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2024-2025 学年福建省宁德市柘荣县第一中学高一下学期 5 月月考
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1 3 +1.计算 2 的值是( )
A. 7 1 B. 7 +1 C. 7 1 D. 7 +15 5 3 3
2.一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形 ′ ′ ′，若 ′ ’ = 2，那么原 的面
积是( )
A. 1 B. 2 C. 2 2 D. 4 2
3. 是两个不重合的平面，在下列条件下，可判定 // 的是( )
A. 都平行于直线
B. 内有三个不共线的点到 的距离相等
C. 是 内的两条直线且 // ， //
D. 是两条异面直线且 // ， // ， // ， //
4. 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 ， ， 满足 2 = ，且 = 2 ，则 cos =( )
A. 14 B.
3
4 C.
2
4 D.
2
3
5.在 中， 是 的中点， = 1，点 在 上且满足 = 2 ，则 ( + )等于( )
A. 4 4 4 49 B. 3 C. 3 D. 9
6.把正方形 沿对角线 折起，当以 ， ， ， 四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线 和平面
所成角的大小为( )
A. 90° B. 60° C. 45° D. 30°
7.已知球面上 ， ， 三点，如果 = = = 3 20 5，且球的体积为 3 ，则球心到平面 的距离为
( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 2
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2
8.在锐角 中，角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，且满足 2 cos + = 0 sin ，则sin( )的取值范
围是( )
A. 0, 2 B. 12 2 ,
2 1
2 C. 2 , 1 D. (0,1)
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列两个向量，不能作为基底向量的是( )
A. 1 = (0,0), 2 = (1,2) B. 1 = (2, 1), 2 = (1,2)
C. 1 = ( 1, 2), 2 = (1,2) D. 1 = (1,1), 2 = (1,2)
10.已知 , 是两个不重合的平面， , 是两条不同的直线，则下列命题中正确的是( )
A.若 ⊥ , ⊥ ，则 // B.若 ⊥ , ⊥ , ⊥ ，则 ⊥
C.若 // , // ，则 // D.若 // , // , ∩ = ，则 //
11.“端午节”为中国国家法定节假日之一，已被列入世界非物质文化遗产名录，吃粽子便是端午节食俗之
一．全国各地的粽子包法各有不同．如图，粽子可包成棱长为 6cm 的正四面体状的三角粽，也可做成底面
3
半径为2 cm，高为 6cm(不含外壳)的圆柱状竹筒粽．现有两碗馅料，若一个碗的容积等于半径为 6cm 的半
球的体积，则( )(参考数据： 2 ≈ 4.44)
A.这两碗馅料最多可包三角粽 35 个 B.这两碗馅料最多可包三角粽 36 个
C.这两碗馅料最多可包竹筒粽 21 个 D.这两碗馅料最多可包竹筒粽 20 个
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知向量 = ( , 1), = (1,2 )，若 // ，则实数 = ．
13.所有棱长均为 2 的正三棱柱 1 1 1，它的顶点均在球 的表面上，则球 的表面积为 ．
14.四中高一同学测量学校教学大楼的高度时，在跑道上选择了相距 24 米的两点 、 ，分别测得楼顶 的
仰角∠ = 45°，∠ = 30°，又测得楼底 与 的连线与跑道所成的角∠ = 120°( 、 、 三处在同
一水平面上)，则学校教学大楼的高度为 ．
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四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知 (1,2), (2,4), (4, )
(1)若 , , 三点共线，求 ；
(2)若 ⊥ ( + )，求 cos , ．
16.(本小题 15 分)
一个边长为 4 的正方形剪去一个腰长为 2 的等腰直角三角形，得到如图所示的五边形 ，将五边形
绕直线 旋转一周．
(1)求所得几何体的体积；
(2)求所得几何体的表面积．
17.(本小题 15 分)
如图，直三棱柱 1
π
1 1中，∠ = 2， 、 分别为 、 1 1的中点．
(1)求证： 1 //平面 1 ；
(2)求证： ⊥ ．
18.(本小题 17 分)
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cos = cos 记 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且满 2 + ．
(1)求 ；
(2)若 = 2 = 2，求 外接圆的半径；
(3)已知角 的平分线交 于点 ，且 = 1，当 + 4 取最小值时，求 的面积．
19.(本小题 17 分)
如图，已知等腰梯形 的外接圆半径为 2， /\ !/ , = 2 ，点 是上半圆上的动点(不包含 ,
两点)，点 是线段 上的动点，将半圆 所在的平面沿直径 折起使得平面 ⊥平面 ．
(1)求三棱锥 体积的最大值；
(2)当 // | |平面 时，求| |的值；
(3)设 与平面 所成的角为 ，二面角 的平面角为 .求证：tan = 2tan ．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.1
13.28 /283 3
14.24
15.(1) = (1,2), = 5, = (3, 2)，故由 , , 三点共线，得 =
所以， 2 = 2 × 3，解得： = 8， = (3,6)，所以， = 32 + 62 = 3 5
(2)(2)方法一： = 3 + 2( 2) = 2 1
由 ⊥ ( + )得 + = 0
2
即： = = 5
所以，2 1 = 5， = 2
所以， = (3, 4)， = 5
5 5
cos , = = =
5 5 5
方法二：
+ = (4, )，由 ⊥ ( + )得 1 × 4 + 2 × = 0
解得 = 2.所以 = (3, 4)， = 5， = 5

cos ,
5 5
= = =
5 5 5
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16.(1)将五边形 绕直线 旋转一周得到的几何体是一个底面半径为 4 高为 4 的圆柱挖去一个底面半
径为 2 高为 2 的圆锥，
1
所以所得几何体的体积 = 2圆柱 圆锥 = π × 4 × 4 3 × π × 2
2 × 2 = 1843 π；
(2) 1易知圆锥的母线为 = 2 2，所以 圆锥侧 = 2 × π × 2 × 2 × 2 2 = 4 2π, 圆锥底 = 4π，
2圆柱 = π× 4 × 2 + 2π × 4 × 4 = 64π，
所得几何体的表面积 = 圆柱 + 圆锥侧 圆锥底 = 64π + 4 2π 4π = (60 + 4 2)π．
17.(1)连接 1, 1 交于 点，连接 ，
则直三棱柱 1 1中，四边形 1 为平行四边形，
则 为 1的中点，又 为 的中点，故 // 1 ，
平面 ， 1 平面 ，故 1 //平面 1 ．
(2)取 中点为 ，连接 ， ， 为 1 的中点，
故 // 1，而 1 ⊥底面 ，
故 ⊥底面 ， 底面 ，故 ⊥ ；
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又 为 的中点，则 // ，而∠ = 2，即 ⊥ ，
故 ⊥ ，
而 ∩ = ， 平面 ， 平面 ，
故 ⊥平面 ，
又 平面 ，故 ⊥ ，即 ⊥ ．
18.(1)由已知得(2 + )cos + cos = 0，
在 中，由正弦定理得 2sin + sin cos + sin cos = 0，
化简得 sin cos + cos sin = 2sin cos ，
即 sin cos + cos sin = sin( + ) = sin = 2sin cos ，
又 ∈ 0, π ，所以 sin > 0，
所以 cos = 12，
又 ∈ 0, π 2π，所以 = 3．
(2)由(1) 1和余弦定理得 2 = 2 + 2 2 cos = 4 + 1 2 × 2 × 1 × 2 = 7，
所以 = 7．
设 7 2 21外接圆的半径为 ，由正弦定理得 2 = sin = =sin2π 3
，
3
所以 = 213 ．
(3) (1) = 2π由 得 3，
因为角 的平分线交 于点 ，
π
所以∠ = ∠ = 3，
又 = + ，
1 2π 1 π
所以2 sin 3 = 2 sin 3 +
1
2 sin
π
3，
又 = 1，所以 = + 1 1，即 + = 1，
所以 + 4 = ( + 4 ) 1+ 1 = 1 + 4 +
4 + ≥ 5+ 2
4


= 9，
4
当且仅当 = ，即 = 2 时 + 4 取得最小值，
由 = + 3，解得 = 2， = 3，
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1
所以 = 2 sin
2π = 13 2 × 3 ×
3 3 9 3
2 × 2 = 8 ．
19.(1)解：当 ⊥ 时，
平面 ，由平面 ⊥平面 ，平面 ∩平面 = ，
知 ⊥平面 ，
此时， 到平面 的距离最大，为| | = 2，
1 1 1 2 3
所以， 的最大值为3 × × | | = 3 × 2 × 2 × 3 × 2 = 3 ，
(2)连接 交 于点 ，连接 ，
则平面 ∩平面 = ，
依题意， //平面 ， 平面 ，所以 // ，
| | | |
所以，| | = | |，
等腰梯形 中， ∽△ ，
| |
所以| | =
| | | | 1
| | = | | = 2，
(3)证明：作 ⊥ 垂足为 ，连接 ，
平面 ⊥平面 ，平面 ∩平面 =
此时， ⊥平面 ， 是 在平面 的射影，
所以∠ 即为 与平面 所成的角 ；
tan = | || |，
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过 作 ⊥ 垂足为 ，连结 ，
又 ⊥ ， ∩ = ，
所以 ⊥平面 ， 平面 ， ⊥ ，
所以∠ 即为二面角 的平面角 ，
| |
tan = | | tan | | | || |，所以tan = | | = | | = 2，即 tan = 2tan ．
| |
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