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2024-2025学年北京市西城区第三十五中学高一下学期期中考试
数学试题
一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.的值为
A. B. C. D.
2.设与为单位向量，且，则与的夹角为( )
A. B. C. D.
3.已知，，则( )
A. B. C. D.
4.已知中，，，，则( )
A. B. C. D.
5.已知向量，，且，则等于( )
A. B. C. D.
6.要得到函数的图象，只需要将函数的图象上所有的点( )
A. 纵坐标变为原来的倍横坐标不变，再向左平移个单位
B. 纵坐标变为原来的倍横坐标不变，再向右平移个单位
C. 纵坐标变为原来的倍横坐标不变，再向右平移个单位
D. 纵坐标变为原来的倍横坐标不变，再向左平移个单位
7.已知函数，若关于的方程在区间上有且仅有个不相等的实数根，则正整数的取值为( )
A. B. C. D.
8.设是实数，则函数的图象可能是( )
A. B.
C. D.
9.如图是易系辞上记载的“洛书”，其历来被认为是河洛文化的滥觞，是华夏文明的源头洛书中个数字的排列可抽象为两正方形，，其中为这两正方形的中心，，，，分别为，，，的中点，若正方形的边长为，则下列结论中不正确的是( )
A. B.
C. D.
10.如图是函数图象的一部分，，是它与轴的两个交点，，分别为它的最高点和最低点，是线段的中点，且，则函数的解析式为( )
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.已知扇形的半径为，圆心角为弧度，则该扇形的面积为 ．
12.角的终边经过点，则 ； ．
13.已知函数的图象关于直线对称，则当的最小正周期取得最大值时，距离原点最近的对称中心为 ．
14.在年月日举行的北京冬奥会开幕式上，贯穿全场的雪花元素为观众带来了一场视觉盛宴，朵“小雪花”汇聚成一朵代表全人类的“一起走向未来”的“大雪花”的意境惊艳了全世界，顺次连接图中“大雪花”各顶点可近似得到正六边形已知正六边形的边长为，点满足，则 ；若点是正六边形内部一点包含边界，则的取值范围是 ．
15.已知函数，给出下列四个结论：
的值域是；
是以为最小正周期的周期函数；
在区间上单调递增；
在上有个零点；
其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.已知，．
求；
求．
17.已知．
若，求的值；
若，求的值．
18.已知函数
求的最小正周期；
求的单调递增区间；
当时，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围．
19.已知函数，再从条件、条件、条件中选择一个作为已知：
条件：函数的图象经过点；
条件：函数的图象相邻的两个对称轴之间的距离为；
条件：函数的图象可由函数的图象平移得到．
求的解析式；
若在区间上的最大值为，求的最小值．
注：如果选择的条件不符合要求，得分；如果选择条件、条件、条件分别解答，按第一个解答计分．
20.电影流浪地球中反复出现这样的人工语音：“道路千万条，安全第一条；行车不规范，亲人两行泪”，讲的是“开车不喝酒，喝酒不开车”年公安部交通管理局下发关于治理酒驾醉驾违法犯罪行为的指导意见，对综合治理酒驾醉驾违法犯罪行为提出了新规定，其中车辆驾驶人员饮酒后或者醉酒后驾车血液中的酒精含量阈值如表所示．
驾驶行为类别 阈值
饮酒驾车
醉酒驾车
经反复试验，一般情况下某人喝一瓶啤酒后酒精含量在人体血液中的变化规律“散点图”如图所示，且图中所示的酒精含量单位：随时间单位：变化的函数模型可表示为，根据上述条件：
试计算某人喝瓶啤酒后多少小时血液中的酒精含量达到最大值？最大值是多少？
试计算某人喝瓶啤酒后多少小时才可以驾车？时间以整小时计；参考数据：，
21.对于一组向量且，令，如果存在，使得，那么称是该向量组的“向量”．
设，若是向量组的“向量”，求实数的取值范围；
若，则向量组是否存在“向量”若存在，求出“向量”；若不存在，请说明理由；
已知均是向量组的“向量”，其中，设在平面直角坐标系中有一点列且满足：为坐标原点，，且与关于点对称，与关于点对称，求的最大值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.法一：，
，
，，
．
法二：，，
，
，
．
法一：，
，
，
法二：
，
，
即：，，
，

17.，，
．
，
又，故，则，故，
．

18.
令，
解得
函数的单调递增区间为
，恒成立，
当即时，，
，即的取值范围是．

19.由题意得，，
选：由条件：，即，
，
选：由条件：又
选：的图象可由函数的图象平移得到
的周期与的周期相同
的周期，则的周期
，即

20.当时，，故当时，即时，；
当时，在上单调递减，
故．
综上，，
所以，喝瓶啤酒后小时血液中的酒精含量达到最大值，最大值是毫克百毫升．
当时可以驾车，且，
因，故，
令，得，即，得
因，则的最小值为，
故喝瓶啤酒后小时才可以驾车．

21.由题意，，．
，
，
，化简得：，
的范围是．
法：
，，
，，，
向量组以为周期．
，
，不是该向量组的“向量”；
，是该向量组的“向量”；
，不是该向量组的“向量”；
，不是该向量组的“向量”；
存在“向量”，“向量”为．
法：由题意可得，
因为，
所以向量组以为周期，
若存在“向量”，只需使，
又，
所以，
故只需使
，即，
当时，符合要求，
故存在“向量”，且“向量”为；
由题意，，即，
，
同理，，
上述三式相加，得：，
，
又．
，
设，则依题意得
得，
故，
，
所以，
，
当，即时，，，
．

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