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2024-2025 学年安徽省阜阳市临泉县临化高级中学有限公司高一下学
期 5 月月考数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1 2 i.已知1+ i = i， , ∈ R

，则 =( )
A. 1 12 B. 2 C. 2 D. 2
2.设集合 = 2 < < + 2 ， = < 3 或 > 5 ，若 ∩ = ，则实数 的取值范围为( )
A. 32 , + ∞ B.
3
2 , + ∞ C. ∞,
3 3
2 D. ∞, 2
3 1.如图，在梯形 中， // ， = 2 ， 为线段 的中点，且 = ，则 4 =( )
A. 1 + B. 1 C. 2 2 +
1
2
D. 1 2
4.一个圆台的母线长等于上、下底面半径和的一半，且侧面积是 32 ，则母线长为( )
A. 2 B. 2 2 C. 4 D. 8
5 .已知定义域为 R 的偶函数 ( )满足：对任意 1， 2 ∈ [0, + ∞) 1 ≠ 2 ，都有 1 2 > 0 成立，则满1 2
足 (2 1) ≤ (1)的 取值范围是( )
A. ∞,1 B. 12 , 1 C. [0,1] D. 0,
1
2
6.已知 ， 满足 = 10， = 6，且 ⊥ ，设 在 方向上的投影向量为 ，则 =( )
A. 1 B. 1 C. 12 D.
1
2
7.古希腊数学家阿基米德是世界上公认的三位最伟大的数学家之一，其墓碑上刻着他认为最满意的一个数
学发现，如图，一个“圆柱容球”的几何图形，即圆柱容器里放了一个球，该球顶天立地，四周碰边，在
2 2
该图中，球的体积是圆柱体积的3，并且球的表面积也是圆柱表面积的3，若圆柱的表面积是 6 现在向圆柱
和球的缝隙里注水，则最多可以注入的水的体积为( )
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A. 2 B.
2
3
C. D. 4 3
8 2.如图，在四棱锥 中，底面 是矩形， = 3 = 2, = = 6， = = 3，则该
四棱锥的体积为( )
A. 1 B. 2 C. 2 3 D. 2 103 3
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若向量 = (2,0)， = 1, 3 ，则( )
A. = 4 B. = 2
C. 在 1 π上的投影向量为2 D. 与
的夹角为6
10.如图，已知正方体 1 1 1 1的棱长为 2， 为棱 1的中点， 为棱 1上的点，且满足 1 : =
1: 2，点 ， ， ， 为过三点 ， ， 的平面 与正方体 1 1 1 1的棱的交点，则下列说法正
确的是( )
A. //
B.三棱锥 1 的体积 1 = 4
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C.直线 与平面 1 1 的夹角是 45°
D. 1 : 1 = 1: 2
11.函数 ( ) = sin( + )( > 0, > 0, | | < π2 )的部分图象如图所示，则( )
A. ( )的最小正周期为π
B. = π3
C. ( ) π的一个对称中心为( 12 , 0)
D. π要得到函数 ( ) = 2cos 的图象，可以将 ( )的图象先向左平移3个单位长度，再将各点横坐标变为原来
的 2 倍(纵坐标不变)
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知复数 1 = 2 i，复数 满足 1 = 1 1, 在复平面内对应的点 的集合为图形 ，则图形 的面积
为 ．
13.在 π中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， = 3，若 = 6, , = , + 6 ，且
// ，则 的面积为 ．
14.如图，已知在矩形 和矩形 中， = 2， = = 1，且二面角 为 60°，则异面
直线 与 所成角的正弦值为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
设 i 为虚数单位， ∈ R，复数 1 = 2 + i， 2 = 4 3i．
(1)若 1 2是实数，求 的值；
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(2) 若 1 是纯虚数，求 1 ．2
16.(本小题 15 分)
如图，在平行四边形 中， ， 分别是 和 的中点．
(1)若 = 2， = 1，∠ = 60°，求 及 cos∠ 的余弦值；
(2)若 = + ，求 + 的值．
17.(本小题 15 分)
在如图所示的试验装置中，两个正方形框架 ， 的边长都是 1，且它们所在的平面互相垂直，活
动弹子 ， 分别在正方形对角线 和 上移动，且 和 的长度保持相等，记 = = 0 < <
2 ．
(1)证明： //平面 ；
(2)当 = 22 时，求平面 与平面 夹角的余弦值．
18.(本小题 17 分)
如图所示是函数 ( )的图象，由指数函数 ( ) = 与幂函数 ( ) = “拼接”而成．
(1)求 ( )的解析式；
(2)已知( + 4) < (3 2 ) ，求 的取值范围；
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(3)若方程 ( 2025) 2 12 = 0 存在实数解，求 的取值范围．
19.(本小题 17 分)
如图，在四棱锥 中，平面 ⊥平面 ， = = = 2，四边形 为正方形， 、
分别为 、 的中点．
(1)求证： //平面 ;
(2)求证：平面 ⊥平面 ;
(3)在棱 上是否存在点 ，使得平面 ⊥平面 若存在，求 ;若不存在，说明理由．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.25π
13.3 32
14. 5110
15.(1)解： 1 2 = 2+ i 4 3i = (3 + 8) + (4 6)i，
因为 1 2是实数，
则 4 6 = 0，
3
解得 = 2．
(2) 1 = 2+ i = 2+ i 4+3i = 8 3 4 +6 2 4 3i 4 3i 4+3i 25
+ 25 i，

因为 1 为纯虚数，2
8 3 = 0
则 4 + 6 ≠ 0 ,
8
解得 = 3．
所以 1 = 4 +
64
9 =
10
3．
16.解：(1) ∵平行四边形 中， = 2， = 1，∠ = 60°，
2
∴ = ( + ) = +
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= 22 + 2 × 1 × cos60° = 5，
| |2 =
2
= ( + )2 =
2
+ 2 +
2

= 22 + 2 × 2 × 1 × cos60° + 1 = 7，
∴ | ∣ = 7，
cos∠ = 5 5 7
|
= = ．
| | | 2 7 14
(2) ∵ ， 分别是 和 的中点，
∴ = + 1 ， = 1 2 2 ，
∵ = + ，
∴ + = + 1 + 2
1 2 ，
12 = 1 =
6
∴ ，解得 51 ,
2 + = 1 =
2
5
∴ + = 85．
17.解：(1)连接 , ，
， 的边长都是正方形，则有 = = 2，
又 = = 0 < < 2 ，
= 则 中， ，所以 // ，
由 // // ， = = ，
则四边形 为平行四边形，有 // ，所以 // ，
平面 ， 平面 ，所以 //平面 ．
(2)当 = 22 时， ， 分别 和 的中点，连接 , ，
2
则 = = = = 2 ，
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平面 ⊥平面 ，平面 ∩平面 = ，
平面 ， ⊥ ，则 ⊥平面 ，
平面 ，则 ⊥ ，
= = 1，得 = 2， = 1 22 = 2 ，
为 6中点，连接 , ，则 ⊥ ， ⊥ ， = = 4 ，
2 2 2
中，由余弦定理，cos∠ = + 12 = 3，
1
所以平面 与平面 夹角的余弦值为3．
1
= 1 1 1

4
2 = 16 , ≤
1
18. 4解：(1)由题意得 16
1
，解得 ，所以 ( ) = 1 ．
= 1 =
1
2 2, >
1
4 2 4
1
(2)因为 = = 2在(0, + ∞)上单调递减，且( + 4) < (3 2 ) ，
+ 4 > 0
∴ 3 2 > 0 1 3，解得 3 < < 2．
+ 4 > 3 2
(3) ( 2025) 2 12 = 0 存在实数解，即 ( 2025) =
2 + 12 有解，
即函数 = ( 2025) = 2 + 1的图象与函数 2 的图象有交点，
1 1
所以 2 + 2 ≥ 2，解得 ≤ 1 或 ≥
1
2．
故 的取值范围为( ∞, 1] ∪ 12 , + ∞ ．
19.解：(1)在正方形中， 、 分别为 、 的中点，所以 // ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 //平面 ．
(2)因为平面 ⊥平面 ，且交线为 ， ⊥ ， 平面 ，
所以 ⊥平面 ，由于 平面 ，所以平面 ⊥平面 ．
(3)存在，当 为 中点时，平面 ⊥平面 ，
证明如下：连接 ， 交于点 ，连接 ．
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因为 // ，并且 = ，所以四边形 为平行四边形，
所以 = ．
又因为 为 中点，所以 // ．
因为平面 ⊥平面 ，平面 ∩平面 = ，
又 平面 ，由已知可得 ⊥ ，
所以 ⊥平面 ， 所以 ⊥平面 ．
又因为 平面 ，所以平面 ⊥平面 ．
1
所以存在点 ，使得平面 ⊥平面 ，且 = 2 .
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