资源简介

2024-2025 学年山东省菏泽市鄄城县第一中学高一下学期 5 月月考
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知直线 和平面 ，则“ ”是“直线 与平面 无公共点”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
2.已知复数 满足(1 ) = 2016(其中 为虚数单位)，则 的虚部为( )
A. 12 B.
1
2 C.
1
2 D.
1
2
3.如图，在三角形 中， = 1 2 , 是线段 上的一点，若
= + 1 5 ，则实数 的值为( )
A. 25 B.
3 4 3
5 C. 5 D. 4
4.若棱台的上、下底面面积分别为 4,16，高为 3，则该棱台的体积为( )
A. 26 B. 28 C. 30 D. 32
5.已知 = ( 2, 1)， = ( , 1)，若 与 的夹角 为钝角，则 的取值范围为( )
A. ( 12 , + ∞) B. (
1
2 , 2) ∪ (2, + ∞) C. ( ∞,
1
2 ) D. ( 2,2)
6.如图，在平行四边形 中， 、 分别为 、 的中点，设 = ， = ，则向量 =( )
A. 23 +
B. 23 +
2
3
C. 1 2 2 3 3 D. + 3
7.已知半球内有一个内接正方体，正方体的一个面在半球的底面圆内，若正方体的棱长为 2，则半球的表面
积为( )
A. 10 B. 12 C. 15 D. 18
第 1页，共 8页
8.在 中，点 满足 = 3 ，过点 的直线与 、 所在的直线分别交于点 、 ，若 = ， =
( > 0, > 0)，则 + 的最小值为
A. 22 + 1 B.
3
2 + 1 C.
3
2 D.
5
2
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题正确的是( )
A.若 // ，则存在唯一实数 使得 =
B.“ = ”是“ = ”的必要不充分条件
C.已知 , 为平面内两个不共线的向量，则 + , + 3 可作为平面的一组基底
D.若点 为 的重心，则 + + = 0
10.如图，四边形 的斜二测画法的直观图为等腰梯形 ′ ′ ′ ′，已知 ′ ′ = 4， ′ ′ = 2，则
下列说法正确的是( )
A. ′ ′ = 2 2 B. = 4
C.四边形 的面积为 6 2 D.四边形 的周长为 6 + 6 + 2
11.在 中，角 , , 所对的边分别为 , , ，设 的面积为 ，下列命题中正确的是( )．
A. 若cos = cos = cos ，则 是等边三角形
B.若 cos = cos ，则 是等腰三角形
C. cos = 若 ，则 是直角三角形
D.若 = 2 33 ，且 2 = + ，则 是等边三角形
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.与向量 = ( 3,1)方向相反的单位向量的坐标为 ．
第 2页，共 8页
13.在△ 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ， = 2， = 45°，若三角形有两解，则 的取值范围
是 ．
14.正三棱锥底面边长为 3，侧棱长为 2 3，则该正三棱锥的高为 ，侧面上的斜高为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知平面向量 = (1,3), = (6, )．
(1)若 ⊥ ，求 2 3 的值；
(2)若 // ,求 的值；
(3)若向量 = (1, 1)，若 + 与 共线，求
16.(本小题 15 分)
已知复数 = 1 + ( 是虚数单位， ∈ )，且 (3 + )为纯虚数( 是 的共轭复数)．
(1) +2 设复数 1 = 1 ，求 1 ；
2017(2)设复数 2 = ，且复数 2所对应的点在第一象限，求实数 的取值范围．
17.(本小题 15 分)
如图所示，某建筑物模型无下底面，有上底面，其外观是圆柱，底部挖去一个圆锥.已知圆柱与圆锥的底面
大小相同，圆柱的底面半径为 6cm，高为 20cm，圆锥母线为 10cm．
(1)计算该模型的体积. (结果精确到 1cm3)
(2)现需使用油漆对 500 个该种模型进行涂层，油漆费用为每平方米 30 元，总费用是多少？(结果精确到 1
元)
18.(本小题 17 分)
1
在锐角 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 是该三角形外接圆的半径，且2 sin cos cos =
3
2 ．
(1)求角 ；
第 3页，共 8页
(2)若 3 的面积为 ，求 2 的取值范围．
19.(本小题 17 分)
如图，设 、 是平面内相交成 0 < < π 的两条射线， 1、 2分别为 、 同向的单位向量，定义平
面坐标系 为 仿射坐标系，在 仿射坐标系中，若 = 1 + 2，则记 = ( , )．
(1) π在4 仿射坐标系中，若 = 2, 1 ，求 ；
(2)在 仿射坐标系中，若 = ( 1,3)， = ( 3,1) π，且 与 的夹角为3，求 cos ；
(3) π 7如图所示，在 仿射坐标系中， 、 分别在 轴、 轴正半轴上， = 1， = 3 19 ， 、 分别为 、
中点，求 的最大值．
第 4页，共 8页
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 3 10 , 1010 10
13. 2, 2
14.3
39/1； 2 3 39
15.(1)因为 ⊥ ，所以 = 0，则 1 × 6 + 3 = 0，解得 = 2，
故 = (6, 2)，2 3 = 2(1,3) 3(6, 2) = (2,6) (18, 6) = ( 16,12)．
(2)因为 // ，所以 = 3 × 6 = 18，则 = (6,18)， = 62 + 182 = 6 10．
(3) + = (1,3) + (6, ) = (7,3 + )， = (6, ) (1, 1) = (5, + 1)，
若 + 与 共线，则 5 × (3 + ) = 7 × ( + 1)，解得 = 4，即 = (6,4)，
故 = 1 × 6 + 3 × 4 = 18．
16.∵ = 1 + ，∴ = 1 . ∴ (3 + ) = (1 )(3 + ) = (3 + ) + (1 3 ) ．
又∵ (3 + ) 3 + = 0为纯虚数，∴ 1 3 ≠ 0，解得 = 3. ∴ = 1 3 ．
(1) = 3+2 5 1 261 1 = 2 2 ，∴ 1 = 2 ；
(2) ∵ = 1 3 ∴ = = ( +3)+(3 1) ， 2 1 3 10 ，
又∵复数 2所对应的点在第一象限，
∴ + 3 > 0 13 1 > 0，解得： > 3．
第 5页，共 8页
17.(1)设圆锥的高为 1，
由题意得圆锥母线为 10 ，
则 1 = 102 62 = 8cm，
= 20π × 62 13π × 6
2 × 8 = 624π ≈ 1960cm3；
(2)圆柱的侧面积为 2π 20 = 240π，圆柱的上底面的面积为 36π，
圆锥侧面积为 锥侧 = 60π．
∴ 总 = 240π + 36π + 60π = 336πcm
2，
336π×500×30
故总费用为 104 ≈ 1583(元)．
18.(1) 1 3依题意，2 sin cos cos = 2 ，
sin 2 cos cos = 3 ，
由正弦定理得 2 sin sin 2 cos cos = 3 × 2 sin ，
所以 sin sin cos cos = 3sin ，
cos( + ) = cos = 3sin ，
所以 tan = 3 π3 ，所以 为锐角，且 = 6．
(2) 3 2 =
3 = 2 3 3
2×1 sin
= sin ，
2
0 < < π
由于三角形 是锐角三角形，所以 2 ,
+ π6 >
π
2
π < < π 3 < sin < 1,1 < 1 < 2 , 3 < 3 < 2所以3 2，所以 2 sin 3 sin ，
3 3 2
所以 2 的取值范围是 , ．
19.(1) π由题意可知， 1、 2的夹角为4，
π 2
由平面向量数量积的定义可得 1 2 = 1 2 cos 4 = 2 ，
因为 = 2, 1 ，则 = 2 1 + 2，.
2
2
则 = 2 1+
2
2 = 2 1 + 2 2 1 2 + 2
2 = 2 + 2 2 22 + 1 = 5，所以 = 5．
(2)由 = ( 1,3)， = ( 3,1)，得 = 1+ 3 2， = 3 1 + 2，
且 1 2 = 1 × 1 × cos = cos ，
第 6页，共 8页
2
所以， = 1 + 3 2
2
2 = 1 6 1 2 + 9
2
2 = 10 6cos ，
2 = 3 1 + 2 2 = 9
2
1 6
2
1 2 + 2 = 10 6cos ，则 = = 10 6cos ，
= 1 + 3 2 3 1 + 2 = 3
2
1 + 3 2
2 10 1 2 = 6 10cos ，
π π cos = = 6 10cos 1 1因为 与 的夹角为3，则 3 10 6cos = 2，解得 cos = 7．
(3)依题意设 ( , 0)、 (0, )( > 0, > 0)，
且∠ = π， = 1， = 7 3 19 = 0,
7
19 ，
因为 为 的中点，则 = + = + 1 = + 1 = 1 + 1 12 2 2 2 = 2 1 +
1
2 2，
1 1 1 7因为 为 中点，同理可得 = + 2 2 = 2 1 + 38 2，
所以， = 1 + 12 1 2
1 7
2 2 1 + 38 =
1 2
2 4
2
1 +
7 2 2 7 1
76 2 + 76 + 4 1 2，
2 2
由题意可知， 1 = 2 = 1， = 12 × cos
π = 11 2 3 2，
= 1 2 + 7 2 + 7 + 1 1 = 1 2 7 2 13则 4 76 76 4 2 4 + 76 + 76 ，
在 中依据余弦定理得 2 + 2 = 1，所以 = 2 + 2 1，
代入上式得， = 8 2 5 2 13 119 + 19 76 = 19 8
2 + 5 2 1376．
在 中，由正弦定理sinπ =3 sin∠
= sin∠ ，
设∠ = ，则 sin∠ = sin + π 2π3 ，且 0 < < 3 ，
2π
2 2 1 cos 2 +
所以， = 3 sin ， = 3 sin +
π
，8 2 + 5 2 = 203 3 sin
2 + π + 323 3 sin
2 = 20 × 3 323 2 + 3 ×
1 cos2
2
2 1 3
= 3 8 1 cos2 + 5 1 + 2 cos2 + 2 sin2
= 23 13 +
5 3
2 sin2
11
2 cos2 =
2
3 13 + 7sin(2 ) ，
第 7页，共 8页
为锐角，且 tan = 115 3，
0 < < 2π 4π因为 3 ，则 < 2 < 3 ，
故当 2 = π 2 2 2 402时，8 + 5 取最大值3 (13 + 7) = 3，
= 1则 19 8
2 + 5 2 13 1 40 13 12176 ≤ 19 3 76 = 228 .
第 8页，共 8页

展开更多......

收起↑