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【同步提升】北师大版七年级下册数学考点归纳与题型专训（单元+期中+期末）
第15讲 变量之间的关系
要点一、常量与变量
一般地，在某一变化过程中，数值发生变化的量叫做变量．在变化过程中，数值始终不变的量叫做常量．
要点二、自变量与因变量
如果在一变化过程中含有两个变量，并且其中一个变量随着另一个变量的变化而变化，那么主动变化的量是自变量，随着自变量变化而变化的量叫做因变量．
要点三、用表格表示的变量间关系
1.把自变量x 的一系列取值和因变量的对应值列成一个表格来表示变量之间的关系，像这种表示
变量之间关系的方法叫做表格法．
2.观察表格要分三步：一是通过表格确定自变量与因变量；二是纵向观察每一列，发现因变量与自变量的对应关系；三是分别横向观察两栏，从中发现因变量随自变量的变化呈现的变化趋势。
要点四、用关系式表示变量之间的关系
表示自变量与因变量之间关系的数学式子叫作关系式．关系式是表示变量之间关系的另一种方法．
特别提醒：（1）关系式一般是用含自变量的代数式表示因变量的等式；
（2）实际问题中，有的变量之间的关系不一定能用关系式表示出来；
（3）有些问题中，自变量是有范围的，列关系式时要注明自变量的取值范围．
（4）关系式（解析式）法准确地反映了因变量与自变量之间的对应规律，根据它可以由自变量的取值求出相应的因变量的值，反之亦然；
要点五、用图象表示变量之间的关系
1.图象法：用图象来表示两个变量之间的关系的方法叫做图象法．
2.图象法的特点：图象法的特点是形象、直观，可以形象地反映出变量之间关系的变化趋势和某些性质，是研究变量之间关系的好工具，其不足是由图象法往往难以得到准确的对应值．
3.行程中的图象问题：在行程问题中，“速度与时间”图象和“路程与时间”图象是从两个不同的角度描述行程问题中变量之间的关系图象，注意区分．
要点六、从图象中获取信息
1.借助于图象，可以知道自变量取某个值时，因变量取什么值或当因变量取某一个值时，对应的自变量取什么值；
2.利用图象可以判断因变量的变化趋势；
3.利用图象上一系列的点所表示的自变量与因变量的对应值，还可以得到表示两个变量之间关系的表格或关系式．
【考点1】现实中的变量
【例1】李师傅到单位附近的加油站加油，如图是所用的加油机上的数据显示牌，则其中的常量是（ ）
A．金额 B．数量 C．单价 D．金额和数量
【变式1】程程在收拾家务时，把32个玩具随机放入两个箱子（每个箱子都放），第一个箱子放入a个，第二个箱子放入b个．这个问题中的变量是（ ）
A．a B．6 C．a和32 D．a和b
【变式2】在平整的路面上，某型号汽车紧急刹车后仍将滑行s（单位：），满足公式其中（单位：）表示刹车前汽车的速度．这个公式中的自变量是（ ）
A．300 B．v C．s D．s与v
【考点2】用表格表示的变量间关系
【例2】某商品的售价x（元）与销量y（件）之间存在如下关系，估计当售价x为137元时，销量y可能为（ ）
售价x/元 90 100 110 120 130 140
销量y/件 90 80 70 60 50 40
A．33件 B．43件 C．53件 D．63件
【变式1】将温度计从热茶的杯子中取出之后，立即被放入一杯凉水中．每隔后读一次温度计上显示的度数，将记录下的数据制成下表．下列说法不正确的是（ ）
时间t（单位：s） 5 10 15 20 25 30 35
温度计读数（单位：）
A．当时，温度计上的度数是
B．当时，温度计上读数是
C．温度计的读数随着时间推移逐渐减小，最后保持不变
D．依据表格中反映出的规律，时，温度计上的读数是
【变式2】小明在课余时间找了几副度数不同的老花镜，让镜片正对着太阳光，并上下移动镜片，直到地上的光斑最小，此时他测量了镜片与光斑的距离，得到如下数据：
老花镜的度数/度 100 200 250 300 400
镜片与光斑的距离/m 1
下列说法错误的是（ ）
A．在这个变化中，自变量是老花镜的度数，因变量是镜片与光斑的距离
B．当老花镜的度数为200度时，镜片与光斑的距离为
C．老花镜的度数越高，镜片与光斑的距离越小
D．老花镜的度数每升高50度，镜片与光斑的距离减小0.1
【考点3】用关系式表示变量之间的关系
【例3】已知一个长方形的周长为，相邻两边分别为，则y与x之间的关系式为（　　）
A． B． C． D．
【变式1】小颖去水果店买橙子，如图是称橙子所用的电子秤显示屏上的数据，则其中的变量是（　　）
A．金额 B．数量 C．金额和单价 D．金额和数量
【变式2】某书店对外租赁图书，收费办法是：每本书在租赁后的头两天每天按元收费，以后每天按元收费（不足一天按一天计算）．则租金（元）和租赁天数（）之间的关系式为（ ）
A． B． C． D．
【考点4】用图象表示变量之间的关系
【例4】往如图所示的容器中注水，下面图象中哪一个图象可以大致刻画容器中水的高度与时间的关系（　　）
A． B．
C． D．
【变式1】小明某次从家出发去公园游玩的行程如图所示，他离家的路程为（m），所经过的时间为（min），下列选项中的图象，能近似刻画与之间的关系的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】如图，是一个高为的容器，现向该容器匀速注水，下列图象中能大致反映容器中水的深度与注水量关系的是（ ）
A． B．
C． D．
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【同步提升】北师大版七年级下册数学考点归纳与题型专训（单元+期中+期末）
第15讲 变量之间的关系
要点一、常量与变量
一般地，在某一变化过程中，数值发生变化的量叫做变量．在变化过程中，数值始终不变的量叫做常量．
要点二、自变量与因变量
如果在一变化过程中含有两个变量，并且其中一个变量随着另一个变量的变化而变化，那么主动变化的量是自变量，随着自变量变化而变化的量叫做因变量．
要点三、用表格表示的变量间关系
1.把自变量x 的一系列取值和因变量的对应值列成一个表格来表示变量之间的关系，像这种表示
变量之间关系的方法叫做表格法．
2.观察表格要分三步：一是通过表格确定自变量与因变量；二是纵向观察每一列，发现因变量与自变量的对应关系；三是分别横向观察两栏，从中发现因变量随自变量的变化呈现的变化趋势。
要点四、用关系式表示变量之间的关系
表示自变量与因变量之间关系的数学式子叫作关系式．关系式是表示变量之间关系的另一种方法．
特别提醒：（1）关系式一般是用含自变量的代数式表示因变量的等式；
（2）实际问题中，有的变量之间的关系不一定能用关系式表示出来；
（3）有些问题中，自变量是有范围的，列关系式时要注明自变量的取值范围．
（4）关系式（解析式）法准确地反映了因变量与自变量之间的对应规律，根据它可以由自变量的取值求出相应的因变量的值，反之亦然；
要点五、用图象表示变量之间的关系
1.图象法：用图象来表示两个变量之间的关系的方法叫做图象法．
2.图象法的特点：图象法的特点是形象、直观，可以形象地反映出变量之间关系的变化趋势和某些性质，是研究变量之间关系的好工具，其不足是由图象法往往难以得到准确的对应值．
3.行程中的图象问题：在行程问题中，“速度与时间”图象和“路程与时间”图象是从两个不同的角度描述行程问题中变量之间的关系图象，注意区分．
要点六、从图象中获取信息
1.借助于图象，可以知道自变量取某个值时，因变量取什么值或当因变量取某一个值时，对应的自变量取什么值；
2.利用图象可以判断因变量的变化趋势；
3.利用图象上一系列的点所表示的自变量与因变量的对应值，还可以得到表示两个变量之间关系的表格或关系式．
【考点1】现实中的变量
【例1】李师傅到单位附近的加油站加油，如图是所用的加油机上的数据显示牌，则其中的常量是（ ）
A．金额 B．数量 C．单价 D．金额和数量
【答案】C
【详解】解：∵单价是不变的量，而金额是随着数量的变化而变化，
∴其中的常量是单价．
故选：C．
【变式1】程程在收拾家务时，把32个玩具随机放入两个箱子（每个箱子都放），第一个箱子放入a个，第二个箱子放入b个．这个问题中的变量是（ ）
A．a B．6 C．a和32 D．a和b
【答案】D
【详解】这个问题中的变量是a和b．
故选：D．
【变式2】在平整的路面上，某型号汽车紧急刹车后仍将滑行s（单位：），满足公式其中（单位：）表示刹车前汽车的速度．这个公式中的自变量是（ ）
A．300 B．v C．s D．s与v
【答案】B
【详解】这个公式中的自变量是v．
故选：B．
【考点2】用表格表示的变量间关系
【例2】某商品的售价x（元）与销量y（件）之间存在如下关系，估计当售价x为137元时，销量y可能为（ ）
售价x/元 90 100 110 120 130 140
销量y/件 90 80 70 60 50 40
A．33件 B．43件 C．53件 D．63件
【答案】B
【详解】解：由表可知：售价每增加10元，销量减少10件，则售价每增加1元，销量减少1件，
∵时，，
∴当时，y的值可能为；
故选：B．
【变式1】将温度计从热茶的杯子中取出之后，立即被放入一杯凉水中．每隔后读一次温度计上显示的度数，将记录下的数据制成下表．下列说法不正确的是（ ）
时间t（单位：s） 5 10 15 20 25 30 35
温度计读数（单位：）
A．当时，温度计上的度数是
B．当时，温度计上读数是
C．温度计的读数随着时间推移逐渐减小，最后保持不变
D．依据表格中反映出的规律，时，温度计上的读数是
【答案】D
【详解】解：A，根据表格可得，当时，温度计上的度数是，正确，不符合题意；
B，当时，温度计上的读数是，正确，不符合题意；
C，温度计的读数随着时间推移逐渐减小，最后保持不变，正确，不符合题意；
D，依据表格中反映出的规律，时，温度计上的读数可能低于或者等于，错误，符合题意；
故选：D．
【变式2】小明在课余时间找了几副度数不同的老花镜，让镜片正对着太阳光，并上下移动镜片，直到地上的光斑最小，此时他测量了镜片与光斑的距离，得到如下数据：
老花镜的度数/度 100 200 250 300 400
镜片与光斑的距离/m 1
下列说法错误的是（ ）
A．在这个变化中，自变量是老花镜的度数，因变量是镜片与光斑的距离
B．当老花镜的度数为200度时，镜片与光斑的距离为
C．老花镜的度数越高，镜片与光斑的距离越小
D．老花镜的度数每升高50度，镜片与光斑的距离减小0.1
【答案】D
【详解】解：A、由题意可知，在这个变化中，自变量是老花镜的度数，因变量是镜片与光斑的距离，故选项不符合题意；
B、由表格数据可知，当老花镜的度数为200度时，镜片与光斑的距离为，故选项不符合题意；
C、由表格数据可知，老花镜的度数越高，镜片与光斑的距离越小，故选项不符合题意；
D、由表格数据可知，老花镜的度数从度升高到度时，镜片与光斑的距离减小了，每度减小了，说法错误，故选项符合题意；
故选：D．
【考点3】用关系式表示变量之间的关系
【例3】已知一个长方形的周长为，相邻两边分别为，则y与x之间的关系式为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：根据长方形的周长公式，得，
解得，
∴y与x之间的关系式为．
故选：C．
【变式1】小颖去水果店买橙子，如图是称橙子所用的电子秤显示屏上的数据，则其中的变量是（　　）
A．金额 B．数量 C．金额和单价 D．金额和数量
【答案】D
【详解】解：由题意可得，
金额单价数量，单价不变，数量与金额是变化的量，
∴单价常量，数量与金额是变量，
故选：D．
【变式2】某书店对外租赁图书，收费办法是：每本书在租赁后的头两天每天按元收费，以后每天按元收费（不足一天按一天计算）．则租金（元）和租赁天数（）之间的关系式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：由题意得，，
故选：D．
【考点4】用图象表示变量之间的关系
【例4】往如图所示的容器中注水，下面图象中哪一个图象可以大致刻画容器中水的高度与时间的关系（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】解：容器下端较小，上端较大，当均匀地注入水时，刚开始时高度变化较大，随着时间的推移，高度的变化速度开始减小，即高度变化越来越不明显，四个图象中只有选项符合该特点，
故选：．
【变式1】小明某次从家出发去公园游玩的行程如图所示，他离家的路程为（m），所经过的时间为（min），下列选项中的图象，能近似刻画与之间的关系的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】解：对各段时间与路程的关系进行分析如下：
从家到凉亭，用时10分钟，路程400米，s从0增加到400米，t从0到5分；
在凉亭休息5分钟，t从5分到10分，s保持400米不变；
从凉亭到公园，用时间5分钟，路程400米，t从10分到15分，s从400米增加到800米；
则能近似刻画与之间的关系的是：
故选：A．
【变式2】如图，是一个高为的容器，现向该容器匀速注水，下列图象中能大致反映容器中水的深度与注水量关系的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】解：根据题意可知，开始容器由大逐渐变小，即开口越来越小，水的深度随着注水量的增加而逐渐增大，但速度逐渐增大；接着容器由小逐渐变大，即开口越来越大，水的深度随着注水量的增加而逐渐增大，但速度逐渐减小，因此选项符合题意．
故选：．
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第6页（共8页）

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