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2024-2025 学年青海省西宁市第十四中学高二下学期期中测试
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.18 × 17 × × 4 可表示为( )
A. A15 B. A1418 18 C. C1518 D. C1418
2.口袋中装有 5 个白球 4 个红球，每个球编有不同的号码，现从中取出 2 个球，只有一个红球的取法种数
是( )
A. 20 B. 26 C. 32 D. 36
3.从 0,1,2,3 这 4 个数字中选 3 个数字组成没有重复数字的三位数，则该三位数能被 3 整除的概率为
A. 29 B.
1
3 C.
5 5
12 D. 9
4.如图，已知函数 ( )的图象在点 2, (2) 处的切线为 ，则 (2) + ′(2) =( )
A. 3 B. 2 C. 1 D. 2
5. 软件是我国一款深度求索人工智能软件．现将 单词中的字母重新排列，则字母 互不
相邻的不同排法种数为( )
A. 24 B. 120 C. 576 D. 2880
6.已知(1 2 )5的展开式中， 2项的系数是( )
A. 10 B. 10 C. 40 D. 40
7.随机变量 的分布列如下：
2 1 2
1
2
若 ( ) = 1，则 ( ) =( )
A. 0 B. 2 C. 3 D. 4
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8.“肝胆两相照，然诺安能忘．”(《承左虞燕京惠诗却寄却寄》，明 朱察卿)若 , 两点关于点 (1,1)成中
心对称，则称( , )为一对“然诺点”，同时把( , )和( , )视为同一对“然诺点”.已知 ∈ Z, ( ) =
( 2)e , < 1
2, > 1的图象上有两对“然诺点”，则 等于( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.如果曲线 = ( )在点(1,3)处的切线过点(0,2)，则下列结论不正确的是( )
A. (1) = 3 B. ′(1) = 1 C. (0) = 2 D. ′(1) = 0
10.一个袋子中有 5 个大小相同的球，其中红球 3 个，白球 2 个，现从中不放回地随机摸出 3 个球作为样
本，用随机变量 表示样本中红球的个数，用随机变量 ( = 1,2,3)表示第 次抽到红球的个数，则下列结论
中正确地是( )

A. ( = ) = C 3 2
3
的分布列为 3 5 5 , = 1,2,3
B. 的期望 ( ) = 95
C. 2 = 1 =
4
5
D. 1 = 1| 2 = 1 =
1
2
11.我国南宋数学家杨辉 1261 年所著的《详解九章算法》就给出了著名的杨辉三角，由此可见我国古代数
学的成就是非常值得中华民族自豪的.以下关于杨辉三角的猜想中正确的有( )
A.由“在相邻的两行中，除 1 以外的每一个数都等于它‘肩上’两个数的和”猜想：C 1 +1 = C + C
B. C23 + C2 2 24 + C5 + + C10 = 165
C.第 34 行中从左到右第 14 与第 15 个数的比为 2: 3
D.由“第 行所有数之和为2 ”猜想：C0 1 2 + C + C + + C = 2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知随机事件 , 满足 ( ) = 23 , ( ) =
3
8，则 ( ∣ ) = ．
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13.曲线 ( ) = ln 在 = 1 处的切线方程为 ．
14.已知(1 + ) 的展开式中只有第 4 项的二项式系数最大，则展开式各项的二项式系数之和为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
2
二项式 2 + 展开式前三项的二项式系数和为 22．
(1)求 的值；
(2)求展开式中各项的二项式系数和；
(3)求展开式中的常数项及二项式系数最大的项．
16.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = 3 + 16．
(1)直线 为曲线 = ( )在点(2, 6)处的切线，求直线 的方程；
(2)求过原点且与曲线 = ( )相切的切线方程及切点坐标．
17.(本小题 15 分)
10 个考签中有 4 个难签，3 人参加抽签(不放回)，甲先，乙次之，丙最后.求：
(1)甲抽到难签的概率；
(2)在甲抽到难签后，乙抽到难签的概率；
(3)甲、乙两人有人抽到难签的概率．
18.(本小题 17 分)
2023 年 6 月 7 日，21 世纪汽车博览会在上海举行，已知某汽车模型公司共有 25 个汽车模型，其外观和内
饰的颜色分布如下表所示：
红色外观蓝色外观
棕色内饰12 8
米色内饰2 3
(1)若小明从这些模型中随机拿一个模型，记事件 为小明取到红色外观的模型，事件 为小明取到棕色内饰
的模型，求 ( )和 ，并判断事件 和事件 是否独立．
(2)该公司举行了一个抽奖活动，规定在一次抽奖中，每人可以一次性从这些模型中拿两个汽车模型，拿到
的两个模型会出现三种结果，即外观和内饰均为同色、外观和内饰都异色、以及仅外观或仅内饰同色.拿到
的两个模型仅外观或仅内饰同色，可以获得奖金 150 元，外观和内饰均为同色可以获得奖金 300 元，外观
和内饰都异色可以获得奖金 600 元，设 为奖金额，写出 的分布列并求出 的数学期望．
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19.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = ln( + 1) + 1．
(1)若 ( )在(1, + ∞)上单调递增，求 的取值范围；
(2)讨论 ( )的单调性；
(3) ( ) 1若 在 2 , 7 上有 2 个零点，求 的取值范围．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 716
13. 1 = 0
14.64
15.(1) ∵展开式前三项的二项式系数和为 22，
∴ C0 1 2 + C + C = 22,
∴ 2 + 42 = 0,
∴ = 6 或 = 7(舍)，
故 的值为 6．
(2)展开式中各项的二项式系数和为26 = 64．
(3)设展开式中常数项为第 + 1 项，
3
即 +1 = C6(2 )6
2 = C 26 6 2 6 , 0 ≤ ≤ 6, ∈ N，
令 6 3 2 = 0，得 = 4，
∴ 4+1 = 26C46 = 960，
由题可得，展开式中最大的二项式系数为C36 = 20，
∴展开式中二项式系数最大的项为第 4 项，
3 3
即 4 = C36(2 )3
2
2
= 1280 ，
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3
综上所述：常数项为 960，二项式系数最大的项为 1280 2．
16.(1)由 (2) = 23 + 2 16 = 6，得点(2, 6)在曲线上，
求导得 ′( ) = 3 2 + 1，则 ′(2) = 3 × 22 + 1 = 13，
所以所求切线的方程为 + 6 = 13( 2)，即 = 13 32．
(2)设切点为 0, 0 ，则切线 的斜率为 ′ 20 = 3 0 + 1，
切线 的方程为： = 3 20 + 1 0 + 30 + 0 16，
由切线 过点(0,0)，得 0 = 3 20 + 1 0 + 30 + 0 16，整理得 30 = 8，
解得 30 = 2， 0 = ( 2) + ( 2) 16 = 26，切线 的斜率 = 3 × ( 2)2 + 1 = 13，
所以切线 的方程为 = 13 ，切点坐标为( 2, 26)．
17.(1) 4 2依题意，10 个考签中有 4 个难签，所以甲抽到难签的概率是10 = 5．
(2) 9 3 1甲抽到难签后，还剩 个考签中有 3 个难签，乙抽到难签的概率为9 = 3．
(3)“甲、乙两人有人抽到难签”的对立事件为“甲、乙都没抽到难签”，
6 5 6 1
甲、乙都没抽到难签的概率为10 × 9 = 18 = 3，
1 2
所以甲、乙两人有人抽到难签的概率为 1 3 = 3．
18.(1) 12+2 14若红色外观的模型，则分棕色内饰 12 个，米色内饰 2 个，则对应的概率 ( ) = 25 = 25，
12+8 20 4
若小明取到棕色内饰，分红色外观 12 个，蓝色外观 8 个，则对应的概率 ( ) = 25 = 25 = 5．
12
取到红色外观的模型同时是棕色内饰的有 12 个，即 ( ) = 25，
12
( | ) = ( ) = 25 = 12 6则 ( ) 14 14 = 7，
25
∵ ( ) ( ) = 1425 ×
4 = 565 125 ≠
12
25，∴ ( ) ( ) ≠ ( )，
所以事件 和事件 不独立．
(2)由题意 的可能取值为 600，300，150，
C2 +C2 2 2
则外观和内饰均为同色的概率 = 12 8+C3+C2 = 66+28+3+1 98 491 C225 300
= 300 = 150，
C1 1 1 1
外观和内饰都异色的概率 = 12C3+C2C8 = 52 132 C225 300
= 75，
49 52 1
仅外观或仅内饰同色的概率 3 = 1 150 300 = 2，
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∴ ( = 150) = 12， ( = 300) =
98 = 49 13300 150， ( = 600) = 75，
则 的分布列为：
150 300 600
1 49 13
2 150 75
则 ( ) = 150 × 12 + 300 ×
49 13
150 + 600 × 75 = 277(元)．
19.(1)依题意得 ′( ) = +1 + 1 ≥ 0 对 ∈ (1, + ∞)恒成立，
即 ≥ 1 对 ∈ (1, + ∞)恒成立，
所以 ≥ 2，即 的取值范围是[ 2, + ∞)．
(2)由题知， ( )的定义域为( 1, + ∞)，
又 ′( ) = + +1 +1 ，
当 ≥ 0 时， ′( ) > 0, ( )在( 1, + ∞)上单调递增．
当 < 0 时，令 ′( ) < 0，得 1 < < 1，令 ′( ) > 0，得 > 1，
则 ( )在( 1, 1)上单调递减，在( 1, + ∞)上单调递增．
综上，当 ≥ 0 时， ( )在( 1, + ∞)上单调递增，
当 < 0 时， ( )在( 1, 1)上单调递减，在( 1, + ∞)上单调递增．
(3)由(2)知，当 ≥ 0 时， ( ) 1在 2 , 7 上单调递增，
1
则 ( )在 2 , 7 上至多有 1 个零点，则 ≥ 0 不符合题意．
当 < 0 1时，要使得 ( )在 2 , 7 上有 2 个零点，
则 12 < 1 < 7
1
，即 8 < < 2，
1 = ln 1 32 2 2 > 0
且 (7) = 3 ln2 + 6 > 0 ,
( 1) = ln( ) 2 < 0
设函数 ( ) = ln( ) 2, 8 < < 12，
则 ′( ) = ln( )，
所以在( 8, 1)上 ′( ) > 0， ( )单调递增，
在 1, 12 上
′( ) < 0， ( )单调递减，
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所以 ( )max = ( 1) = 1 < 0．
ln 1 32 2 > 0
由 ln2 + 2 > 0 ∈ 2 , 3，得
1 ln2 2ln2
．
8 < < 2
2 3即 的取值范围为 ln2 , 2ln2 ．
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