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2025年四川省达州市高级中学校中考第三次诊断测试 数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．是中国深度求索公司研发的高性能语言模型，专注于自然语言处理、代码生成和数学推理．截至2025年2月22日，人工智能助手的累计下载量已达到1.1亿次，注册用户达73300000个．用科学记数法表示73300000正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列学习用具，不是轴对称图形的是（不考虑尺具上的刻度、文字）（ ）
A． B． C． D．
3．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，平行于主光轴的光线和经过凹透镜的折射后，折射光线的反向延长线交于主光轴上一点P，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
5．“洛书”是我国文化中最古老、最神秘的事物之一，幻方正来源于此，它被世界公认为组合数学的鼻祖．如图，各行、各列及两条对角线所含的3个数之和都相等的三阶幻方，则的值为（ ）
A．9 B．18 C．12 D．
6．大自然中有许多小动物都是“小数学家”，蜜蜂的蜂巢结构非常精巧、实用而且节省材料，多名学者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面均为正六边形．如图是由7个形状、大小完全相同的边长为的正六边形组成的一部分蜂巢巢房，则线段的长为（ ）
A． B．6 C． D．
7．如图，一个铁环上挂着6个分别编有号码1，2，3，4，5，6的铁片．如果把其中编号为2，4的铁片取下来，再先后把它们穿回到铁环上的任意位置，则铁环上的铁片（无论沿铁环如何滑动）不可能排成的情形是（　　）
A． B．
C． D．
8．如图，点E为边上一点，若，，则（ ）
A．3 B．4 C． D．
9．若，则定义，即的取值为a，b，c的中位数．如：，．则函数的最小值为（ ）
A．1 B．2 C． D．5
10．如图，点为边长为的正方形边上一点，于点，连接．有下列结论：①；②；③的最小值为；④若为等腰三角形时，的长为或或．其中正确的结论有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
11．如图是一个几何体的三视图（图中尺寸单位：cm），则这个几何体的侧面积为 ．
12．如图所示的网格（每小格边长为1）中，经过格点A，B，C，连接，则图中阴影部分的面积为 ．
13．如果关于x的不等式组至多有2个整数解，且关于y的分式方程的解为非负数，则所有满足条件的整数a的和为 ．
14．如图，点A在反比例函数的图象上，且点A是线段OB的中点，点C为y轴上一点，连接BC交反比例函数图象于点D，连接AC，AD，若，，则k的值为 ．
15．如图，点为矩形边上一点，连接，作点关于直线的对称点，连接，，若，，则的最小值为 ．

三、解答题
16．计算：
(1)计算：；
(2)先化简，再求值：，从中选出合适的整数x代入求值．
17．为了增强全民国家安全意识，我国将每年4月15日确定为全民国家安全教育日．大竹县为调查学生对国家安全知识的了解情况，组织学生进行相关知识竞赛，从甲、乙两校各随机抽取40名学生的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行了整理和分析．下面给出了部分信息：
收集数据：甲校成绩在这一组的数据是：70，70，70，71，72，72，73，73，74，75，76，77，78
整理数据：甲、乙两校40名学生成绩的频数分布统计表如下：
组别
甲 4 11 13 10 2
乙 6 3 15 14 2
分析数据：甲、乙两校成绩的平均分、中位数、众数、方差如下：
统计量 平均数 众数 中位数 方差
甲 74.5 86 m 47.5
乙 75.1 84 76 23.6
根据以上信息，回答下列问题：
(1)m=______；若将乙校成绩按上面的分组绘制扇形统计图，成绩在这一组的扇形的圆心角是______度；本次测试成绩更整齐的是______校（填“甲”或“乙”）；
(2)在此次测试中，某学生的成绩是74分，在他所属学校排在前20名，由表中数据可知该学生是______校的学生（填“甲”或“乙”）；
(3)欲从甲、乙两校成绩均在的学生中选取两名参加决赛，优胜者将代表大竹县参加达州市国家安全知识竞赛．请用列表法或画树状图的方法求出参加决赛的两名同学恰在同一学校的概率．
18．图1，图2，图3均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边所在直线称为格线，点O，A，B，C，E，F，G在格点上，D，H在格线上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹．
(1)在图1中，画出关于点O的中心对称图形；
(2)在图2中，画出直线，使得；
(3)在图3中，画出，使得，且点N与点G不重合．
19．为加快乡村振兴，提升人民幸福感．某村安装如图所示户外太阳能路灯，它是由灯杆和灯管支架两部分构成，现测得灯管支架与灯杆的夹角，小娜同学想知道灯管支架的长度，借助相关仪器进行测量后结果如表：
测量项目 测量数据 图示
在处测得灯杆顶部处仰角
在处测得灯杆支架处仰角
点到灯杆底的水平距离
点到灯杆底的水平距离
求灯管支架的长度．（参考数据：，结果保留到）
20．2025年是“重塑大县荣光，建设美好竹乡”的冲刺之年、成势之年，为加快“三竹鼎立”现代竹产业格局构建，多个行业龙头企业落地大竹．某“竹缠绕”加工厂销售A，B两类竹产品．A类竹产品成本为50元/件，B类竹产品成本为60元/件，已知销售1件A类竹产品和1件B类竹产品总售价为140元，销售2件A类竹产品和1件B类竹产品总售价为200元．
(1)求A类竹产品和B类竹产品每件的售价分别是多少元？
(2)市场调查反映，A类竹产品按原价销售每天可售出60件，若A类竹产品每涨价1元，每天可少售出2件，B类竹产品每天只能按原价销售100件．设每件A类竹产品涨价x元，每天销售完这两类竹产品的总利润为w元，求出每件A类竹产品涨价多少元时，总利润w最大，最大利润是多少元？（利润售价成本）
21．如图，在中，点F为上一点，连接并延长到点E，使，连接，，连接交于点G．若．
(1)求证：；
(2)若，求证：平分．
22．如图，直线与双曲线交于，两点，点的坐标为，点是双曲线第一象限分支上的一点，连接并延长交轴于点，且．
(1)求点的坐标；
(2)线段在轴上运动，且点在点右侧，求四边形周长的最小值；
(3)是坐标轴上的点，是平面内一点，是否存在点，，使得四边形是矩形？若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
23．在中，C为上一点且，以为直径的分别交，于点E，若．
(1)求证：直线是的切线；
(2)若，，求的长．
24．已知抛物线．
(1)试说明：无论m为何值，该抛物线与x轴一定有两个不同的交点；
(2)当时，点，为抛物线上两点．试说明：无论n为何值，不等式恒成立；
(3)如图，设该抛物线与x轴交于A，B两点（点B在点A右侧），与y轴交于点C，顶点为点D，连接．当m为何值时，平分．
25．在中，，，，点D是边上任意一点，点E是直线上一动点，连接，将绕点B顺时针旋转，旋转角为α，得到线段，连接EF．
(1)如图1，当点F在射线上时，试探究与的数量关系；
(2)如图2，，于点G，，说明：；
(3)如图3，，点F在射线上，点P是上一点且满足，在点D的运动过程中，求点P的运动轨迹的长．
《2025年四川省达州市高级中学校中考第三次诊断测试 数学试卷》参考答案
1．C
解：；
故选C．
2．A
解：A、不是轴对称图形，选项符合题意；
B、是轴对称图形，选项不符合题意；
C、是轴对称图形，选项不符合题意；
D、是轴对称图形，选项不符合题意．
故选：A．
3．D
解：A、，原式计算错误，不符合题意；
B、，原式计算错误，不符合题意；
C、，原式计算错误，不符合题意；
D、，原式计算正确，符合题意；
故选：D．
4．B
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：B．
5．B
解：根据题意可得：，，
∴，，
∴，
故选：B．
6．C
解：正六边形的内角和为：，
正六边形的每一个内角都为：，
如图，连接，过点D作，垂足为E，
如图，正六边形的中心到每个顶点的距离相等，即，
，
都是等边三角形，
正六边形的边长为，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
故选：C．
7．D
解：摘掉铁片2，4后，铁片1，3，5，6在铁环上按逆时针排列，
∵选项A，B，C中铁片顺序为1，3，5，6，选项D中铁片顺序为1，5，6，3．
故选D．
8．D
解：过点A作交延长线于点G，作点D关于的对称点F，连接，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴设，则，
∴，
∵对称，
∴，，，
∴，
∵且，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：，（负值舍去）
∴，
故选：D
9．A
解：画出函数的图象，如图，
，
所以，函数的最小值为1，
故选：A．
10．C
解：∵四边形是正方形，
∴，，
∵，即，
∴，
∴，故①正确；
∵，
∴点四点共线，线段的中点记为圆心，如图所示，
∵，
∴，故②正确；
∵，
∴点在以为直径，线段的中点记为圆心的圆的的弧上运动，即点在上运动，如图所示，
∴，
∵，
∴当点共线时，的值最小，此时为正方形的对角线，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴的最小值为，故③错误；
如上所示，当时，是等腰直角三角形，，符合题意
如图所示，当点重合，时，是等腰直角三角形，符合题意；
如图所示，当时，是等腰三角形，连接并延长交于点，交于点，连接，
∴，且，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点为中点，
∴，
∵是直径，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
综上所述，若为等腰三角形时，的长为或或，故④正确．
∴正确的有①②④，共3个，
故选：C ．
11．24πcm2
解：由三视图得这个几何体为圆锥，圆锥的母线长为8，底面圆的直径为6，
所以这个几何体的侧面积＝×π×6×8＝24π（cm2）．
故答案为：24πcm2．
12．
解：∵经过格点A，B，C，
∴圆心为线段的中垂线的交点，如图：
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴；
故答案为：．
13．
解：，
由①得：，
由②得：，
，
关于的不等式组有解且至多有2个整数解，
∴，
解得：，
∵
∴
∵关于y的分式方程的解为非负数，
∴且
∴且
∴且
∵a为整数
∴
∴整数a的和为．
故答案为：．
14．
解：设，连结，作于，于，过点作轴于点，过点作于点，
∴，，，
∴，
∴，，
∴，
设点到的距离为，
，
，
，
，
∴，
∵点A是线段OB的中点，
∴，
∴，
∴，解得：，
∴，
∴，
过点作于点，
则，
，
而，
，
∴，
∴点的坐标为
又点与点都是反比例函数图象上的点，
∴，
∴，解得：．
故答案为：．
15．
解：如图，在上截取，连接，

依题意，，
∴
∴
又∵
∴
∴
∴
∴
∵
∴
∴的最小值为
故答案为：．
16．(1)7
(2)原式，当时，原式
（1）解：原式
；
（2）解：原式
，
∵，
解得：且且，
∴在中，可取的整数只有，
当时，原式．
17．(1)；；乙
(2)甲
(3)
（1）解：把甲校40名学生的成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别是72，72，故中位数．
乙校成绩在这一组的扇形的圆心角是．
由于甲校的成绩的方差乙校的成绩的方差，
所以本次测试成绩更整齐的是乙校．
故答案为：；；乙．
（2）解：甲校的中位数是，乙校的中位数是．
而在此次测试中，某学生的成绩是74分，在他所属学校排在前20名，
由表中数据可知该学生是甲校的学生．
故答案为：甲．
（3）解：根由频数分布表可知：甲乙两校各有2名学生在范围内，
据题意画出如下树状图
由树状图可得共有12种等可能的结果数，其中所选两位选手来自同一学校的结果数为4，
所以所选两位选手来自同一学校的概率为．
18．(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
（1）解：如图1，关于点的中心对称图形是；
（2）解：如图2，直线即为所求；
（3）解：如图3，即为所求．
19．灯管支架的长度约为
解：根据题意，，，，，
∴，
如图所示，过点作于点，过点作于点，则，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
设，
∴，
在中，，
∴，，，
同理，在中，，，
∵，
∴，
解得，，
∴，
在中，，
∴，
∴灯管支架的长度约为．
20．(1)A类竹产品和B类竹产品每件的售价分别是元和元
(2)每件A类竹产品涨价10元时，总利润w最大，最大利润是2800元
（1）解：设A类竹产品和B类竹产品每件的售价分别是元和元，由题意，得：
，解得：，
答：A类竹产品和B类竹产品每件的售价分别是元和元；
（2）解：由题意，得：
，
∴当时，有最大值为；
答：每件A类竹产品涨价10元时，总利润w最大，最大利润是2800元．
21．(1)见解析
(2)见解析
（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，即，
∵四边形是平行四边形，
∴，，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：连接，
∵，
∴，
∴，
又，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
又，
∴平行四边形是菱形，
∴平分．
22．(1)
(2)
(3)或
（1）解：∵直线与双曲线交于，两点，点的坐标为，
∴，
解得：，
∴，反比例函数的表达式为：
∵直线与双曲线都关于原点对称，
∴点，关于原点对称，
∴；
（2）过点作轴于点，过点作轴于点，如图所示：
∵，
∴，
∵，
∴，
∵轴，轴，
∴，
∴，，
∴，
∴，即，
∴，
∴点的纵坐标为，
对于，当时，，
∴，
∴，
当线段在轴上运动时，四边形的周长为：，
∴当为最小时，四边形的周长为最小，
作点关于轴对称点，过点作轴，且（点在点的右侧），连接，，，如图所示，
∴，
∵线段在上移动，且，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴点，，在同一条直线上时，为最小，即为最小，如图所示，
∵，点与点关于轴对称，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形周长的最小值为；
（3）存在，理由如下：
①当点在轴上上时，过点作轴于点，如图所示，
∴，
∵，
∴，，
在中，，
∵四边形是矩形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
②当点在轴上时，过点作轴于点，如图所示，
∴，
∵，
∴，，
在中，，
∵四边形是矩形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
综上所述：点的坐标为或．
23．(1)见解析
(2)20
（1）证明：如图，连接，
是的直径，
，
即，
，
，
，
，
，
，
即，
是的直径，
是的切线；
（2）解：过点作于点，
在中，，，
，，
，，
，
在中，，，
，，
，
，
，
即，
解得，
．
24．(1)见解析
(2)见解析
(3)
（1）解：∵抛物线与与x轴一定有两个不同的交点，
∵方程，
∴
，
∴方程有两个不同的实数根，
∴无论m为何值，该抛物线与x轴一定有两个不同的交点．
（2）解：当时，抛物线解析式可化为：，
把点，代入抛物线解析式可得：
，，
∴，
∴．
（3）解：令可得，
∴，
∴，
∴，
令可得，即，即，
∵抛物线，
∴对称轴为，
当时，，
∴，
如图：过D作轴于E，则，，
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴．
如图：作等腰直角三角形，，，则，作的角平分线，过D作
设，
∵的角平分线，，，
∴，
∵作等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，解得：，
∴，，
∴，
∵，
∴，解得：，
∴当时，平分．
25．(1)见解析
(2)见解析
(3)
（1）解：
理由：，，
，
由旋转可得：，，
∴，
∴
∵，
∴．
（2）解：，，，
，
同理，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
∴，
∴，，即，
，
如图2，作，垂足为，则，
在和中，，，
，
，，
，
，，
又，
，
，
，
，
即；
（3）解：，，
和是等边三角形，
，，
点在的外接圆上，
如图3，作的外接，连接，并延长交于点，则垂直平分，作点关于的对称点，则，连接、，
，
，
，，
，
，
连接、，在上截取，作，交于点，则，
，
，
，
是等边三角形，是的外接圆，，
，，
，
，
，，
，
点在以为圆心，以为半径的圆上，当点D在边上运动时，当点D与点C重合时，点P在边上，此时点F与点C也重合，
∴；
当点D与点B重合时，点P与点B也重合，
过点M作于G，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴劣长，
∴优长．
即点P的运动轨迹的长为．

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