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2024-2025学年北京市西城区第一六一中学高一下学期期中考试
数学试题
一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在范围内，与角终边相同的角是
A. B. C. D.
2.已知是第二象限的角，为其终边上的一点，且，则 ．
A. B. C. D.
3.角的度量除了有角度制和弧度制之外，在军事上角的度量还有密位制，密位制的单位是密位．密位等于周角的，即弧度密位．在密位制中，采用四个数字来记一个角的密位数．且在百位数字与十位数字之间画一条短线，例如密位写成，密位写成，设圆的半径为，那么密位的圆心角所对的弧长为( )
A. B. C. D.
4.下列四个函数中，最小正周期为，且为偶函数的是( )
A. B.
C. D.
5.若，则( )
A. B. C. D.
6.设，是两个不共线向量，则“与的夹角为钝角”是“”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
7.已知等腰中，，，点是边上的动点，则( )
A. 为定值 B. 为定值
C. 不为定值，与点位置有关 D. 为定值
8.设函数，，，则可以是( )
A. B. C. D.
9.已知等边边长为，点在边上，且，下列结论中错误的是
A. B. C. D.
10.一粒子在平面上运动的轨迹为抛物线的一部分，在该平面上建立直角坐标系后，该粒子的运动轨迹如图所示在时刻，粒子从点出发，沿着轨迹曲线运动到，再沿着轨迹曲线途经点运动到，之后便沿着轨迹曲线在，两点之间循环往复运动设该粒子在时刻的位置对应点，则坐标，随时间变化的图象可能是( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.求值： ．
12.已知角的终边关于直线对称，且，则的一组取值可以是 ， ．
13.欲测量河宽即河岸之间的距离河的两岸可视为平行，受地理条件和测量工具的限制，采用如下办法：如图所示，在河的一岸边选择，两个观测点，观察对岸的点，测得，，米，由此可得河宽约为 米．结果精确到米，参考数据：，，
14.若函数和的图象的对称轴完全重合，则 ， ．
15.若函数的零点为，函数的零点为，则下列结论正确的是 ．；；；
三、解答题：本题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.在锐角中，内角，，的对边分别为，，，且．
求角的大小；
若，，求的面积．
17.在平面直角坐标系中，锐角，均以为始边，终边分别与单位圆交于点，，已知点的纵坐标为，点的横坐标为．
直接写出和的值，并求的值；
求的值．
18.在平面直角坐标系中，为原点，，，，，为线段上一点，且．
求的值；
当时，求；
求的取值范围．
19.已知函数，其中再从条件、条件、条件中选择一个作为已知，使存在，并完成下列两个问题．
求的值；
若函数在区间上的有且仅有两个零点，求的取值范围．
条件；
条件是的一个零点；
条件．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
20.某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：


请将上表数据补充完整，并直接写出函数的解析式；
将图象上所有点向左平行移动个单位长度，得到的图象若图象的一个对称中心为，求的最小值；
对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．
21.设为正整数，对任意的，，定义
当时，，，求；
当时，集合，对于任意，，均为偶数，求中元素个数的最大值；
集合，对于任意，，，均有，求中元素个数的最大值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.或
15.
16.解：由，得，，
，
又因为为锐角三角形，．
由余弦定理可知，，
即，解得，
．

17.由锐角，，得点，都在第一象限，而点的纵坐标为，点的横坐标为，
则点的横坐标为，点的纵坐标为，因此；
．
由知，．

18.依题意，，
由，得．
由知，，由，，得，
，，
所以．
由知，，，
则，
由为线段上一点，且，得，
当时，，当时，，
所以的取值范围．

19.因为，所以．
将作为已知条件，因为，
所以，所以．
因为，所以．
将作为已知条件，因为是的一个零点，
所以．
所以，因为，所以．
将作为已知条件，因为，
所以．
所以，展开化简得，进而得，因为，所以．
按照条件求得的，所以函数解析式为：．
因为在区间上有且仅有两个零点，
所以令，则，
解得．
当时，；当时，；当时，．
所以的取值范围为：．

20.表格补全如下
将图象上所有点向左平行移动个单位长度，得到，
又图象的一个对称中心为，
所以，解得，
因为，所以的最小值为．
，，，
，即在上恒成立，所以
解得，
所以的取值范围．

21.当时，
；
因为均为偶数，所以结果为或，
若，则中的任意两个元素乘积为，
即共有四个元素，
若，则中必有两个位置为，
即，
所以中元素个数的最大值为
，中的“”变为“”，“”变为“”，
得到，
可得，
因为，，
所以，
因为中有个元素，
则中元素个数最多有个，
所以中元素个数的最大值为．

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