数列共有项，前三项成等比数列，后三项成等差数列，第项等于，第项与第项的和等于，第项与第项的和等于求这个数列的第五项为( )
A. B. C. D.
10.已知函数，则( )
A. 有两个极值点
B. 有三个零点
C. 点是曲线的对称中心
D. 直线是曲线的切线
11.甲乙两人参加三局两胜制比赛谁先赢满两局则获得最终胜利已知在每局比赛中，甲赢的概率为，乙赢的概率为，且每局比赛的输赢相互独立．若用表示事件“甲最终获胜”，表示事件“比赛共进行了两局且有人获得了最终胜利”，为“甲赢下第三局时获得了最终胜利”则下列说法正确的有( )
A. B. C. 与互斥 D. 与独立
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.函数在处的切线方程为 ．
13.从，，，中任取个数字，从，，中任取个数字，一共可以组成个没有重复数字的五位数 ．
14.已知数列的首项，的前项和为，且满足，则数列的通项公式为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
某人工智能公司从至年的利润情况如下表所示：
年份
年份代码
利润单位：亿元
根据表中的数据，推断变量与之间是否线性相关．计算与之间的相关系数精确到，并推断它们的相关程度；
求出关于的经验回归方程，并预测该人工智能公司年的利润；
把利润不超过亿元的年份叫做“试销年”，从年到年这七年中任取年，表示取到“试销年”的个数，求的分布列和数学期望．
参考数据：，，，
参考公式：对于一组数据，
相关系数为：；
经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别，．
16.本小题分
求下列数列的和：
；
．
17.本小题分
在信道内传输，，信号，信号的传输相互独立，发送某一信号时，收到的信号字母不变的概率为，收到其他两种字母的信号的概率均为发送五个相同的信号，，的概率均为．
已知发送信号，求收到的信号为的概率；
求收到的信号只有三个的概率；
已知收到的信号为，求发送信号为的概率．
18.本小题分
已知函数．
讨论的单调性；
若有两个零点，求的取值范围．
19.本小题分
甲、乙、丙三人相互做传球训练，第次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人．
求次传球后球在甲手中的概率；
次传球后球在甲手中的概率为．
证明：为等比数列；
当时，．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.．
13.
14.
15.由题设，易知与线性相关，且，
，
由于，可以推断变量与成正线性相关且相关程度很强．
由题设，，，
所以，因此关于的回归方程为，
当时，，即预测该人工智能公司的利润为亿元；
由题意，年到年这七年的“试销年”为三个，
因此从年到年这七年中任取个，取到“试销年”的个数能取的值为，
则，，，
因此的分布列如下：
所以其数学期望为．
16.当时，，
当时，记
：
：，
化简得：，
综上所述：
该数列为，其前项和为，
因为
，
，
，
，
，
所以该数列的一个通项公式为，
．
17.设事件表示“收到”，事件表示“发送”，
．
设事件，，分别表示“发送”、“发送”、“发送”，事件表示“收到的信号只有三个”，
当发送时，收到的信号只有三个的概率为
；
当发送时，收到的信号只有三个的概率为
；
当发送时，收到的信号只有三个的概率为
，
所以
．
设事件表示“收到”，事件，，表示“发送”“发送”“发送”，
，
，
所以．
18.解：由，
则
，
导函数中恒成立，
当时，恒成立，
所以在上有，
所以在上单调递减；
当时，令，，
令，解得，
在上，单调递减，
在上，单调递增．
综上可知：当时，在单调递减，
当时，在单调递减，在单调递增；
若时，由可知：最多有一个零点，
所以不符合题意；
当时，由可知，要使函数有两个零点，则的最小值必须小于，
又，
则，即，
令，，
所以在上单调递增，
又因为，
．
接下来说明时，存在两个零点：
当时，，，
此时，故，
又在上单调递减，，
故存在，使得，
当时，易证，
此时，
故，且满足，
又在上单调递增，，
故存在使得，
所以当时，存在两个零点．
综上所述，的取值范围是．
19.依题意，传球次后球在甲手中包括两个基本事件，即：甲乙甲和甲丙甲，所以传球次后球在甲手中的概率为．
证明：记表示事件“经过次传球后，球在甲的手中”，
设次传球后球在甲手中的概率为，，
则有，
所以
，
即，，
所以，且，
所以数列表示以为首项，为公比的等比数列．
，
所以，
当为大于的奇数时，，
当为正偶数时，，
综上所述，当时，．

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