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2024-2025学年北京市西城区回民学校高一下学期期中考试数学试题
一、选择题：本大题共12小题，共48分。
1.下列各角中，与角终边相同的是( )
A. B. C. D.
2.在中，，则点所在象限为( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.在中，，，则( )
A. B. C. D.
4.平面向量在正方形网格中的位置如图所示，若网格中每个小正方形的边长均为，则( )
A. B. C. D.
5.下列函数中，周期为的偶函数为( )
A. B. C. D.
6.如果，则( )
A. B. C. D.
7.已知，且角，的终边关于轴对称，则( )
A. B. C. D.
8.对函数的图像分别作以下变换：
向左平移个单位，再将每个点的横坐标缩短为原来的纵坐标不变；
向左平移个单位，再将每个点的横坐标缩短为原来的纵坐标不变
将每个点的横坐标缩短为原来的纵坐标不变，再向左平移个单位
将每个点的横坐标缩短为原来的纵坐标不变，再向左平移个单位
其中能得到函数的图像的是( )
A. B. C. D.
9.在平面直角坐标系中，为坐标原点，，，则( )
A. B. C. D.
10.已知，均为锐角，，，则( )
A. 或 B. C. D. 或
11.在平面直角坐标系中，已知，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
12.如图，为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针尖位置，若初始位置为，当秒针从注此时正常开始走时，那么点的纵坐标与时间的函数关系为( )
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，共30分。
13.已知圆的半径为，则的圆心角所对的弧长为 ．
14.已知，，则 ．
15.设向量，的夹角为，且，，则向量在向量方向上的投影数量为 ， ．
16.已知函数，则 ；若对任意都有，则常数的一个取值为 ．
17.梯形中，，，，，点在线段上运动．
当点与点重合时， ．
的最小值是 ．
18.关于函数，给出下列四个结论：
函数的最小正周期为；
函数的最小值是；
函数的最大值是；
函数在区间上单调递增．
其中全部正确结论的序号是 ．
三、解答题：本题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.已知角的始边在轴正半轴上，终边过点．
求，，的值；
求的值．
20.已知向量，．
若，求的值；
若，求与的夹角；
若与的夹角是钝角，求实数的取值范围．
21.已知函数．
求的最小正周期、对称轴和对称中心：
求在上的最值及此时的取值；
锐角中，，角满足，求角的值与面积．
22.已知函数的部分图象如图所示．
求的解析式；
若函数，
求函数的单调递增区间；
求函数在区间内的所有零点的和．
23.已知函数，其中，再从条件、条件、条件这三个条件中选择一个作为已知条件，使存在，并完成下列两个问题．
求的值；
若，函数在区间上最小值为，求实数的取值范围．
条件：对任意的，都有成立；
条件：；
条件：．
参考答案
1.
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14.
15.
16. ；，写出其中一个即可
17.
18.
19.依题意，．
，
．

20.由可得，则，
于是，
；
由，可得，解得，
则，于是，
设与的夹角为，则，
因，故，即与的夹角为；
由与的夹角是钝角，可得
解得且，故实数的取值范围是．
21.由，得；由，得，
所以的最小正周期为，对称轴为，对称中心为．
当时，，则当，即时，；
当，即时，，
所以的最小值为，此时；最大值为，此时．
由，得，而为锐角，则，解得，
又，所以面积为．
22.解：Ⅰ由图象可如，
所以，
因为，
所以，
所以，
因为，
所以，
所以，
因为，
所以，
所以；
Ⅱ
；
因为单调递增区间为，，
所以，
即，，
所以的单调增区间为，；
令，
则或，
所以或，，
因为，
所以，，，，，，，
则，
所以在区间内所有的零点的和等于．
23.由，
若选条件：可知当时，，因为，即，且对任意，都有恒成立，故选条件时存在，故可选；
若选条件：，解得或，，因为，所以与条件矛盾，故不选；
若选条件：，
所以，因为，可得，故条件能使成立，故可选；
综上所述：故可选择条件或，此时．
由知，当时，，
且的最小值为，所以可得，解得，又，
所以，
所以的取值范围为．

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