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2024-2025学年四川省南充高级中学高二下学期第二次月考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.端午节吃粽子是我国的传统习俗．现有一盘中装有个粽子，其中个不同的蛋黄粽，个不同的豆沙粽．若从蛋黄粽和豆沙粽中各取个，则不同的取法种数为( )
A. B. C. D.
2.的展开式的第项的系数为( )
A. B. C. D.
3.已知数列为等比数列，为，的等差中项，则的公比为( )
A. 或 B. C. 或 D.
4.中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”“礼”，主要指德育；“乐”，主要指美育；“射”和“御”，就是体育和劳动；“书”，指各种历史文化知识；“数”，指数学某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“乐”和“书”两门课程相邻排课，则“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
5.“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉年所著的详解九章算法一书中就有出现．在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和．小明将杨辉三角每行两边的数改成了，，得到下图中的三角数阵，并将其命名为“南开三角”假设第行的第二个数为，如则( )
A. B. C. D.
6.函数的极大值点是( )
A. B. C. D.
7.双曲线的左右焦点分别为，以的实轴为直径的圆记为，过作的切线与曲线在第一象限交于点，且，则曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
8.若关于的不等式对恒成立，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 可表示为
B. 若把英文“”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有种
C. 老师手里有张参观游园的门票分给人中的人，则分法有种
D. 个朋友聚会，见面后每两个人握手一次，一共握手次
10.已知，则( )
A. 存在唯一的，使得与轴相切
B. 存在不同的，使得在轴和轴上截得的线段相等
C. 存在个不同的，使得过坐标原点
D. 存在唯一的，使得的面积被直线平分
11.定义：在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，这样的操作叫作该数列的一次“美好成长”将数列、进行“美好成长”，第一次得到数列、、；第二次得到数列、、、、；；设第次“美好成长”后得到的数列为、、、、、，并记，则( )
A.
B.
C.
D. 数列的前项和为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知数列，，，且，则 ．
13.已知反比例函数的图象是双曲线，则这个双曲线的实轴长为 ．
14.从原点出发的某质点，按向量移动的概率为，按向量移动的概率为，设可达到点的概率为，则的值为 ， 用含的式子表示．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在递增的等比数列中，，，其中．
求数列的前项和；
求数列的前项和除以的余数．
16.本小题分
已知函数在处取得极值．
求函数的单调区间；
求函数在区间的最大值与最小值．
17.本小题分
已知：椭圆过点，且离心率是，过右焦点且斜率为的直线与椭圆交于，两点，是中点，为坐标原点．
求椭圆的方程；
设线段的垂直平分线与轴、轴分别相交于点，若与的面积相等，求直线的斜率．
18.本小题分
设函数，曲线在点处的切线方程为．
求实数的值；
若函数有两个不同的零点，，且，
求实数的取值范围；
试比较与的大小关系，并说明理由．
19.本小题分
如图所示数阵，第行共有个数，第行的第个数为，第个数为，第个数为规定：．

求值：；
求第行的个数之和计算结果用组合数表示，并判断它与第行的最后一个数的大小关系需说明理由；
从第行起，每一行最后一个数依次构成数列，设数列的前项和为，是否存在正整数，使得对任意正整数，恒成立？如存在，请求出的最大值，如不存在，请说明理由．
参考答案
1.
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3.
4.
5.
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8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.；
15.解：已知等比数列是递增，则，，
且
解得舍去，当时，可得，
所以其前项和，
由得，
由二项式定理得
设，
所以
即除以的余数为．
16.解：由题意得，由题意得，即，解得，
故，定义域为，
，令得或，令得，
故在，上单调递增，在上单调递减，
易知为极小值点，符合题意，
所以单调递增区间为，，单调递减区间为．
由知，在，上单调递增，在上单调递减，
单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
所以，．
又，，
故的最大值为，最小值为．
17.解：因为椭圆过点，所以，又，且，
解得，所以椭圆的方程为；
由题意，得，直线，
设，，
联立，消去，得，
显然，，
则点的横坐标，
点的纵坐标．
即，
所以线段的垂直平分线方程为：，
令，得；令，得，
所以的面积，
的面积．
因为与的面积相等，
所以，解得，
所以当与的面积相等时，直线的斜率．
18.解：函数，求导得，
由曲线在处的切线方程为，得，解得，
经验证，符合题意，所以．
方法一：函数有两个不同的零点，
等价于方程有两个不同的根，
等价于函数的图象与直线有两个不同的交点，
，当时，；当时，，
函数在上单调递减，在上单调递增，，
而当从大于的方向趋近于时，在，当时，，
所以的取范围为
方法二：令，
由方程有两个不同的解，得函数有两个不同的零点，
，当时，；当时，，
函数在上单调递增，在上单调递减，则，解得，
而，，
令，求导得，函数在上递减，
，
所以．
，不妨令，，
由知，，即，而，
只需证明，即证，令，
令，求导得，
函数在上单调递减，，即，
因此，所以．
19.解：
第行的个数之和为
，
第行的最后一个数为
法一：
所以第行的个数之和与第行的最后一个数相等．
法二，
，
同理；
当，时，，，当时，此时显然不成立．
猜测：存在正整数，使得恒成立，的最大值为．
下证：当时，恒成立
由知，，则，
因为
．
又，当时，
当时，，所以．
综上：存在正整数，的最大值为，使得恒成立．

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