资源简介

2024-2025 学年广东省湛江市高一下学期 4 月期中联盟考试
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = 3 < 1 ， = ln < 1 ，则 ∩ =( )
A. ( ∞,2) B. 2, e C. (0,2) D. 0, e
2.已知向量 = ( 1,1)， = (2,1)，若 ⊥ ，则 =( )
A. 5 B. 0 C. 4 D. 5
3.如图， ′ ′ ′是利用斜二测画法画出的 的直观图，其中 轴， 轴，且 ′ ′ =
′ ′ = 2，则 的边 =( )
A. 2 B. 4 C. 6 D. 2 2
4.“ > > ”是“ + > ”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5.已知复数 在复平面内对应的点为 ，则满足 2 < | | < 3 的点的集合组成的图形的面积是( )
A. 4π B. 5π C. 6π D. 9π
6.已知函数 ( )的图象关于点(1,0)中心对称，且 ( )在(1, + ∞)上单调，若 > 0， > 0，且 ( ) + ( ) = 0，
2 8
则 + 的最小值是( )
A. 4 B. 92 C. 8 D. 9
7.已知函数 ( ) = 5cos + π7 ( > 0)在 0, π 上恰有 3 个零点，则 的取值范围是( )
A. 33 , 47 B. 33 , 47 C. 2014 14 14 14 7 ,
26 D. 20 , 267 7 7
8.如图，在正四棱锥 中， = 4， = 2 2.从 拉一条细绳绕过侧棱 ， ， 回到 点，则
细绳的最短长度为( )
第 1页，共 7页
A. 2 2 + 2 7 B. 2 7 + 2 C. 3 7 D. 8 2
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题是真命题的是( )
A.棱台的侧面一定是梯形
B.直角三角形绕其一条直角边所在直线旋转一周得到的几何体是圆锥
C.棱台的所有侧棱所在直线一定交于同一点
D.过空间内不同的三点有且仅有一个平面
10.六角螺帽也叫六角螺母，是一种常见的紧固用零件，与螺丝、螺栓、螺钉相互配合使用，起连接紧固机
件的作用．如图，这是某六角螺帽的截面图， 是正六边形的中心，也是圆 的圆心． ， 是圆 上的动点，
且线段 经过点 .已知 = 4， = 6， 是六边形边上的动点，则下列结论正确的是( )
A.若点 与点 重合，则| |的最大值是 7
B.若 是线段 的中点，则 =
C.若 是线段 的中点，则 = 3
D. 的最大值是 7
11.已知直三棱柱 1 1 1的外接球的半径为 5， 是以 为斜边的直角三角形，且 = 6，则( )
A.直三棱柱 1 1 1的体积的最大值是 24
B.直三棱柱 1 1 1的体积的最大值是 72
C.直三棱柱 1 1 1的侧面积的最大值是 48 2 + 48
D.直三棱柱 1 1 1的表面积的最大值是 48 2 + 66
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
第 2页，共 7页
12.若 1 + i + 2i ( ∈ )是纯虚数，则 = ．
13.某班数学老师组织本班学生开展课外实地测量活动，如图，这是要测量的一建筑物的高度 ，选择与该
建筑物底部 在同一水平面上的 ， 两点，测得 = 40 米， ， ， ，
则该建筑物的高度 = 米．
14 π.若向量 ， 满足 = 2 2，且向量 与向量 + 的夹角为 ，则 4 的最小值是 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知复数 1 = 3 4i， 2 = 2 + i，其中 ∈ R．
(1) 当 = 1 时，求 1 ；2
(2)若复数 1 2在复平面内所对应的点位于第三象限，求 的取值范围．
16.(本小题 15 分)
石凳是以天然石材或人造石为原料制作的凳椅，是一种常见的户外休闲设施．如图，这是某广场的石凳直
观图，它是由正方体 1 1 1 1截去四面体 1 ， 1 ， 1 ， 1 得到的，其中
, , , , , , , 均为各棱的中点，且 = 60 厘米．
(1)求该石凳的体积；
(2)求该石凳的表面积(不包含底面 ).
17.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = 3sin2 + 2cos2 ．
(1)求 ( )的单调递减区间；
第 3页，共 7页
(2) π 3π求 ( )在 3 , 4 上的值域；
(3)若 是锐角，且 ( ) = 12，求 cos2 的值．
18.(本小题 17 分)
如图，在 中， = 2， = 6，且 = 3 ， = 3 ， 是 和 的交点．
(1)用 ， 表示 ， ．
(2)证明： ⊥ ．
(3)证明： 是线段 的中点．
19.(本小题 17 分)
如图，在四边形 中， = 2， = 3， 是等边三角形．
(1)若∠ = 60°，求 的面积；
(2)若 = 2，求 的面积；
(3)求 的面积的最大值．
第 4页，共 7页
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.2
13.20
14.2
2
15.(1)当 = 1 时， 2 = 2 + i
3 4i 3 4i 2 i 6 3i 8i+4i 2 11
，则 1 =2 2+i
= 2+i 2 i = 4 i2 = 5 5 i．
(2)因为 1 = 3 4i， 2 = 2 + i，所以 1 2 = 3 4i 2 + i = 6 + 4 + (3 8)i．
6 + 4 < 0
因为 1 2在复平面内所对应的点位于第三象限，所以 3 8 < 0 ,
3 3
解得 < 2，即 的取值范围是 ∞, 2 ．
16.(1)由题意可得正方体 1 1 1 1的体积 1 = 603 = 216000 立方厘米，
1 1四面体 1 的体积 22 = 3 × 2 × 30 × 30 = 4500 立方厘米，
则该石凳的体积 = 1 4 2 = 216000 4 × 4500 = 198000 立方厘米
(2)由题意可得 ， ， ， 均为边长为 30 2厘米的等边三角形，四边形 是边长为 30 2
厘米的正方形，
= 3
2
则 的面积 1 4 × 30 2 = 450 3平方厘米，
2
正方形 的面积 2 = 30 2 = 1800 平方厘米，
五边形 的面积 3 = 60 × 60 30 × 30 = 2700 平方厘米，
故该石凳的表面积 = 4 1 + 2 + 4 3 = 1800 3 + 12600 平方厘米．
第 5页，共 7页
17.(1)由题意可得
( ) = 3sin2 + cos2 + 1 = 2sin 2 + π6 + 1．
2 π + π ≤ 2 + π ≤ 2 π + 3π令 2 6 2 ， ∈ Z，
解得 π + π6 ≤ ≤ π +
2π
3 ， ∈ Z，
( ) π + π 2π则 的单调递减区间是 6 , π + 3 ∈ Z ．
(2) ∈ π , 3π π 5π 5π因为 3 4 ，所以 2 + 6 ∈ 6 , 3 ．
π
当 2 + 6 =
5π = π π6，即 3时， ( )取得最大值 3 = 2；
当 2 + π = 3π = 2π 2π6 2，即 3 时， ( )取得最小值 3 = 1．
故 ( ) π在 3 ,
3π
4 上的值域为[ 1,2]．
(3) 1 π 1因为 ( ) = 2，所以 2sin 2 + 6 + 1 = 2，所以 sin 2 +
π = 16 4．
π π
因为 是锐角，所以6 < 2 + 6 <
7π
6 ．
sin 2 + π = 1 π 7π π 15因为 6 4 < 0，所以π < 2 + 6 < 6，所以 cos 2 + 6 = 4 ，
则 cos2 = cos 2 + π π6 6 = cos 2 +
π π π
6 cos 6 + sin 2 + 6 sin
π = 15 × 3 1 1 3 5+16 4 2 4 × 2 = 8 ．
18.(1)因为 = 3 1 1，所以 = 3 ，则 = = 3 ．
因为 = 3 ，所以 = 1 4
，
则 = + = + 14
= + 1 4
= 3 4 +
1
4 ．
(2)证明：由(1)可得
= 3 + 1 1 1
2 3 2
4 4 3 = 12 4 ．
2 2
因为 = 2， = 6，所以 = 1 12
3 4 =
1
12 × 36
3
4 × 4 = 0，则 ⊥ ．
(3)证明：因为 , , 三点共线，
所以 = + (1 ) = + 1 = 1 3 +1 4 4 4 ．
因为 , , 三点共线，所以 = = 1 3
，
第 6页，共 7页
3 +14 = 1 1则 1 1 ，解得 = 2，即
=
= 2
，
4 3
故 是线段 的中点．
19.解：(1)在 中，由余弦定理可得：
2 = 2 + 2 2 cos ∠ = 7，则 = 7．
因为 3是等边三角形，所以 的面积 = 4
2 = 7 34 ．
(2)在 中，由余弦定理可得 ，
则 ，故 ，
因为 是等边三角形，所以∠ = 60°，
所以
，
则 的面积为1
2 sin ∠ =
1
2 × 2 × 3 ×
7+3 3
8 =
3 7+9 3，
8
(3)设 ， ，

在 中，由正弦定理可得sin = sin ，则 sin = 2sin ，
由余弦定理可得 2 = 2 + 2 2 cos = 13 12cos ，
2 = 2 + 2 2 cos ，
2
cos = +5 = 18 12cos 则 6 6 = 3 2cos ，
所以 的面积：
，
因为 sin = 2sin ， cos = 3 2cos ，
= 3所以 2 sin
3 3
2 cos +
9 3
4 = 3sin( 60°) +
9 3
4 ，
当 = 150°时， 取得最大值 3 + 9 3，即 的面积的最大值为 9 3．4 3 + 4
第 7页，共 7页

展开更多......

收起↑