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【同步提升】人教版八年级下册数学期中期末考点归纳与精讲专练
一次函数（单元强化练习）
（试卷满分：120分 考试时间：120分钟）
注意事项：
1．本试卷共23题，选择10题，填空5题，解答8题
2．作答时合理安排时间，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
3．测试范围（章节）：一次函数
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分，每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的）
1．下列图形中不能表示y是x的函数的是（ ）
A． B．
C． D．
2．对于一次函数，下列结论错误的是（ ）
A．函数值随自变量增大而增大 B．函数图象与轴正方向成角
C．函数图象与轴交点坐标是 D．函数图象不经过第四象限
3．已知函数是关于x的正比例函数，则m，n的值是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
4．在平面直角坐标系中，将函数的图象向上平移 4 个单位长度，所得函数的解析式 是（ ）
A． B． C． D．
5．2025年4月23日为第30个世界读书日，各地纷纷开展了内容丰富、形式多样、主题鲜明的读书活动.某书店积极响应号召，为鼓励大家租借图书，增加阅读量，将收费标准下调为：每本书在租赁后的前三天按每天0.6元收费，三天后按每天0.8元收费（不足一天按一天计算），则租金（元）和租赁天数之间的关系式为（ ）
A． B． C． D．
6．数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，一次函数（、为常数，且）的图象与直线都经过点，当时，根据图象可知，的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．随着人工智能的发展，智能机器人送餐成为时尚．如图①是某餐厅的机器人聪聪和慧慧，它们从厨房门口出发，准备给客人送餐，聪聪比慧慧先出发，且速度保持不变，慧慧出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．设聪聪行走的时间为，聪聪和慧慧行走的路程分别为关于x的函数图象如图所示，则下列说法不正确的是（ ）
A．从慧慧出发直至送餐结束，共需 B．慧慧比聪聪晚出发
C．聪聪的速度为 D．客人距离厨房门口
8．如图1，矩形中，为其对角线，一动点P从D出发，沿着的路径行进，过点P作，垂足为Q．设点P的运动路程为x，为y，y与x的函数图像如图2，则的长为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，已知直线a：y＝x，直线b：和点P（1，0），过点P作y轴的平行线交直线a于点P1，过点P1作x轴的平行线交直线b于点P2，过点P2作y轴的平行线交直线a于点P3，过点P3作x轴的平行线交直线b于点P4，…，按此作法进行下去，则点P2024的坐标为（　　）
A． B．
C． D．
10．如图，在菱形中，点的坐标为，点的纵坐标为2，直线的表达式为，交y轴于点E，若，则菱形的面积为（ ）
A．25 B． C． D．32
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分）
11．点在函数的图象上，则 ．
12．如图，一次函数的图象过点，则关于的不等式的解集为 ．
13．在平面直角坐标系中，将直线向下平移2个单位长度后，与一次函数的图象相交于点A，则点A的坐标为 ．
14．“大明湖畔的夏雨荷”，是给不少人留下了深刻印象的影视形象．2024年12月，济南市大明湖畔迎来了一个高达12米的“夏雨荷”造型花灯，很多游客纷纷前来打卡拍照，与夏雨荷花灯类似的两款簪花发卡尤其受到拍照游客喜爱，很多游客纷纷购买佩戴后与夏雨荷花灯合影留念．已知购买1个款簪花发卡的售价50元，1个款簪花发卡的售价40元．某旅行团计划购买这两种簪花发卡共100个，要求款簪花发卡的数量不少于款簪花发卡数量的3倍．则该旅行团最低消费金额为 元．
15．如图，一次函数的图象分别与坐标轴交于点，，M为y轴上一点．把线段沿直线翻折，点A的对应点为C．当点C刚好落在x轴上时，点M的坐标为 ．
三、解答题（本大题共8小题，满分75分）
16．（本小题满分8分）
已知一次函数的图象经过，两点．求该一次函数的表达式．
17．（本小题满分8分）
在坐标系中操作：
(1)画出函数的图象（不要求列表）；
(2)若，直接写出的取值范围．
18．（本小题满分9分）
如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，且经过，两点．
(1)求一次函数的解析式；
(2)求点的坐标以及的面积．
19．（本小题满分9分）
如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴的交点为，与y轴的交点为B，且与正比例函数的图象交于点.
(1)求m的值及一次函数的表达式；
(2)求方程组的解；
(3)观察图象，不等式组的解集是 .
20．（本小题满分9分）
某超市分两次购进甲、乙两种饮料，两次购进同种饮料价格相同．第一次购甲10箱、乙20箱，共花费2600元；第二次购甲20箱、乙10箱，共花费2800元．
(1)求甲、乙两种饮料每箱的进价；
(2)超市决定甲饮料售价130元/箱，乙饮料售价120元/箱．现需购进甲、乙共200箱，且甲的数量不少于乙的3倍．如何进货使利润最大？最大利润是多少？
21．（本小题满分10分）
已知：如图所示，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点，与y轴交于点M．
(1)求直线的表达式．
(2)求的面积．
(3)若一次函数的图像为，且、、不能围成三角形，直接写出n的值．
22．（本小题满分10分）
某校实行学案式教学，需印制若干份数学学案，印刷厂有甲、乙两种收费方式，除按印数收取印刷费外，甲种方式还需收取制版费而乙种不需要，两种印刷方式的收取费用y（元）与印刷份数x（份）之间的函数关系如图所示：
(1)填空：甲种收费方式的函数关系式是________，乙种收费方式的函数关系式是________．
(2)该校某年级每次需印刷（含200和500）份学案，选择哪种印刷方式较合算．
23．（本小题满分12分）
如图1，已知直线l与x轴交于点，与y轴交于点，以A为直角顶点在第一象限内作等腰，其中上，．
(1)求直线l的解析式和点C的坐标；
(2)如图2，点M是的中点，点P是直线l上一动点，连接、，求的最小值，并求出当取最小值时点P的坐标；
(3)在（2）的条件下，当取最小值时，在直线上是否存在一点Q，使？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
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【同步提升】人教版八年级下册数学期中期末考点归纳与精讲专练
一次函数（单元强化练习）
（试卷满分：120分 考试时间：120分钟）
注意事项：
1．本试卷共23题，选择10题，填空5题，解答8题
2．作答时合理安排时间，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
3．测试范围（章节）：一次函数
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分，每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的）
1．下列图形中不能表示y是x的函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】解：A．对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，所以y是x的函数，不符合题意．
B．对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，所以y是x的函数，不符合题意．
C．对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，所以y是x的函数，不符合题意．
D．对于自变量x的每一个值，因变量y有2个值与它对应，所以y不是x的函数，符合题意．
故选：D．
2．对于一次函数，下列结论错误的是（ ）
A．函数值随自变量增大而增大 B．函数图象与轴正方向成角
C．函数图象与轴交点坐标是 D．函数图象不经过第四象限
【答案】C
【详解】解：A． ，函数值随自变量增大而增大，故该选项正确；
B． 由一次函数的图象与函数的图象平行，则函数图象与x轴正方向成角，故该选项正确；
C． 函数图象与x轴交点坐标是，故该选项错误；
D． 函数图象经过一、二、三象限，不经过第四象限，故该选项正确；
故选：C
3．已知函数是关于x的正比例函数，则m，n的值是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【详解】解：∵函数是关于x的正比例函数，
∴，
解得：，
故选：D．
4．在平面直角坐标系中，将函数的图象向上平移 4 个单位长度，所得函数的解析式 是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：由题意得：，即；
故选：C．
5．2025年4月23日为第30个世界读书日，各地纷纷开展了内容丰富、形式多样、主题鲜明的读书活动.某书店积极响应号召，为鼓励大家租借图书，增加阅读量，将收费标准下调为：每本书在租赁后的前三天按每天0.6元收费，三天后按每天0.8元收费（不足一天按一天计算），则租金（元）和租赁天数之间的关系式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：由题意得，，
故选C．
6．数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，一次函数（、为常数，且）的图象与直线都经过点，当时，根据图象可知，的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：∵
∴
由函数图象可知不等式的解集即为一次函数图象在正比例函数图象下方的自变量的取值范围，
∴当时，x的取值范围是，
即当时，x的取值范围是．
故选：C．
7．随着人工智能的发展，智能机器人送餐成为时尚．如图①是某餐厅的机器人聪聪和慧慧，它们从厨房门口出发，准备给客人送餐，聪聪比慧慧先出发，且速度保持不变，慧慧出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．设聪聪行走的时间为，聪聪和慧慧行走的路程分别为关于x的函数图象如图所示，则下列说法不正确的是（ ）
A．从慧慧出发直至送餐结束，共需 B．慧慧比聪聪晚出发
C．聪聪的速度为 D．客人距离厨房门口
【答案】D
【详解】解：A、从慧慧出发直至送餐结束，共需，故A正确，不符合题意；
B、由图象可得，慧慧比聪聪晚出发，故B正确，不符合题意；
C、聪聪的速度为，故C正确，不符合题意；
D、慧慧一开始的速度为：，当速度提高到原来的2倍时，为，则后一段行走了，则客人距离厨房门口为，故D错误，不符合题意，
故选：D．
8．如图1，矩形中，为其对角线，一动点P从D出发，沿着的路径行进，过点P作，垂足为Q．设点P的运动路程为x，为y，y与x的函数图像如图2，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解∶由图象得∶当点P运动到点C时， ，
．
当时，点P在上，此时， ，
在矩形中，
设，则，．
在中， ，
即∶，
解得∶．
，
故选∶B．
9．如图，已知直线a：y＝x，直线b：和点P（1，0），过点P作y轴的平行线交直线a于点P1，过点P1作x轴的平行线交直线b于点P2，过点P2作y轴的平行线交直线a于点P3，过点P3作x轴的平行线交直线b于点P4，…，按此作法进行下去，则点P2024的坐标为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】点的坐标为，点在直线上，
点的坐标是，
轴，
点的纵坐标是，
又点在上，
解方程，
解得：，
点的坐标是，
轴，
点的横坐标是，
又点在直线上，
点的坐标是，
轴，
点的纵坐标是，
又点在直线上，
可得方程，
解得：，
点的坐标是，
根据规律可得：的横坐标为，的横坐标为，
的横坐标为，的横坐标为，
的横坐标为，的横坐标为，
，
的横坐标为，
，
的横坐标为，
又点在上，
可得：，
点的坐标为
故答案选： A．
10．如图，在菱形中，点的坐标为，点的纵坐标为2，直线的表达式为，交y轴于点E，若，则菱形的面积为（ ）
A．25 B． C． D．32
【答案】D
【详解】解：如图，连接，交于点，过点作轴于点，设直线与轴的交点为点，
∵四边形是菱形，
∴，，，
∵点的坐标为，点的纵坐标为2，
∴点的纵坐标为，
∴，
又∵点的坐标为，
∴，
∴，
由一次函数的图象可知，，
将代入一次函数得：，解得，即，
将代入一次函数得：，即，，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
又∵轴，
∴（等腰三角形的三线合一），
∴，
∴一次函数的解析式为，
将代入一次函数得：，解得，即，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴菱形的面积为，
故选：D．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分）
11．点在函数的图象上，则 ．
【答案】/
【详解】解：∵点在函数的图象上，
∴，
解得：，
故答案为：
12．如图，一次函数的图象过点，则关于的不等式的解集为 ．
【答案】
【详解】解：根据图象可知关于的不等式的解集为，
故答案为：．
13．在平面直角坐标系中，将直线向下平移2个单位长度后，与一次函数的图象相交于点A，则点A的坐标为 ．
【答案】
【详解】解：将直线向下平移2个单位长度后得到的函数解析式为，
联立，
解得：，
∴点A的坐标为，
故答案为：．
14．“大明湖畔的夏雨荷”，是给不少人留下了深刻印象的影视形象．2024年12月，济南市大明湖畔迎来了一个高达12米的“夏雨荷”造型花灯，很多游客纷纷前来打卡拍照，与夏雨荷花灯类似的两款簪花发卡尤其受到拍照游客喜爱，很多游客纷纷购买佩戴后与夏雨荷花灯合影留念．已知购买1个款簪花发卡的售价50元，1个款簪花发卡的售价40元．某旅行团计划购买这两种簪花发卡共100个，要求款簪花发卡的数量不少于款簪花发卡数量的3倍．则该旅行团最低消费金额为 元．
【答案】4750
【详解】解：设购买款簪花发卡个，则款簪花发卡，
由题意得：，
解得：，
设旅行团消费金额为元，
则，
∵，
∴随着的增大而增大，
∴当时，最小，为，
故答案为：4750．
15．如图，一次函数的图象分别与坐标轴交于点，，M为y轴上一点．把线段沿直线翻折，点A的对应点为C．当点C刚好落在x轴上时，点M的坐标为 ．
【答案】或
【详解】解：如图1，当点M在y轴的正半轴上时．
把线段沿直线翻折，点C正好落在x轴上，则有，．
∵，，
∴，．
∴，
∴，
∴点C的坐标为．
设点M的坐标为，则，．
∵，
∴，解得，
∴点M的坐标为；
如图2，当点M在y轴的负半轴上时，．
设点M的坐标为，则，．
∵，
∴，解得，
∴点M的坐标为．
综上所述，点M的坐标为或，
故答案为：或．
三、解答题（本大题共8小题，满分75分）
16．（本小题满分8分）
已知一次函数的图象经过，两点．求该一次函数的表达式．
【答案】
【详解】解：一次函数的图象经过，两点，
，解得，
该一次函数的表达式为．
17．（本小题满分8分）
在坐标系中操作：
(1)画出函数的图象（不要求列表）；
(2)若，直接写出的取值范围．
【答案】(1)画图见解析
(2)
【详解】（1）解：令，则；令，则，
过点和点画函数图象如下：
（2）解：由函数图象可知，当时，；当时，，
∴当时，．
18．（本小题满分9分）
如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，且经过，两点．
(1)求一次函数的解析式；
(2)求点的坐标以及的面积．
【答案】(1)；
(2)，．
【详解】（1）解：将，代入，
得，
解得：，
∴一次函数的解析式为；
（2）解：令，则，
解得：，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
19．（本小题满分9分）
如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴的交点为，与y轴的交点为B，且与正比例函数的图象交于点.
(1)求m的值及一次函数的表达式；
(2)求方程组的解；
(3)观察图象，不等式组的解集是 .
【答案】(1)；
(2)
(3)
【详解】（1）解：∵点在正比例函数的图象上，
，
，即点坐标为，
∵一次函数经过、点，
，
解得：，
∴一次函数的表达式为：；
（2）解：∵一次函数的图象，与正比例函数的图象交于点，
∴方程组的解为；
（3）解：由图象可得不等式组的解集为：．
20．（本小题满分9分）
某超市分两次购进甲、乙两种饮料，两次购进同种饮料价格相同．第一次购甲10箱、乙20箱，共花费2600元；第二次购甲20箱、乙10箱，共花费2800元．
(1)求甲、乙两种饮料每箱的进价；
(2)超市决定甲饮料售价130元/箱，乙饮料售价120元/箱．现需购进甲、乙共200箱，且甲的数量不少于乙的3倍．如何进货使利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1)甲种饮料每箱的进价为元，乙种饮料每箱的进价为元
(2)当购进甲种饮料箱，乙种饮料箱时，可获得最大利润元
【详解】（1）解：设甲饮料每箱的进价为元，乙饮料每箱的进价为元，
根据题意：，
解得：，
答：甲种饮料每箱的进价为元，乙种饮料每箱的进价为元；
（2）解：设购进甲种饮料箱，则购进乙种饮料箱，
根据题意：，
解得：；
设卖完甲、乙两种饮料的利润为元，
则，
∵，
∴随的增大而减小，
∴当时，取得最大值，最大值为（元），
此时（箱）．
答：当购进甲种饮料箱，乙种饮料箱时，可获得最大利润元．
21．（本小题满分10分）
已知：如图所示，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点，与y轴交于点M．
(1)求直线的表达式．
(2)求的面积．
(3)若一次函数的图像为，且、、不能围成三角形，直接写出n的值．
【答案】(1)
(2)3
(3)，2或
【详解】（1）解：∵点在直线上，
∴，
∴，
∴点，
设直线的表达式为，
将，代入得：，
解得，
∴直线的表达式为；
（2）解：将代入，得：，
∴，
∴，
∴的面积；
（3）解：的解析式为，当时，，
恒过点．
、、不能围成三角形，的解析式为， 的解析式为，
当与平行时，、、不能围成三角形，；
当与平行时，、、不能围成三角形，；
当经过点时，、、不能围成三角形，，解得，
当，2或时，、、不能围成三角形．
22．（本小题满分10分）
某校实行学案式教学，需印制若干份数学学案，印刷厂有甲、乙两种收费方式，除按印数收取印刷费外，甲种方式还需收取制版费而乙种不需要，两种印刷方式的收取费用y（元）与印刷份数x（份）之间的函数关系如图所示：
(1)填空：甲种收费方式的函数关系式是________，乙种收费方式的函数关系式是________．
(2)该校某年级每次需印刷（含200和500）份学案，选择哪种印刷方式较合算．
【答案】(1)，；
(2)当时，选择乙种方式合算；当时，甲、乙两种方式一样合算；当时，选择甲种方式合算．
【详解】（1）解：设甲种收费的函数关系式，乙种收费的函数关系式是，
由题意，得，，
解得：，，
∴，；
则甲种收费方式的函数关系式是（且x为整数），
乙种收费方式的函数关系式是（且x为整数），
（2）解：由题意，得当时，，得；；
当时，，得；
当时，，得；
当时，选择乙种方式合算；
当时，甲、乙两种方式一样合算；
当时，选择甲种方式合算．
23．（本小题满分12分）
如图1，已知直线l与x轴交于点，与y轴交于点，以A为直角顶点在第一象限内作等腰，其中上，．
(1)求直线l的解析式和点C的坐标；
(2)如图2，点M是的中点，点P是直线l上一动点，连接、，求的最小值，并求出当取最小值时点P的坐标；
(3)在（2）的条件下，当取最小值时，在直线上是否存在一点Q，使？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)5；
(3)存在；或
【详解】（1）∵，，
∴，，
设直线的解析式为，
将，，代入得，，
解得：，
∴，
过点作轴，则，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴，
则点的坐标为；
（2）由（1）可知，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，
∵点是的中点，
∴点的坐标为，即：，
延长至，使得，即点为的中点，
∴点的坐标为，即，
∵，
∴垂直平分，
连接，则，
∴，当点在直线上时取等号，
由勾股定理可得：，
设直线的解析式为：，
则，解得：，
∴直线的解析式为：，
当点在直线上时，即直线与直线相交，
得，解得：，
即此时点的坐标为，
综上，的最小值为5，此时点的坐标为；
（3）存在，理由如下：
∵，
则，
过点作轴交直线于，
此时，则，即，
∴，则，
当点在点右侧时，，
∴，
解得：，
当时，，
即此时点的坐标为；
当点在点、点之间时，，不符合题意；
当点在点左侧时，，
，
解得：，
当时，，
即此时点的坐标为；
综上，存在点的坐标为或时，．
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