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2024-2025 学年广东省普宁市勤建学校高二下学期第二次调研考试
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
9
1 A.满足不等式 A8 < 3 ∈
的 的值为( )

A. 9 B. 11 C. 12 D. 13
2.下列求导运算正确的是( )
A. (sin )′ = cos ( 为常数) B. (sin2 )′ = 2cos2
C. (3 )′ = 3 log3e D. ( + 1)′ =
2
+1
3.设离散型随机变量 的分布列如下表所示.若随机变量 = | |，则 ( = 2) =( )
2 0 1 2
0.1 0.4 0.2 0.3
A. 0.7 B. 0.4 C. 0.3 D. 0.6
4.有 5 个人到南京、镇江、扬州的三所学校去应聘，若每人至多被一个学校录用，每个学校至少录用其中
一人，则不同的录用情况种数是( )
A. 90 B. 150 C. 390 D. 420
5.若 ( ) = 0.6, ( ) = 0.3, ( ∣ ) = 0.2，则 ( ∪ ) =( )
A. 0.9 B. 0.78 C. 0.66 D. 0.12
6.若随机变量 3, 2 ，且 ( ≤ ) = ( ≥ )，则 2 + 2 2的最小值为( )
A. 18 B. 18 2 C. 24 D. 27
7 2.二项式( 4 ) ( 1)的展开式中，常数项为( )
A. 24 B. 6 C. 6 D. 24
8.已知定义在 上的函数 ( )满足 ( ) + (2 ) = 0, (1 + ) = (3 )，当 ∈ [1,2]时， ( ) = 3
2 2 + ，则方程 6 ( ) + 1 = 0 所有根之和为( )
A. 10 B. 11 C. 12 D. 13
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列函数的求导运算正确的是( )
A. (ln2024)′ = 1 B. (tan )′ = 1 C. 3 1 ′2024 cos2 + = 3
2 2 D. e2 ′ = ( + 1)e2
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10.下列结论正确的是( )
A. 2若随机变量 9, 3 ，则 (3 + 1) = 18
B.将总体划分为 2 层，通过分层随机抽样，得到两层的样本平均数和样本方差分别为 1， 2和 21， 22，若 1 =
2 = 12，则总体方差 2 22 1 + 2
C.某物理量的测量结果服从正态分布 10, 2 ， 越大，该物理量在一次测量中在(9.8,10.2)的概率越大
D.已知某 4 个数据的平均数为 5，方差为 3，现又加入一个数据 5，此时这 5 个数据的方差为 2.4

11 ( ) = e +e , ( ) = e
e
.已知函数 2 2 ，则( )
A. 2( ) 2( ) = 1
B.对任意实数 , , ( + ) ( ) = 2( ) + 2( )
C. (2 ) = 2( ) + 2( )
D.若直线 = 与函数 = ( )和 = ( )的图象共有三个交点，设这三个交点的横坐标分别为 1, 2, 3，则
1 + 2 + 3 > ln 1 + 2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12 .设数列 满足 = 1，且 = 2 + 1( ≥ 2)，则 4+1 1 1 2+1
= ．
13.罗马数字是欧洲在阿拉伯数字传入之前使用的一种数码，它的产生标志着一种古代文明的进步．罗马数
字的表示法如表：
数字 1 2 3 4 5 6 7 8 9
形式 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅴ Ⅵ Ⅶ Ⅷ Ⅸ
其中“Ⅰ”需要 1 根火柴，“Ⅴ”与“ ”各需要 2 根火柴，若为 0，则用空位表示(如 123 表示为 ，
405 表示为 ).如果把 5 根火柴以适当的方式全部放入 的表格中，那么可以表示的不
同的三位数的个数为 ．
14.在公比不为 1 的等比数列 中，若 2025 = 1，且有 1 2 5 = 1 2 5 ∈ , > 5 成立，则
= ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
记 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 sin + 3 cos = 3 ．
(1)求 ；
(2)若△ 的周长为 3 + 3，且 = 3，求 的面积．
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16.(本小题 15 分)
实验发现，猴痘病毒与天花病毒有共同抗原，两者之间有很强的血清交叉反应和交叉免疫，故猴痘流行的
时候可接种牛痘疫苗预防.某医学研究机构对 120 个接种与未接种牛痘疫苗的密切接触者进行医学观察后，
统计了感染病毒情况，得到下面的列联表：
感染猴痘病毒未感染猴痘病毒
未接种牛痘疫苗20 30
已接种牛痘疫苗10 60
(1)根据上表，分别估计在未接种牛痘疫苗和已接种牛痘疫苗的情况下，感染猴痘病毒的概率；
(2)是否有 99％的把握认为密切接触者未感染猴痘病毒与接种牛痘疫苗有关？
( )2
附： 2 = ( + )( + )( + )( + )．
2 0.1 0.05 0.010
≥ 0
0 2.7063.8416.635
17.(本小题 15 分)
已知数列 满足 1 = 1， +1 = 2( + 1) . =

设 ．
(1)证明：数列 为等比数列；
(2)求数列 的前 项和 ．
18.(本小题 17 分)
为了研究新高考数学多选题的答题规律，某数学兴趣小组研究发现：多选题正确答案是“选两项”的概率
1 1
为2，正确答案是“选三项”的概率为2 .现有学生甲、乙两人，由于数学基础很差，多选题完全没有思路，
只能靠猜．
(1)求三题多选题中恰有两题正确答案是“选三项”的概率；
(2)学生甲的答题策略是“猜一个选项”，学生乙的答题策略是“猜两个选项”，(“选两项”全对得 6 分，
选对一个得 3 分，有错选得 0 分，“选三项”全对得 6 分，选对一个得 2 分，对两个得 4 分，有错选得 0
分)试分别计算甲、乙两位同学得分的数学期望．
19.(本小题 17 分)
e
已知函数 ( ) = 2 + ( ln ) ( 为自然对数的底数)， ， ∈ ．
(1)当 = 0 时，讨论 ( )在(0, + ∞)上的单调性；
(2)当 = 1 时，若存在 ∈ 1, e ，使 ( ) > 0，求 的取值范围．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.4
13.61
14.10 或 4049
15.解：(1) ∵ sin + 3 cos = 3 ，
∴由正弦定理得：sin sin + 3sin cos = 3sin ，
又 sin = sin( + ) = sin cos + sin cos ，
∴ sin sin + 3sin cos = 3sin cos + 3sin cos ，
化简得：sin sin = 3sin cos ，
由 sin ≠ 0 得 tan = 3，又 ∈ (0, π)，故 = π3．
(2)由题可知： + + = 3 + 3，且 = 3，故 + = 3，
由余弦定理得： 2 = 2 + 2 2 cos = ( + )2 2 2 cos ，
即 3 = 32 2 ，解得： = 2，
∴ 1 = 2 sin =
1 3
2 × 2 × 2 =
3
2 ．
16.解：(1) 20 2由题意可知，末接种牛痘疫苗者感染猴痘病毒的概率为 1 = 50 = 5 ,
10 1
已接种牛痘疫苗者感染猴痘病毒的概率为 2 = 70 = 7．
(2)列联表如下
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感染猴痘病毒未感染猴痘病毒合计
未接种牛痘疫苗20 30 50
已接种牛痘疫苗10 60 70
合计 30 90 120
2 = 120×(20×60 10×30)
2
则 30×90×50×70 ≈ 10.286 > 6.635，
所以有 99％的把握认为密切接触者末感染猴痘病毒与接种牛痘疫苗有关．
17. 2 解：(1)由 = 1， = 2( + 1) ，可得 +1 = 1 +1 +1 ，
因为 =

，则 +1 = 2 ， 1 = 1，可得 是首项为 1，公比为 2 的等比数列，
(2)由(1) = 2 1 ，由 = 2 1 ，可得
1
= 2 ，
0 = 1 2 + 2 21 + 3 22 + + 2 1，
2 1 2 = 1 2 + 2 2 + 3 23 + + 2 ，
上面两式相减可得：
= 20 + 21 + 22 + + 2 1 2
1 2 = 1 2 2 ，
则 = 1 2 + 2 = 1 + ( 1) 2 ．
3
18.解：(1) 1 3由题得三题多选题中恰有两题正确答案是“选三项”的概率为C23 2 = 8．
(2)记甲同学答一道多选题得分为 ，则 = 0,2,3，
( = 0) = 1 × 1 + 1 × 1 = 32 2 2 4 8； ( = 2) =
1
2 ×
3 3 1 1 1
4 = 8； ( = 3) = 2 × 2 = 4，
所以甲同学得分的数学期望为 ( ) = 0 × 38 + 2 ×
3
8 + 3 ×
2 12 3
8 = 8 = 2．
记乙同学答一道多选题得分为 ，则 = 0,4,6，
1 2
( = 0) = 1 × 1 1 + 1 × C3 = 1 × 1 1 + 1 1 22 2 2 2 2 6 2 × 2 = 3； ( = 4) =
1 × C3 = 1 × 3 = 12 2 ； ( = 6) =
1 ×
C4 C4 C4 2 6 4 2
1
2 =
1 1
2 × 6 =
1
12，C4
所以乙同学得分的数学期望为 ( ) = 0 × 23 + 4 ×
1 1 3
4+ 6 × 12 = 2．
2
19.解：(1) 2 + 当 = 0 时， ( ) = 2 + ( ln )， ( )的定义域为(0, + ∞)， ′( ) = 2 + = ，
当 2 + 8 ≤ 0，即 8 ≤ ≤ 0 时， ′( ) ≥ 0 且不恒为 0，所以 ( )在(0, + ∞)上单调递增；
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± 2+8
当 < 8 时，方程 2 2 + = 0 有两不等正根 4 ，
2+8 + 2+8
结合定义域由 ′( ) > 0 可得 ∈ 0, ′4 ∪ 4 , + ∞ ，由 ( ) < 0 可得 ∈
2+8 + 2+8
4 , 4 ，
2 2 2 2
所以 ( ) +8 , + +8 +8 + +8 在区间 4 4 上单调递减，在区间 0, 4 和 4 , + ∞ 上单调递
增；
2
> 0 2 2 + = 0 +8 +
2+8
当 时，方程 有一负根 4 和一正根 4 ，
+ 2+8 + 2+8
结合定义域由 ′( ) > 0 可得 ∈ ′4 , + ∞ ，由 ( ) < 0 可得 ∈ 0, 4 ，
+ 2+8 + 2+8
所以 ( )在区间 0, 4 上单调递减，在区间 4 , + ∞ 上单调递增．
综上可知：
2 2 2 2
当 < 8 时， ( ) +8 , + +8 +8 + +8 在区间 4 4 上单调递减，在区间 0, 4 和 4 , +
∞ 上单调递增；
当 8 ≤ ≤ 0 时， ( )在(0, + ∞)上单调递增；
2
> 0 ( ) 0, + +8 +
2+8
当 时， 在区间 4 上单调递减，在区间 4 , + ∞ 上单调递增．
e 2 e 2
(2)法一：分离变量可得： > ln ，令 ( ) = ln ， ∈ 1, e ，则
e2 2 ( ln )
e 2 1

1
′( ) =
( ln )2
e
2(ln 2 +1)+ (2ln 1)= ( ln )2 ，
易得当 ∈ 1, e 时，ln 2 + 1 < 0，且 2ln 1 < 0，从而 ′( ) < 0，
所以 ( )在 1, e 单调递减，于是 > ( )min = (e) = 1 e．
即 的取值范围为 1 e, + ∞ ．
法二：当 = 1 e时， ( ) = 2 + ( ln ) ，令 ( ) =
2 + ( ln )， ( ) = e ，则 ( ) > 0，即为 ( ) >
( )，
而 ( )在 1, e 上单调递减，所以当 1 ≤ ≤ e 时， ( ) ≥ e = 1，
又 (e) = e2 + e ，
.当 e > e ，即e2 + e > 1 时， > 1 e，符合题意；
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.当 8 ≤ ≤ 1 e 时，由(1)知 ( )在 1, e 上是增函数，恒有 ( ) ≤ (e) ≤ (e) = 1，故不存在 ∈ 1, e ，
使 ( ) > ( )；
.当 < 8 时，由于 1 ≤ ≤ e 时， ln > 0，所以 ( ) = 2 + ( ln ) < 2 8( ln )，
2 2
令 ( ) = 2 8( ln )，则 ′( ) = 2 8 + 8 = 2 4 +4 = 2( 2) ≥ 0，所以 ( )在 1, e 上是增函
数，最大值为 e ，
又 (e) (e) = e2 8(e 1) 1 = e2 8e + 7 = (e 1)(e 7) < 0，所以 e < e ，此时恒有 ( ) <
( )，
因此不存在 ∈ 1, e ，使 ( ) > ( )．
综上可知， > 1 e，即 的取值范围为 1 e, + ∞ ．
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