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2024-2025 学年山西省太原市外国语学校高二下学期 5 月月考
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.6 名同学到 , , 三个场馆做志愿者，每名同学只去 1 个场馆， 场馆安排 1 名， 场馆安排 2 名， 场馆
安排 3 名，则不同的安排方法的个数有( )
A. 30 B. 60 C. 120 D. 360
2.已知集合 = { ∈ Z| 2 3 4 < 0}，则集合 的子集个数为( )
A. 3 B. 4 C. 8 D. 16
3.设 是一个离散型随机变量，其分布列如下，则 (| | = 1)等于( )
10 1
2
1 1 3 1
3 2 + 3
A. 2 B. 1 C. 1 D. 33 3 4 4
4. 2 3 ( + 2)5的展开式中 4的系数是( )
A. 90 B. 100 C. 40 D. 60
5.若命题“ ∈ [1,4]，使 2 + 2 > 0 成立”的否定是真命题，则实数 的取值范围是( )
A. ( ∞,1] B. 18 , 1 C. ∞,
1
8 D. [1, + ∞)
6.若二项式( + ) 的展开式中，第 3 项的二项式系数最大，则 的取值不可能是( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
7.C1(1 + )8 + C2(1 + )7 + + C8(1 + ) + C9(1 + )09 9 9 9 的展开式中含 3项的系数为( )
A. 5291 B. 5292 C. 5293 D. 5294
8 1.已知某条线路上有 , 两辆相邻班次的 BRT(快速公交车)，若 准点到站的概率为3，在 准点到站的前提
3 7
下 准点到站的概率为4，在 准点到站的前提下 不准点到站的概率为16，则 准点到站的概率为( )
A. 516 B.
1
4 C.
3 3
16 D. 8
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的有( )．
A.从 10 4名男生，5 名女生中选取 4 人，则其中至少有一名女生的概率为13
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B.若随机变量 10, 13 ，则方差 (3 + 2) = 20
C.若随机变量 ～ (1, 2)， ( < 4) = 0.79，则 ( ≤ 2) = 0.21
D. ( = ) = 已如随机变量 的分布列为 ( +1) ( = 1,2,3)，则 ( = 2) =
2
9
10.将一枚均匀的骰子掷两次，记事件 为“第一次出现偶数点”，事件 为“两次出现的点数和为 9”，则
下列结论中不正确的是( )
A. ( ) = 19 B. ( ∪ ) = ( ) + ( )
C. ( | ) = 13 D. 与 相互独立
11.下列选项正确的是( )
A. 1 1若随机变量 服从两点分布，也称 0 1 分布，且 ( ) = 2，则 ( ) = 8
2
B.若随机变量 满足 ( = ) = C2C42 , = 0,1,2
2
，则 ( ) =
C6 3
C.若随机变量 , 2 , ( ≤ 4) = ( ≥ 0)，则 = 2
D.某人在 10 次射击中，击中目标的次数为 ，若 (10,0.7)，则此人最有可能 7 次击中目标
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.某人连续两次对同一目标进行射击，若第一次击中目标，则第二次也击中目标的概率为 0.8，若第一次
未击中目标，则第二次击中目标的概率为 0.4，已知第一次击中目标的概率是 0.7，则第二次击中目标的概
率为 ．
13.5555被 8 整除的余数为 ．
14.从边长为 1 的正八边形的顶点中随机选 3 个点作为三角形 的顶点，从棱长为 2 的正方体的顶点中随机
选 3 个点作为三角形 的顶点，则 为直角三角形的概率是 为等腰三角形的概率的 倍．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
从 ， ， 等 8 人中选出 5 人排成一排．
(1) 必须在内，有多少种排法
(2) ， 都在内，且 排在 前面，有多少种排法
(3) ， ， 都在内，且 ， 必须相邻， 与 ， 都不相邻，都多少种排法
(4) 不允许站排头和排尾， 不允许站在中间(第三位)，有多少种排法
16.(本小题 15 分)
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某社区对随机抽取的 120 名居民进行“安全卫生服务满意度”问卷调查，其中对社区“安全卫生服务”满
5
意的男性居民占抽取调查人数的12．
满意不满意合计
男性居民 60
女性居民 20 60
合计 120
(1)请根据调查结果将上面的 2 × 2 列联表补充完整，依据小概率值 = 0.05 的独立性检验分析居民对“安
全卫生服务”的满意程度是否有差异；
(2)用分层随机抽样方法，从对社区“安全卫生服务”满意的居民中随机抽取 9 人，再从 9 人中随机抽取 4
人到其他社区交流学习，记这 4 人中女性居民的人数为 ，求 的分布列与期望．
2 = ( )
2
附： ( + )( + )( + )( + )，其中 = + + + ．
2 0.1000.0500.025
≥
2.7063.8415.024
17.(本小题 15 分)
某试点高校校考过程中笔试通过后才能进入面试环节. 2022 年报考该试点高校的学生的笔试成绩 ′近似服
从正态分布 , 2 .其中， 近似为样本平均数， 2近似为样本方差 2.已知 的近似值为 76.5， 的近似值为
5.5，以样本估计总体．
(1)若笔试成绩高于 76.5 进入面试，若从报考该试点高校的学生中随机抽取 10 人，设其中进入面试学生数
为 ，求随机变量 的期望．
(2) 1 1 1 1现有甲、乙、丙、丁四名学生进入了面试，且他们通过面试的概率分别为3、 3、 2、 2 .设这 4 名学生中
通过面试的人数为 ，求随机变量 的分布列和数学期望．
参考数据：若 ～ , 2 ，则： ( < ≤ + ) ≈ 0.6827； ( 2 < ≤ + 2 ) ≈ 0.9545； (
3 < ≤ + 3 ) ≈ 0.9973．
18.(本小题 17 分)
某研发小组为了解年研发资金投入量 (单位：亿元)对年销售额 (单位：亿元)的影响，结合近 10 年的年研
发资金投入量 和年销售额 的数据( = 1,2, 10)，建立了两个函数模型：① = + 2，② = e + ，
其中 ， ， ， 均为常数，e 为自然对数的底数.设 = 2 ， = ln ( = 1,2, , 10)，经过计算得如下数据．
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10 10 10
2 2
=1 =1 =1
20 66 770 200 14
10 10 10
2 2
=1 =1 =1
460 4.20 3125000 0.308 21500
(1)设 和 的相关系数为 1， 和 的相关系数为 2，请从相关系数的角度，选择一个拟合程度更好
的模型．
(2)根据(1)中选择的模型及表中数据，建立 关于 的线性回归方程(系数精确到 0.01)，根据线性回归方程，
若当年的销售额大致为e4亿元，则估计当年的研发资金投入量为多少亿元．

参考公式：相关系数 = =1
，
=1 2

=1 2

线性回归直线 = + = =1 中斜率和截距的最小二乘法估计参数分别为 2 ， = ． =1
19.(本小题 17 分)
甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮．无
论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为 0.6，乙每次投篮的命中率均为 0.8.由抽签确定第 1 次投篮
的人选，第 1 次投篮的人是甲、乙的概率各为 0.5．
(1)求第 2 次投篮的人是乙的概率；
(2)求第 次投篮的人是甲的概率；
(3)已知：若随机变量 服从两点分布，且 = 1 = 1 = 0 = , = 1,2, , ，则 =1 =
=1 .记前 次(即从第 1 次到第 次投篮)中甲投篮的次数为 ，求 ( )．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.0.68/1725
13.7
14.2
15.(1)由题意，先从余下的 7 人中选 4 人共有C47种不同结果，
再将这 4 人与 进行全排列有A55种不同的排法，
故由乘法原理可知共有C4 57A5 = 4200 种不同排法．
(2)由题意，先从余下的 6 人中选 3 人共有C36种不同结果，
再将这 3 人与 、 的进行全排列有A55种不同的排法，
故由乘法原理可知共有C3 56A5种不同排法，
又 、 之间的排列有A22 = 2，
3 5
所以 排在 C A前面，有 6 52 = 1200 种不同排法．A2
(3)因 ， ， 都在内，所以只需从余下 5 人中选 2 人有C25种不同结果，
， 必须相邻，有A22种不同排法，
由于 与 ， 都不相邻，先将选出的 2 人进行全排列共有A22种不同排法，
再将 、 这个整体与 插入到选出的 2 人所产生的 3 个空位中有A23种不同排法，
由乘法原理可得共有C25A2 2 22A2A3 = 240 种不同排法．
(4)分四类：第一类：所选的 5 人无 、 ，共有A56 = 720 种排法；
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第二类：所选的 5 人有 、无 ，共有C4 1 46C3A4 = 1080 种排法；
第三类：所选的 5 人无 、有 ，共有C46C1 44A4 = 1440 种排法；
第四类：所选的 5 人有 、 ，若 排中间时，有C3A46 4种排法，
若 不排中间时，有C3 1 1 36C2C3A3种排法，
共有C3 1 16 C2C3A33+A44 = 1200 种排法；
综上，共有 720 + 1080 + 1440 + 1200 = 4440 种不同排法．
16.(1) 5因为对社区“安全卫生服务”满意的男性居民占抽取调查人数的12，
5
所以对社区“安全卫生服务”满意的男性居民有 120 × 12 = 50(人)，
所以 2 × 2 列联表如下：
满意 不满意 合计
男性居民 50 10 60
女性居民 40 20 60
合计 90 30 120
零假设为 0：居民对“安全卫生服务”满意程度无差异．
120×(50×20 10×40)2 40
根据题表中的数据可得 2 = 60×60×90×30 = 9 ≈ 4.444 > 3.841 = 0.05，
根据小概率值 = 0.05 的 2独立性检验，没有充分证据推断 0成立，
因此可以认为 0不成立，
即认为居民对“安全卫生服务”的满意程度有差异，此推断犯错误的概率不大于 0.05．
(2)由(1)知对社区“安全卫生服务”满意的男性居民有 50 人，女性居民有 40 人，
用分层随机抽样的方法随机抽取 9 人，
则男性居民应抽取 5 人，女性居民应抽取 4 人，
再从 9 人中随机抽取 4 人到其他社区交流学习，记这 4 人中女性居民的人数为 ，
所以 的所有可能取值为 0,1,2,3,4，
4 1 3
所以 ( = 0) = C5 = 5
C C 40 20
4 126， ( = 1) =
4 5
C C4
= 126 = 63，9 9
2 2
( = 2) = C4C5 = 60 = 10 ( = 3) = C
3
4C
1
5
4 126 21， 4 =
20 10
C9 C9 126
= 63，
4
( = 4) = C4 = 1 ，
C49 126
所以随机变量 的分布列为
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0 1 2 3 4
5 20 10 10 1
126 63 21 63 126
所以 ( ) = 0 × 5126 + 1 ×
20 + 2 × 10 10 1 1663 21 + 3 × 63 + 4 × 126 = 9．
17.(1)由 ≈ 76.5 ( > 76.5) = 1，可得 2，
1
即从所有报考该试点高校的学生中随机抽取 1 人，该学生笔试成绩高于 76.5 的概率为2
1 1
所以随机变量 服从二项分布 10, 2 ，故 ( ) = 10 × 2 = 5．
(2) 的可能取值为 0,1,2,3,4，
2
( = 0) = C0 × 1 1 × C0 × 1 1
2
2 3 2 2 =
1
9，
( = 1) = C1 × 1 × 1 1
2 2
× C0 × 1 1 0 1 1 12 3 3 2 2 + C2 × 1 3 × C2 × 2 × 1
1 = 12 3，
2 2 2 2
( = 2) = C2 1 0 1 1 1 12 × 3 × C2 × 1 2 +C2 × 3 × 1 3 × C
1 × 1 × 1 1 + C0 × 1 1 × C2 1 132 2 2 2 3 2 × 2 = 36，
2 2
( = 3) = C2 × 1 × C1 × 1 × 1 1 +C1 12 3 2 2 2 2 × 3 × 1
1 × C2 × 1 13 2 2 = 6，
( = 4) = C2 × 1
2 1 2
2 3 × C
2 1
2 × 2 = 36，所以 的分布列为
0 1 2 3 4
1 1 13 1 1
9 3 36 6 36
所以 ( ) = 0 × 19+ 1 ×
1 13
3 + 2 × 36 + 3 ×
1 + 4 × 1 = 56 36 3．
10
18.(1)由题意可知 1 =
=1 = 21500 = 21500 43
10 210 2 3125000×200 25000
= 50 = 0.86， 2 =
=1 =1
10 =1 = 14 = 14 = 10 ≈ 0.91
10 =1 2
10 2 770×0.308 77×0.2 11 =1
因为 1 < 2 ，所以从相关系数的角度，模型 = e + 的拟合程度更好．
(2)因为 = e + ，所以 ln = + ，即 = + ．
=
10
=1 由题中数据可得
= 14 110 = ≈ 0.02， =1 2 770 55
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则 = = 4.20 155 × 20 = 3.84，从而 关于 的线性回归方程为 = 0.02 + 3.84，
故 ln = 0.02 + 3.84，即 = e0.02 +3.84．
将年销售额 = e4亿元，代入 = e0.02 +3.84，得e4 = e0.02 +3.84，解得 = 8，
故估计当年的研发资金投入量为 8 亿元．
19.(1)记“第 次投篮的人是甲”为事件 ，“第 次投篮的人是乙”为事件 ，
所以， 2 = 1 2 + 1 2 = 1 2| 1 + 1 2| 1
= 0.5 × (1 0.6) + 0.5 × 0.8 = 0.6．
(2)设 = ，依题可知， = 1 ，则
+1 = +1 + +1 = +1| + +1| ，
即 +1 = 0.6 + (1 0.8) × 1 = 0.4 + 0.2，
构造等比数列 + ，
设 2 +1 + = 5 + ，解得 =
1 1 = 23，则 +1 3 5
1
3 ，
又 1 1 1 1 1 21 = 2 , 1 3 = 6，所以 3 是首项为6，公比为5的等比数列，
1 1 2 1 = × , = 1 × 2
1
+ 1即 3 6 5 6 5 3．
1
(3)因为 =
1
6 ×
2 1
5 + 3， = 1,2, , ，

1 1
2
所以当 ∈ N 时， ( ) = 1 + 2 + + = 6 ×
5 + = 5 1 2 + ，
1 2 3 18 5 35

故 ( ) = 5 2 18 1 5 + 3．
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