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【同步提升】北师大版七年级下册数学考点归纳与题型专训（单元+期中+期末）
第14讲 图形的轴对称
要点一、轴对称图形
（1）如果一个图形沿一条直线折叠后,直线两旁的部分能够完全重合,那么这个图形叫做轴对称图形,这条直线叫做对称轴。
（2）线段、角、长方形、正方形、等腰三角形、圆都是轴对称图形；
（3）对称轴是直线而不是线段；
要点二、轴对称
（1）轴对称：对于两个图形,如果沿一条直线对折后,它们能互相重合,那么称这两个图形成轴对称,这条直线就是对称轴。可以说成：这两个图形关于某条直线对称。
（2）轴对称与轴对称图形的区别与联系：
轴对称图形 轴对称
区别 是一个图形自身的对称特性 是两个图形之间的对称关系
对称轴可能不止一条 对称轴只有一条
共同点 沿某条直线对折后都能够互相重合
如果轴对称的两个图形看作一个整体,那么它就是一个轴对称图形； 如果把轴对称图形分成两部分（两个图形）,那么这两部分关于这条对称轴成轴对称。
要点三、角平分线的性质
（1）角平分线所在的直线是该角的对称轴。
（2）性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。（距离强调垂直）
要点四、线段的垂直平分线
（1）线段的垂直平分线：垂直于一条线段并且平分这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线,又叫线段的中垂线。
（2）性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等。
要点五、等腰三角形
（1）等腰三角形：等腰三角形是轴对称图形,有一条对称轴（等边三角形除外）,其底边上的高或顶角的平分线,或底边上的中线所在的直线都是它的对称轴；
（2）三线合一：等腰三角形底边上的高,底边上的中线,顶角的平分线互相重合,简称为“三线合一”；
（3）等腰三角形的两个底角相等,简写成“等边对等角”；
（4）等边三角形：等边三角形是指三边都相等的三角形,又称正三角形，等边三角形有三条对称轴,三角形的高、角平分线和中线所在的直线都是它的对称轴；
（5）等边三角形的三边都相等,三个内角都是600。
（6）等腰三角形与等边三角形的区别与联系
图形 定义 性质
等腰三角形 有两边相等的三角形 1、两腰相等,两底角相等。 2、顶角=1800-2×底角。底角=（1800-顶角）/2。 3、顶角的平分线、底边上的中线和高“三线合一”。 4、轴对称图形,有一条对称轴。
等边三角形（又叫正三角形） 三边都相等的三角形 1、三边都相等,三内角相等,且每个内角都等于600。 2、具有等腰三角形的所有性质。 3、轴对称图形,有三条对称轴。
要点六、轴对称的性质
轴对称的性质：（1）对应点所连的线段被对称轴垂直平分（2）那么对应线段（3）对应角都相等。
【考点1】轴对称图形的识别与对称轴
【例1】（22-23八年级上·江西赣州·期中）用三角尺分别画出下列图形的对称轴．
【变式1】（2024·北京石景山·一模）下列图书馆标志图形中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（23-24八年级下·湖南株洲·阶段练习）如图所示的四个汽车图标中，既是中心对称图形又是轴对称图形的图标有 个．

【考点2】利用轴对称的性质求值或证明
【例2】（2024·山东济南·一模）如图1，在等腰直角三角形中，，，点在边上，连接，，，连接，．
(1)求证：；
(2)点关于直线的对称点为，连接，．
①补全图形并证明；
②试探究，当，，三点恰好共线时．的度数为 ．
【变式1】（23-24八年级上·湖北鄂州·期末）如图，点是外的一点，点，分别是两边上的点，点关于的对称点恰好落在线段上，点关于的对称点落在的延长线上，若，，，则线段的长为（ ）
A．4 B．5.5 C．6.5 D．7
【变式2】（23-24七年级上·山东烟台·期末）如图，的面积是6，，D、E分别是上的动点，连接，则的最小值是 ．
【考点3】轴对称中的折叠问题
【例3】（23-24七年级下·辽宁大连·阶段练习）有一长方形纸带，、分别是边上一点，度，将纸带沿折叠成图1，再沿折叠成图2．
如图1，当度时，______度；
如图2，若，求的值；
【变式1】（23-24七年级下·广东广州·期中）如图，将长方形沿翻折，再沿翻折，若，则（ ）度
A． B． C． D．
【变式2】（2024七年级下·全国·专题练习）如图，在中，，，将折叠，使点落在边上的处，折痕为，则 °．
【考点4】简单的轴对称图形——角平分线
【例4】（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，是平分线上的一点，若．试说明：．

【变式1】（23-24八年级上·河北保定）小明学习了角的平分线后，发现角平分线分得的和的面积比与两边长有关．如图，若，，你能帮小明算出下面的比值吗________；（ ）

A． B． C． D．4
【变式2】（20-21八年级上·重庆南川·期中）如图，△ABC的外角∠MBC和∠NCB的平分线BP、CP相交于点P，PE⊥BC于E且PE＝3cm，若△ABC的周长为14cm，S△BPC＝7.5，则△ABC的面积为 cm2．
【考点5】简单的轴对称图形——垂直平分线
【例5】（23-24八年级上·江苏宿迁·期末）已知，如图，，．
用尺规求作点P，点P在上，且．（保留作图痕迹，不写作法）
连接，若，，，求的长．
【变式1】（2023·陕西咸阳·三模）如图，小红作了如下操作：分别以A，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别相交于点B，D，依次连接A，B，C，D，则下列说法一定正确的是（ ）

A． B．
C． D．四边形是正方形
【变式2】（23-24八年级上·云南昆明·期末）如图，，，的垂直平分线交于点D，则的周长为 ．
【考点6】简单的轴对称图形——等腰三角形
【例6】（2024七年级下·全国·专题练习）已知和，，．连接、，过点作于点，反向延长线段交于点F．
(1)如图1，当时
①请直接写出与的数量关系： 　　（填“＞”、“＜”、“＝”）
②求证：
(2)如图2，当时，上述①②结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
【变式1】（23-24八年级上·天津宁河·期中）如图，在中，，，分别是的中线和角平分线．，交于点H． 若， 则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2024·吉林长春·一模）如图，已知，按下列步骤用直尺和圆规作图，
第一步：在射线上截取；
第二步：以点为圆心、长为半径作圆弧，交于点，连接；
第三步：以点为圆心、长为半径作圆弧，交于点，连接．
则的大小为 ．（用含的代数式表示）
【例7】（23-24八年级上·天津宁河·期中）如图所示，在 中， ，点分别在上，且 与交于点 F．
求证： 是等边三角形；
求证：
求 的大小．
【变式1】（2024·河北·一模）如图，为等边三角形，为等腰直角三角形，，则直线与直线的夹角为（ ）

A． B． C． D．
【变式2】（2024七年级下·全国·专题练习）如图，点E在等边三角形的边上，，射线，垂足为C，P是射线上一动点，F是线段上一动点，当的值最小时，，则的长为 ．
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【同步提升】北师大版七年级下册数学考点归纳与题型专训（单元+期中+期末）
第14讲 图形的轴对称
要点一、轴对称图形
（1）如果一个图形沿一条直线折叠后,直线两旁的部分能够完全重合,那么这个图形叫做轴对称图形,这条直线叫做对称轴。
（2）线段、角、长方形、正方形、等腰三角形、圆都是轴对称图形；
（3）对称轴是直线而不是线段；
要点二、轴对称
（1）轴对称：对于两个图形,如果沿一条直线对折后,它们能互相重合,那么称这两个图形成轴对称,这条直线就是对称轴。可以说成：这两个图形关于某条直线对称。
（2）轴对称与轴对称图形的区别与联系：
轴对称图形 轴对称
区别 是一个图形自身的对称特性 是两个图形之间的对称关系
对称轴可能不止一条 对称轴只有一条
共同点 沿某条直线对折后都能够互相重合
如果轴对称的两个图形看作一个整体,那么它就是一个轴对称图形； 如果把轴对称图形分成两部分（两个图形）,那么这两部分关于这条对称轴成轴对称。
要点三、角平分线的性质
（1）角平分线所在的直线是该角的对称轴。
（2）性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。（距离强调垂直）
要点四、线段的垂直平分线
（1）线段的垂直平分线：垂直于一条线段并且平分这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线,又叫线段的中垂线。
（2）性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等。
要点五、等腰三角形
（1）等腰三角形：等腰三角形是轴对称图形,有一条对称轴（等边三角形除外）,其底边上的高或顶角的平分线,或底边上的中线所在的直线都是它的对称轴；
（2）三线合一：等腰三角形底边上的高,底边上的中线,顶角的平分线互相重合,简称为“三线合一”；
（3）等腰三角形的两个底角相等,简写成“等边对等角”；
（4）等边三角形：等边三角形是指三边都相等的三角形,又称正三角形，等边三角形有三条对称轴,三角形的高、角平分线和中线所在的直线都是它的对称轴；
（5）等边三角形的三边都相等,三个内角都是600。
（6）等腰三角形与等边三角形的区别与联系
图形 定义 性质
等腰三角形 有两边相等的三角形 1、两腰相等,两底角相等。 2、顶角=1800-2×底角。底角=（1800-顶角）/2。 3、顶角的平分线、底边上的中线和高“三线合一”。 4、轴对称图形,有一条对称轴。
等边三角形（又叫正三角形） 三边都相等的三角形 1、三边都相等,三内角相等,且每个内角都等于600。 2、具有等腰三角形的所有性质。 3、轴对称图形,有三条对称轴。
要点六、轴对称的性质
轴对称的性质：（1）对应点所连的线段被对称轴垂直平分（2）那么对应线段（3）对应角都相等。
【考点1】轴对称图形的识别与对称轴
【例1】（22-23八年级上·江西赣州·期中）用三角尺分别画出下列图形的对称轴．
【分析】根据轴对称图形的性质作图即可求解．
解：图①、图②、图③、图④即为所求．
【变式1】（2024·北京石景山·一模）下列图书馆标志图形中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可．
解：A．是轴对称图形，故A正确； B．不是轴对称图形，故B错误；
C．不是轴对称图形，故C错误； D．不是轴对称图形，故D错误．
故选：A．
【变式2】（23-24八年级下·湖南株洲·阶段练习）如图所示的四个汽车图标中，既是中心对称图形又是轴对称图形的图标有 个．

【答案】
【分析】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的相关知识，熟练掌握中心对称图形及轴对称图形的定义是解题的关键．根据轴对称图形与中心对称图形的定义可知，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合，中心对称图形是图形沿对称中心旋转后与原图重合，即可求解．
解：第一个图不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意；
第二个图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故符合题意；
第三个图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故不符合题意；
第四个图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故不符合题意．
既是中心对称图形又是轴对称图形的有1个，
故答案为：．
【考点2】利用轴对称的性质求值或证明
【例2】（2024·山东济南·一模）如图1，在等腰直角三角形中，，，点在边上，连接，，，连接，．
(1)求证：；
(2)点关于直线的对称点为，连接，．
①补全图形并证明；
②试探究，当，，三点恰好共线时．的度数为 ．
【答案】(1)见解析; (2)①见解析；②
【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，解题的关键是：判断出；
（1）由，，，可得，即可求解，
（2）①由对称的性质可知，，得到，结合，即可求解，②由（1）得，由，根据三角形外角定理，可得，，即可求解．
（1）解：∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
（2）解：①补全图形如图1所示
连接，
∵点关于直线的对称点为，
∴，，
∵，
∴，
∴，
由（1）知，
∴，
∴，
②当，，三点恰好共线时
由（1）得，
，
由对称性可知，，
，
，，
，，
，
，，
，
，
故答案为：．
【变式1】（23-24八年级上·湖北鄂州·期末）如图，点是外的一点，点，分别是两边上的点，点关于的对称点恰好落在线段上，点关于的对称点落在的延长线上，若，，，则线段的长为（ ）
A．4 B．5.5 C．6.5 D．7
【答案】A
【分析】本题考查了垂直平分线的性质以及轴对称的性质：如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．根据轴对称的性质可求、的长度，然后根据线段的和差求解即可．
解：∵点关于的对称点恰好落在线段上，，
∴，
同理，
又，
∴．
故选：A．
【变式2】（23-24七年级上·山东烟台·期末）如图，的面积是6，，D、E分别是上的动点，连接，则的最小值是 ．
【答案】
【分析】此题考查了角平分线的性质，作点A关于的对称点，作点，交于点D．则，所以．即的最小值为．
解：作点A关于的对称点，作点，交于点D．
则，
∴．
即的最小值为，当时最小．
∵的面积是6，，
∴，
∴，
即的最小值为．
故答案为：．
【考点3】轴对称中的折叠问题
【例3】（23-24七年级下·辽宁大连·阶段练习）有一长方形纸带，、分别是边上一点，度，将纸带沿折叠成图1，再沿折叠成图2．
如图1，当度时，______度；
如图2，若，求的值；
【答案】(1)120; (2)30
【分析】本题主要考查了平行线的性质，折叠的性质：
（1）由折叠的性质得到，由长方形的对边是平行的，得到，由对顶角的性质得到，即可得到；
（2）由折叠可得，，由长方形的对边是平行的，得，，由可以求出，即可以得到α的值；
（1）解：由折叠可得，
∴，
∵长方形的对边是平行的，
∴，
∴，
∴；
∴当度时，的度数是．
故答案为：120；
（2）解：由折叠可得，，
∵长方形的对边是平行的，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的值是30；
【变式1】（23-24七年级下·广东广州·期中）如图，将长方形沿翻折，再沿翻折，若，则（ ）度
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查折叠的性质，平行线的性质，找准相等的角是解决本题的关键．首先根据平行线的性质，可设，再根据折叠的性质可得，，，再根据平行线的性质，可得，即可求得x的值，据此即可求得．
解：四边形是长方形，
，
，
设，
，，
，
由沿折叠可知：，
，
由沿折叠可知：，
，
，
即，
解得，
，
，
故选：C．
【变式2】（2024七年级下·全国·专题练习）如图，在中，，，将折叠，使点落在边上的处，折痕为，则 °．
【答案】103
【分析】本题考查轴对称的性质，熟知轴对称的性质是解题的关键．根据折叠先求出的度数，再利用外角定理即可解决问题．
解：，
由折叠可知，
．
又，
．
故答案为：103．
【考点4】简单的轴对称图形——角平分线
【例4】（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，是平分线上的一点，若．试说明：．

【分析】本题考查了角平分线的性质，补角性质，全等三角形的判定和性质，过点分别作于点，于点，由角平分线的性质可得，由补角性质可得，进而可证明，即可求证，掌握角平分线的性质是解题的关键．
解：证明：如图，过点分别作于点，于点，

则，
∵是的平分线，，，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
【变式1】（23-24八年级上·河北保定）小明学习了角的平分线后，发现角平分线分得的和的面积比与两边长有关．如图，若，，你能帮小明算出下面的比值吗________；（ ）

A． B． C． D．4
【答案】A
【分析】本题考查了角平分线定理，熟练掌握角平分线定理是解答本题的关键，过点D作于点E，于点F，根据角平分线定理可知，再利用三角形面积公式即可求得答案．
解：过点D作于点E，于点F，
平分，
，
．
故选：A．

【变式2】（20-21八年级上·重庆南川·期中）如图，△ABC的外角∠MBC和∠NCB的平分线BP、CP相交于点P，PE⊥BC于E且PE＝3cm，若△ABC的周长为14cm，S△BPC＝7.5，则△ABC的面积为 cm2．
【答案】6
【分析】过点P作PH⊥AM，PQ⊥AN,连接AP，根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得PH=PE=PQ，再根据三角形的面积求出BC，然后求出AC+AB，再根据S△ABC= S△ACP+ S△ABP-S△BPC即可得解.
解：如图，过点P作PH⊥AM，PQ⊥AN，连接AP
∵BP和CP为∠MBC和∠NCB角平分线
∴PH=PE，PE=PQ
∴PH=PE=PQ=3
∵S△BPC=×BC×PE=7.5
∴BC=5
∵S△ABC= S△ACP+ S△ABP-S△BPC
=×AC×PQ+×AB×PH-7.5
=×3（AC+AB）-7.5
∵AC+AB+BC=14，BC=5
∴AC+AB=9
∴S△ABC=×3×9-7.5=6 cm2
【点睛】本题考查了角平分线上点到角的两边距离相等的性质，三角形的面积，熟记性质是解题的关键，难点在于S△ABC的面积的表示．
【考点5】简单的轴对称图形——垂直平分线
【例5】（23-24八年级上·江苏宿迁·期末）已知，如图，，．
用尺规求作点P，点P在上，且．（保留作图痕迹，不写作法）
连接，若，，，求的长．
【答案】(1)见解析 ; (2)
【分析】本题考查了垂直平分线的性质以及作垂线，直角三角形两个锐角互余，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）作线段的垂直平分线，根据垂直平分线上的点到线段的端点的距离相等，据此即可作答．
（2）先根据直角三角形两个锐角互余，得，结合等边对等角，得，列式，即可作答．
（1）解：如图所示：
（2）解：如图，连接
在中，
∵
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴
【变式1】（2023·陕西咸阳·三模）如图，小红作了如下操作：分别以A，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别相交于点B，D，依次连接A，B，C，D，则下列说法一定正确的是（ ）

A． B．
C． D．四边形是正方形
【答案】C
【分析】根据基本作图的意义判断即可．
解：根据基本作图，得直线是线段的垂直平分线，
故，
故选C．
【点睛】本题考查了基本作图，熟练掌握线段垂直平分线的基本作图及其意义是解题的关键．
【变式2】（23-24八年级上·云南昆明·期末）如图，，，的垂直平分线交于点D，则的周长为 ．
【答案】16
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质：垂直平分线垂直且平分其所在线段；垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
解：垂直平分，
，
的周长
故答案为：
【考点6】简单的轴对称图形——等腰三角形
【例6】（2024七年级下·全国·专题练习）已知和，，．连接、，过点作于点，反向延长线段交于点F．
(1)如图1，当时
①请直接写出与的数量关系： 　　（填“＞”、“＜”、“＝”）
②求证：
(2)如图2，当时，上述①②结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
【答案】(1)①＝；②证明见解答 ; (2)成立，证明见解答
【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
（1）①根据证，即可得出；
②根据等腰三角形的性质得出，，再根据证，得出，即可得证结论；
（2）作于点，作交的延长线于点，根据证，再根据证，同理证，根据线段的等量关系即可得出结论．
（1）解：①，，，
，
，
，
，
，，
，
在和中，
，
，
．
②证明：，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
；
（2）解：成立，证明如下：
作于点，作交的延长线于点，
，
，，
，
，，
，，
，
，
在和中，
，
，
，
同理可证，
，
，
在和中，
，
，
，，
，，
，
，，
，，
，
，
，
即，．
【变式1】（23-24八年级上·天津宁河·期中）如图，在中，，，分别是的中线和角平分线．，交于点H． 若， 则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理以及角平分线定义，依据三角形内角和定理，即可得到的度数，再根据角平分线的定义和三角形外角的性质，即可得到结论．
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵是的中线，
∴是的角平分线，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
∴．
故选：A．
【变式2】（2024·吉林长春·一模）如图，已知，按下列步骤用直尺和圆规作图，
第一步：在射线上截取；
第二步：以点为圆心、长为半径作圆弧，交于点，连接；
第三步：以点为圆心、长为半径作圆弧，交于点，连接．
则的大小为 ．（用含的代数式表示）
【答案】
【分析】本题考查列代数式，等腰三角形的性质和三角形内角和定理．由，，可得，；据此求解即可．
解：根据作图可知，
，
，；
；
故答案为：．
【例7】（23-24八年级上·天津宁河·期中）如图所示，在 中， ，点分别在上，且 与交于点 F．
求证： 是等边三角形；
求证：
求 的大小．
【答案】(1)见解析 ; (2)见解析 ; (3)
【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的判定与性质，三角形外角性质．
（1）根据等边三角形的判定解答即可；
（2）求出，根据证出即可；
（3）根据全等三角形的性质得出，根据三角形外角性质推出，即可得出答案．
（1）证明：∵，
∴是等边三角形；
（2）∵是等边三角形，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
（3）∵，
∴，
∴．
【变式1】（2024·河北·一模）如图，为等边三角形，为等腰直角三角形，，则直线与直线的夹角为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题考查了等边三角形和等腰直角三角形的性质，三角形内角和定理，
延长，交于点E，根据题意得到，，然后利用三角形内角和定理求解即可．
解：如图，延长，交于点E，

∵为等边三角形，为等腰直角三角形，
∴，
∴
∴直线与直线的夹角为．
故选：B．
【变式2】（2024七年级下·全国·专题练习）如图，点E在等边三角形的边上，，射线，垂足为C，P是射线上一动点，F是线段上一动点，当的值最小时，，则的长为 ．
【答案】8
【分析】本题主要考查轴对称一最短路径，等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质，根据题意，作点E关于的对称点，连接，当点，P，F三点共线，时，的值最小，由此即可求解．
解：如图所示，作点E关于的对称点E′，连接，
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当点，P，F三点共线，时，的值最小，
是等边三角形，
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解得，，
，
故答案为：8．
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