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2024-2025 学年江苏省徐州市铜山区新星学校高一下学期第二次学情
调研数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若 3 2i = + i( , ∈ R, i 是虚数单位)，则 , 的值分别等于( )
A. 3, 2 B. 3,2 C. 3, 3 D. 1,4
2.已知 中内角 、 、 的对边分别是 、 、 ， = 6， = 4， = 120 ， =( )
A. 76 B. 27 C. 2 19 D. 2 7
3 1.已知 cos2 = 2，则sin
2 =( )
A. 1 1 3 34 B. 2 C. 4 D. 2
4.设 是平面， ， 是两条直线，则下列命题正确的是( )
A.若 // ， // ，则 // B.若 ⊥ ， // ，则 ⊥
C.若 // ， // ，则 // D.若 , 与 所成的角相等，则 //
5.已知角 的终边经过点 1, 3 ，则 cos 的值为( )
A. 32 B.
3
2 C.
1 1
2 D. 2
6.在 5中，cos 2 = 5 ， = 1， = 5，则 =( )
A. 4 2 B. 30 C. 29 D. 2 5
7.如图，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为一个正方形，则原图的面积为( )
A. 2 2 B. 2 C. 2 D. 24
8.已知 sin π 36 + cos = 5，则 cos 2 +
π
3 =( )
A. 7 7 24 2425 B. 25 C. 25 D. 25
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题正确的有( )
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A.对于复数 ，则 2 = | |2
B.对于向量 ，则 2 = 2
C.若 1， 2为复数，则 1 2 = 1 2
D.若 ， 为向量，则 =
10.如图是某正方体的平面展开图．关于这个正方体，以下判断正确的是( )
A. // B. //平面
C.平面 //平面 D. , 是异面直线
11.下列关于平面向量的说法中正确的是( )
A. 为点 ， ， 所在直线外一点，且 = + 0.4 ，则 = 0.6
B.已知非零向量 = (1,2), = (1,1)，且 与 + 5的夹角为锐角，则实数 的取值范围是 3 , + ∞
C.已知向量 = (2 3, 2), = ( 1, 3)，则 在 上的投影向量的坐标为( 3, 3)
D.若点 为 中线的交点，则 + + = 0
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知单位向量 ， π的夹角为 3，则 + 2 = ．
13 .已知 tan( + 4 ) = 3，则 tan = ．
14.某封闭的圆锥容器的轴截面为等边三角形，高为 6.一个半径为 1 的小球在该容器内自由运动，则小球能
接触到的圆锥容器内壁的最大面积为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知复数 1 = + i， 2 = 1 i， ∈ ．
(1)当 = 1 时，求 1 2的值．
(2)若 1 2 2是纯虚数，求 的值．
(3) 若 1 在复平面上对应的点在第二象限，求 的取值范围．2
16.(本小题 15 分)
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1
已知 ， ， 分别为 三个内角 ， ， 的对边，且 2 = cos ．
(1)求 ；
(2)已知 = 2，______，且 为 的中点，求线段 的长．
在① 周长为 6；② 面积为 3这两个条件中任选一个填在上面横线上，作为条件，并解决该问题．
(注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．)
17.(本小题 15 分)
如图，在平行四边形 中，点 为 中点，点 , 在线段 上，满足 = = ,设 = , = ．
(1)用向量 , 表示向量 ；
(2)若 = 3, = 1, ∠ = π，求 6 ．
18.(本小题 17 分)
如图，在四棱锥 中， 是正方形， ⊥平面 ， = ， , , 分别是 , , 的中点．
(1)求证： ⊥ ；
(2)求证：平面 //平面 ．
19.(本小题 17 分)
已知 ( ) = 3sin cos cos2 + 12，
(1)若 ∈ 0, π 34 , ( ) = 3 ，求 cos2 的值；
(2)在三角形 中，若 ( ) = 1，求 sin + sin 的最大值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 7
13.2
14.15π
15.(1)当 = 1 时，可得 1 2 = (1 i)(1 i) = 1 2i + i2 = 2i；
(2)由复数 1 2 2 = ( 2) + 3i 为纯虚数，可得 2 = 0，解得 = 2；
(3) 1 = +i = ( + )(1+i) + i+i+i
2 1 +1
由 2 1 i (1 )(1+i)
= 2 = 2 + 2 i，
1 +1
可得 1 在复平面上复数对应点 (2 2
, 2 )，
1 < 0
因为点 位于第二象限点，可得 2 +1 ，解得 1 < < 1，所以 的范围是( 1,1)．
2 > 0
16.(1) 1因为 2 = cos ，由正弦定理得 sin
1
2 sin = sin cos ，
又 + + = π，所以 sin = sin( + ) = sin cos + cos sin ，
1
代入上式得 cos sin = 2 sin ，因为 sin > 0
1
，所以 cos = 2，
又 0 < < π，所以 = π3．
(2)选择①：因为 周长为 6，又 = 2，所以 + = 4．
由余弦定理 2 = 2 + 2 2 cos ，且 = 2， = π3，
由余弦定理得 4 = 2 + 2 = ( + )2 3 ，
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= ( + )
2 4
则 3 = 4，
2 + 2 = 8．
2 2 2 2 2
因为 = 1 2 +
1 1，所以 = + = + + 2 4 4
= 1
2 2
+ + 2 4 cos ，即
2 = 1 2 + 24 + =
1
4 (8 + 4) = 3，
所以 = 3．
选择②
3 1 π因为 面积为 ，则2 sin 3 = 3，解得 = 4．
由余弦定理 2 = 2 + 2 2 cos ，且 = 2， = π 23，解得 +
2 = 8，
1 2 1 2 2 2因为 = 2 + ，所以 = 4 + =
1 + 4 + 2

= 1
2
+
2
4 + 2
cos ，即 2 = 1 24 +
2 + = 14 (8 + 4) = 3，
所以 = 3．
17.(1)因点 为 中点，点 , 在线段 上，满足 = = ,
→
= 1 = 1 = 1 = 1 = 1
→ → → →
2 2 2 ， 3 3 ( ) =
1 1
3 3 ，
1 → → 1 → → → →
故 = + + = 2 + + 3 ( ) =
1 2
6 + 3 ；
→ →
(2) 3由题意，则 · = 3 × 1 × cos 6 = 2，
→ → → → → → → →
= + = + = 1 2 1 1 1 16 + 3 + 3 3 = 6 + 3 ，
→ → → → → → →
所以| |2 = ( 16 +
1
3 )
2 = 136
2 + 19 · +
1 2
9
= 136 × 3 +
1 3 1 13
9 × 2 + 9 × 1 = 36，
所以 = 136 ．
18.(1)由 ⊥平面 ，得 ⊥ ，又 ⊥ ( 是正方形)， ∩ = ，所以 ⊥平面 ，
所以 ⊥ ．
(2)由 , 分别是线段 , 的中点，所以 // ，又 为正方形， // ，所以 // ，又 平
面 ，所以 //平面 .因为 , 分别是线段 , 的中点，所以 // ，又 平面 ，所以 //
平面 .因为 ∩ = , , 平面 ，所以平面 //平面 ．
19.(1)解：由函数 ( ) = 3sin cos cos2 + 1 = 32 2 sin2
1
2 cos2 = sin 2
π
6 ，
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∈ 0, π ( ) = 3 2 π ∈ π π因为 4 ，且 3 ，所以 6 6 , 3 且 sin 2
π = 36 3 ，
π π 6
所以 cos 2 6 = 1 sin
2 2 6 = 3 ，
则 cos2 = cos 2 π π π π6 + 6 = cos 2 6 cos 6 sin 2
π
6 sin
π 2 3
6 = 2 6 ．
(2)解：由(1)得 ( ) = sin 2 π6 = 1，
π π π
因为 0 < < π，可得 2 6 = 2，即 = 3，
所以 sin + sin = sin + sin 2π3 =
3
2 sin +
3
2 cos = 3sin +
π
6 ，
因为 0 < < 2π π3，所以6 < +
π
6 <
5π 1 π
6 ，可得2 < sin + 6 ≤ 1，
3 π
所以 2 < 3sin + 6 ≤ 3，
= π故当 3时，sin + sin 取最大值，最大值为 3．
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