2024-2025学年北京市东城区第一七一中学高二下学期期中考试数学试卷(含答案)

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2024-2025学年北京市东城区第一七一中学高二下学期期中考试数学试卷(含答案)

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2024-2025学年北京市东城区第一七一中学高二下学期期中考试
数学试题
一、选择题共10小题,每小题4分,共40分。在每小题列出的四个选项 中,选出符合题目要求的一项。
1.在一般情况下,下列各组的两个变量呈正相关的是( )
A. 某商品的销售价格与销售量 B. 汽车匀速行驶时的路程与时间
C. 气温与冷饮的销售量 D. 人的年龄与视力
2.的值为( )
A. B. C. D.
3.设函数的导函数为,则为( )
A. 奇函数 B. 偶函数
C. 既是奇函数又是偶函数 D. 非奇非偶函数
4.袋中有个形状相同的乒乓球,其中个黄色个白色,现从袋中随机取出个球,则恰好有个黄色乒乓球的概率是( )
A. B. C. D.
5.下列函数中,在区间上的平均变化率最大的时( )
A. B. C. D.
6.小明投篮三次,每次投中的概率为,且每次投篮互不影响.若投中一次得分,没投中得分,总得分为,则( )
A. B. C. D.
7.“杨辉三角”是数学史上的一个重要成就,本身包含许多有趣的性质,如图:
则第行的第个数是( )
A. B. C. D.
8.已知函数,则( )
A. B.
C. D.
9.已知一批产品中,项指标合格的比例为,项指标合格的比例为,、两项指标都合格的比例为,从这批产品中随机抽取一个产品,若项指标合格,则该产品的项指标也合格的概率是( )
A. B. C. D.
10.在经济学中,将产品销量为件时的总收益称为收益函数,记为,相应地把称为边际收益函数,它可以帮助企业决定最优的生产或销售水平.假设一个企业的边际收益函数 注:经济学中涉及的函数有时是离散型函数,但仍将其看成连续函数来分析给出下列三个结论:
当销量为件时,总收益最大;
若销量为件时,总收益为,则当销量增加件时,总收益仍为;
当销量从件增加到件时,总收益改变量的近似值为.
其中正确结论的个数为( )
A. B. C. D.
二、填空题:本题共5小题,每小题5分,共25分。
11.已知函数,则 .
12.已知线性相关的两个变量和的取值如下表,且经验回归方程为,则 .
13.在的展开式中,所有的二项式系数之和为,则 _____;常数项为 用数字作答
14.袋中有编号为,,,,的个球,从中任取个球,共有 种不同的取法;记为取出的三个球的最小号码,则 用数字作答
三、解答题:本题共6小题,共85分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
15.已知函数,其中给出下列四个结论:
当时,函数有极大值,无极小值;
若方程存在三个根,则;
当时,函数的图象上存在关于原点对称的两个点;
当时,存在使得函数的图象在点和点处的切线是同一条直线.
其中所有正确结论的序号是 .
16.,,三个班共有名学生,为调查他们的体育锻炼情况,通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间,数据如下表单位:小时:



Ⅰ试估计班的学生人数;
Ⅱ从班和班抽出的学生中,各随机选取一人,班选出的人记为甲,班选出的人记为乙假设所有学生的锻炼时间相互独立,求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率;
Ⅲ再从,,三个班中各随机抽取一名学生,他们该周的锻炼时间分别是,,单位:小时这个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为,表格中数据的平均数记为,试判断和的大小结论不要求证明
17.如图,在三棱柱中,侧面为正方形,平面平面,,,分别为,的中点.
求证:平面;
再从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知,求直线与平面所成角的正弦值.
条件:;
条件:.
注:如果选择条件和条件分别解答,按第一个解答计分.
18.已知函数.
求在区间上的最大值;
若过点存在条直线与曲线相切,求的取值范围;
问过点分别存在几条直线与曲线相切?只需写出结论
19.已知、、是椭圆:上的三个点,是坐标原点.
当点是的右顶点,且四边形为菱形时,求此菱形的面积.
当点不是的顶点时,判断四边形是否可能为菱形,并说明理由.
20.已知函数.
当时,求的定义域;
若在区间上单调递减,求的取值范围;
当时,证明:若,,则参考数据:,,
21.已知无穷递增数列各项均为正整数,记数列为数列的自身子数列.
若,写出数列的自身子数列的前项;
证明:;
若数列与是公差分别为,的等差数列.
证明:;
当,时,求数列的通项公式.
参考答案
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16.Ⅰ由题意知,抽出的名学生中,来自班的学生有名根据分层抽样方法,班的学生人数估计为.
Ⅱ设事件为“甲是现有样本中班的第个人”,,,,
事件为“乙是现有样本中班的第个人”,,,,
由题意可知,,;,.
,,.
设事件为“该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长”由题意知,

因此

Ⅲ.

17.解:取中点,连接,,
在三棱柱中,,.
因为,,分别为,,的中点,
所以,,,,
即且,
所以四边形为平行四边形,因此.
又平面,平面,
所以平面.
选条件
因为侧面为正方形,所以,
又因为平面平面,
且平面平面,
所以平面 ,
而平面,所以.
由得,又因为,所以,
而,所以平面,
又平面,故.
在三棱柱中,,,两两垂直,
故分别以,,为轴,轴,轴,如图建立空间直角坐标系,
因为,则,,,,
所以,,,
设平面的法向量,
由,,得令,得.
设直线与平面所成角为,
则,
所以直线与平面所成角的正弦值为.
选条件
因为侧面为正方形,所以,
又因为平面平面,
且平面平面,
所以平面 ,
而平面,所以.
取中点,连接,.
因为,,分别为,,的中点,
所以,,而,故.
又因为,所以.
在,中,,,公共边,
那么,
因此,即,故B.
在三棱柱中,,,两两垂直,
故分别以,,为轴,轴,轴,如图建立空间直角坐标系,
因为,则,,,,
所以,,,
设平面的法向量,
由,,得令,得.
设直线与平面所成角为,
则,
所以直线与平面所成角的正弦值为.
18.由得,令,得或,

因为,,,,
所以在区间上的最大值为.
设过点的直线与曲线相切于点,则
,且切线斜率为,所以切线方程为,
因此,整理得:,
设,则“过点存在条直线与曲线相切”等价于“有个不同零点”,,
与的情况如下:
所以,是的极大值,是的极小值,
当即时,过点存在条直线与曲线相切时,的取值范围是.
过点存在条直线与曲线相切;
过点存在条直线与曲线相切;
过点存在条直线与曲线相切.
19.解:椭圆:的右顶点的坐标为.
因为四边形为菱形,所以与相互垂直平分.
所以可设,
代入椭圆方程得,即.
所以菱形的面积是

四边形不可能为菱形.理由如下:
假设四边形为菱形.
因为点不是的顶点,且直线不过原点,
所以可设的方程为.

消并整理得.
设,,则,.
所以的中点为.
因为为和的交点,
所以直线的斜率为.
因为,所以与不垂直.
所以四边形不是菱形,与假设矛盾.
所以当点不是的顶点时,四边形不可能是菱形.
20.由题设,则,故定义域为.
由,则必有,且,
由在区间上单调递减,则在上恒成立,
令且,则,
在上,则单调递增,故,
所以.
当,则,且,
设,则,
当,则,当,则,
所以在上单调递增,在上单调递减,
当,
单调递减 极小值 单调递增

当,,,故使,
单调递增 极大值 单调递减
由,又,则,
综上,得证.
21.因为
所以数列的自身子数列为,
所以前项为:,
即数列的自身子数列的前项为,,,.
因为数列是递增数列且各项均为正整数,于是,
所以,
设,则,
所以.
由题得,,
又及是递增数列,得,
即,
即,
由于对任意正整数均成立,则,否则矛盾.
所以.
由,
若存在,使得,
设,
不妨设,有,
则,
又,
因此与矛盾,
所以对任意,都有.
若存在,使得,
设,
不妨设,有,
则,
又,
因此与矛盾,
所以对任意,都有,
综上,对任意,都有.
设,
则数列是公差为的等差数列,,
又,
因此,又,
所以.

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