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小升初奥数《计数》专项训练
一、单选题
1．一家7人去采摘，如图。樱桃和草莓都采摘的有(　　)人。
A．9 B．2 C．1
2．一件上衣配一条裤子，有（　　）种穿法。
A．3 B．4 C．5
3．俗话说：早餐要吃好，午餐要吃饱。小亮周日和妈妈去商场采购，一共买了10种商品，其中，有3种面包，5种牛奶，如果早饭是面包加牛奶，小亮有（　　）种搭配方式。
A．8 B．15 C．13
4．用3、0、4这几个数字写出大于4，小数部分是两位数，并且没有重复数字的小数可以写（　　）个。
A．1 B．2 C．4
5．把红、黄、蓝三种颜色的小球各12个放到一个盒子里，要保证一次摸到两个同色的小球，一次至少要摸出（　　）个小球。
A．13 B．4 C．5 D．25
6．下图中有（　　）个小正方体。
A．6 B．5 C．4
7．有十个同学聚会，每两人握一次手，一共要握（　　）次。
A．55 B．45 C．35 D．25
8．不透明的盒子里有除颜色外均相同的8个黄球、5个红球，至少一次摸出（　　）个球才能保证会摸到红球。
A．5 B．6 C．8 D．9
9．学校篮球队的5名队员练习投篮，共投进了48个球，总有一名队员至少投进（　　）个球。
A．9 B．10 C．11 D．12
10．三(1)班共有32人参加学校冬锻跳绳比赛，参加跳短绳比赛的有22人，参加跳长绳比赛的有15人。两项都参加的有(　　)人。
A．3 B．4 C．5
二、判断题
11．有红、黄、白三种颜色的花，每两种颜色为一组，最多可搭配成不重复的6组.
12．把5只兔子放进2个笼子里，无论怎样放，总有一个笼子里面至少要放进3只兔子。(　　)
13．用三张数字卡片，能摆出 4个不同的两位数。 (　　)
14．4个同学进行乒乓球比赛，每两人比赛一场，一共要比赛6场。（　　）
15．爸爸有4件上衣，3条裤子。每次只穿1件上衣和1条裤子，一共有7种不同的穿法。（　　）
16．学校六年级举行排球比赛，一共有5个班参加．如果每两个班都要比赛一场，一共要比赛5场．（　　）
17．11个自然数按奇偶性分成两类，总有一类个数会超过5个。（
）
18．用0、4、7、8可以组成8个不同的两位数。（　　）
三、填空题
19．用1、0、5、4组成没有重复数字的两位数，能组成　 　个。
20．三（3）班参加跳绳比赛的学生有18人，参加踢毽子比赛的有19人。“6”表示　 　，参加跳绳、踢毽子比赛的一共有　 　人。
21． 为落实“双减”政策，丰富校园生活，学校开展了丰富多彩的社团活动。科学社团要求同学们调制一杯符合自己口味的果汁，如下图，一共有　 　种调配方法。 (每种口味只含一种水果)
22．一件上衣配一件下装，现有2件上衣，3 件下装，一共有　 　种不同的穿法。
23．有5元、20元、50元的纸币各一张，取两张纸币可以组成　 　种不同的钱数。
24．某小区2018年共新增加了13辆电动清洁能源小客车，一定有　 　辆或　 　辆以上的小客车是在同一个月内购买的。
25．有 三张数字卡片，可以排出　 　个不同的三位数，其中最大的三位数是　 　。
26．有一个 8 级的楼梯， 小刚每次能登上1级或2级，现在他从地面登上第 8 级，有　 　种不同的登法。
27． 如右图，在一个的方格表内放入4枚不相同的棋子，要求每列至多有1枚棋子，一共有　 　种不同的放法。
28．从1，2，3，4，5中选出四个数填入下图的方格内，使右边的数比左边大，下面的数比上面的大，那么一共有　 　种填法．
四、图形计算
29．（几何计数）如图中的正方形被分割成9个相同的小正方形，它们一共有16个顶点，不在同一条直线上的三点可以构成一个三角形，在这些三角形中与阴影三角形面积相同的有　 　个。
五、计算题
30．计算：
（1）
（2）
（3）
六、解答题
31．一个布袋中有40个相同的小球，其中号码为1、2、3、4的各10个，问：一次至少要取出多少个小球，才能保证其中至少有3个小球的号码相同？
32．将全体自然数按照它们个位数字可分为10类：个位数字是1的为第1类，个位数字是2的为第2类，…，个位数字是9的为第9类，个位数字是0的为第10类。
（1）任意取出6个互不同类的自然数，其中一定有2个数的和是10的倍数吗？
（2）任意取出7个互不同类的自然数，其中一定有2个数的和是10的倍数吗？如果一定，请煎药说明理由；如果不一定，请举出一个反例。
33．六(1)班的若干位同学去A、B、C三个景点游览，每人只游览其中的两个景点，不管他们怎样安排游览方案，都至少有4人游览的景点完全相同。至少有多少人去游玩？
34．一个布袋中有除颜色不同其他都相同的手套若干只(不考虑左右手)，手套的颜色有红、蓝、灰三种。最少要摸出多少只手套才能保证有3副是各自同色的？
35．数一数，下图中有多少条线段？
七、解决问题
36．二年级要布置教室，买来3盆花，老师派三名同学去搬，每人只能搬一盆．一共有几种不同的搭配方法
37．47名同学参加了数学和语文考试，两门都没得100分的有26人，数学得满分的有17人，语文得百分的有12人，试问两门都得100分的有几人？
38．有4只小动物，每2只小动物之间通一次电话，可以通多少次电话 请按它们的序号写出来。
39．广深港高铁于2018年9月23日通车，从广州南站出发到香港西九龙站仅用47分钟，高铁停靠的站点如图．从广州南站到香港西九龙站单程，铁路部门需要准备多少种不同的车票？
40．一个书架上放着5本故事书、4本连环画、3本文艺书，从这个书架上一次至少取出几本书才能保证取到的每种书至少有1本？
答案解析部分
1．【答案】B
【解析】【解答】解：4＋5-7=2（人）。
故答案为：B。
【分析】樱桃和草莓都采摘的人数=采摘樱桃的人数＋采摘草莓的人数-7人。
2．【答案】B
【解析】【解答】解：2×2=4(种)。
故答案为：B。
【分析】共有不同穿法的种类数=上衣的件数×裤子的条数。
3．【答案】B
【解析】【解答】解：3×5=15（种）
小亮有15种搭配方式。
故答案为：B。
【分析】1种面包有5种配法，3种面包有15种配法。
4．【答案】B
【解析】【解答】解：可以写：4.30和4.03，共2个。
故答案为：B。
【分析】大于4，整数部分只能是4，小数部分只剩下数字0和3，据此解答。
5．【答案】B
【解析】【解答】解：3+1=4（个）
故答案为：B。
【分析】颜色种类数+1=至少摸出的球数。
6．【答案】B
【解析】【解答】解：图中一共有5个小正方体。
故答案为：B。
【分析】从图中可以看出，图中一共有2层小正方体，下面一层有4个，上面一层有1个，一共是5个小正方形。
7．【答案】B
【解析】【解答】解：10×（10-1）÷2
=10×9÷2
=90÷2
=45（次）
故答案为：B。
【分析】 十名同学聚会，每两人握一次手，则每个人都要与除了自己之外的其它10-1人握一次手，则所有人共握手10×（10-1），握手是在两人之间进行的，所以他们一共握了10×（10-1）÷2次．计算即可。
8．【答案】D
【解析】【解答】解：8+1=9(个)
故答案为：D。
【分析】考虑最坏的情况，摸出所有黄球后才摸到红球，所以至少一次摸出(黄球个数+1)个才能保证会摸到红球。
9．【答案】B
【解析】【解答】48÷5=9（个）……3（个），
至少：9+1=10（个）.
故答案为：B.
【分析】此题主要考查了抽屉原理的应用，5名队员相当于5个抽屉，根据抽屉原理的计算方法：a个物体放入n个抽屉，如果a÷n=b……c，那么有一个抽屉至少放（b+1）个物体，据此解答.
10．【答案】C
【解析】【解答】解：22＋15-32
=37-32
=5（人）。
故答案为：C。
【分析】两项都参加的人数=参加跳短绳比赛的人数＋参加跳长绳比赛的人数-三(1)班参加学校冬锻跳绳比赛的总人数。
11．【答案】错误
【解析】【解答】有红、黄、白三种颜色的花，每两种颜色为一组，可以这样选：红和黄、红和白、黄和白，一共可以搭配成不重复的3组，原题说法错误.
故答案为：错误.
【分析】此题主要考查了搭配的知识，可以用列举法解答，注意：按一定顺序排列，不要重复或漏掉.
12．【答案】正确
13．【答案】正确
【解析】【解答】解：能摆出30、39、90、93 共4 个两位数。
故答案为：正确。
【分析】因为0不能在两位数的十位上，3、9分别在十位上可以组成两个不同的两位数，共4个不同的两位数。
14．【答案】正确
【解析】【解答】解：4×（4-1）÷2=6（场），所以一共要比赛6场。
故答案为：正确。
【分析】4个同学比赛，那么每个人比赛3场，这就有人重复比赛，所以一共要比赛的场数=同学的人数×（同学的人数-1）÷2。
15．【答案】错误
【解析】【解答】4×3=12（种），原题说法错误。
故答案为：错误。
【分析】此题主要考查了排列和组合的知识，每件上衣可以搭配3条不同的裤子，4件上衣可以搭配出4×3=12种不同的穿法，据此列式解答。
16．【答案】错误
【解析】【解答】解：5-1＝4（场），5×4÷2＝20÷2＝10（场），所以这5个班一共要比赛10场。
故答案为：错误。
【分析】由于每个班都要和另外的4个班赛一场，一共要赛：5×4＝20（场）；又因为两个班只赛一场，去掉重复计算的情况，实际只赛：20÷2＝10（场），据此解答即可。
17．【答案】正确
【解析】【解答】解：11个自然数按奇偶性分成两类，总有一类个数会超过5个。原题说法正确。
故答案为：正确。
【分析】把11个元素放进2个抽屉。从最不利的情况考虑，如果奇数和偶数各有5个，那么最后一个数无论是奇数还是偶数，总有一类个数会超过5个。
18．【答案】错误
【解析】【解答】解：用0、4、7、8可以组成的两位数有40、47、48、70、74、78、80、84、87，共9个不同的两位数。
故答案为：错误。
【分析】除了0不能作最高位数字，4、7、8都可以作最高位数字。每个数作最高位数字都可以组成3个不同的两位数，因此共能组成9个不同的两位数。
19．【答案】9
【解析】【解答】解：0不能在最高位上
当十位上是1时，能组成的两位数有：10、14、15，共三个；
当十位上是4时，能组成的两位数有：40、41、45，共三个；
当十位上是5时，能组成的两位数有：50、51、54，共三个；
据此，一共可以组成的两位数有：3+3+3=9(个)
故答案为：9。
【分析】0不能在最高位上，所以当十位是1时，个位有三种填法；当十位上是5时，个位有三种填法；当十位上是4时，个位有三种填法；据此解答。
20．【答案】既参加跳绳又参加踢毽子的人数；31
【解析】【解答】解：18＋19－6
＝37－6
＝31（人）
所以，“6”表示既参加跳绳又参加踢毽子的人数，参加跳绳、踢毽子比赛的一共有31人。
故答案为：既参加跳绳又参加踢毽子的人数；31。
【分析】参加跳绳、踢毽子比赛一共的人数=参加跳绳比赛的学生人数＋参加踢毽子比赛的人数- 既参加跳绳又参加踢毽子的人数。
21．【答案】6
【解析】【解答】解：2×3=6（种）。
故答案为：6。
【分析】一共有调配方法的种类数=冰量的种类数×水果的种类数。
22．【答案】6
【解析】【解答】解：2×3=6（种）。
故答案为：6。
【分析】共有不同穿法的种类数=下装的件数×上衣的件数。
23．【答案】3
【解析】【解答】解：取两张纸币可以组成3种不同的钱数。
故答案为：3.
【分析】5元和20元可以组成25元；5元和50元可以组成55元；20元和50可以组成共70元。
24．【答案】2；2
【解析】【解答】解：13÷12=1......1，
一定有2辆或2辆以上的小客车是在同一个月内购买的。
故答案为：2；2。
【分析】物体数量÷抽屉数量=商......余数，商+1=至少放进的数量。
25．【答案】4；910
【解析】【解答】解：可以排出109、190、901、910，共4个不同的三位数，其中最大的三位数是910.
故答案为：4；910.
【分析】因为最高位不能是0，所以只能1和9放在百位；1放在百位有2种排法，9放在百位有2种排法，一共有4种排法。
26．【答案】34
【解析】【解答】解：我们可以看出，如果有1级台阶，那么只有1种登法；
如果有2级台阶，那么就有2种登法；
当有3级台阶时，第一次可以登上1级，然后再登上最后的2级；或者第一次直接登上2级。所以，总共有1＋2＝3（种）登法；
同样，当有4级台阶时，第一次可以登上1级，然后再登上最后的3级；或者第一次直接登上2级；或者第一次直接登上1级，然后再登上最后的2级，所以，总共有2＋3＝5（种）登法；
当有5级台阶时，我们可以通过类似的方式推算出，总共有3＋5＝8（种）登法；
当有6级台阶时，我们可以推算出，总共有5＋8＝13（种）登法；
当有7级台阶时，我们可以推算出，总共有8＋13＝21（种）登法；
当有8级台阶时，我们可以推算出，总共有13＋21＝34（种）登法。
故答案为：34。
【分析】这是一个关于楼梯问题的难题，需要运用类比的思想来解决。我们需要找出一种规律，并运用这个规律来解决这个问题。
27．【答案】2
【解析】【解答】 解：根据分析，可知
4×3×2×1=24种。
故答案为：24
【分析】对于这个3×4的方格表，首先考虑列的限制。由于每列至多有1枚棋子，而总共有4枚棋子和4列，这意味着每一列都必须放置1枚棋子。由于没有明确给出每行至多放置多少枚棋子的限制，只考虑每列放置一枚棋子的情况。对于4列和4枚不相同的棋子，首先确定第一列的放置方式，有4种选择；接着是第二列，因为已经放置了一枚棋子，所以有3种选择；同理，第三列有2种选择，最后一列只有1种选择。
28．【答案】10
【解析】【解答】右下、左下、右上、左上的顺序排列，填的方法：5432、5431、5421、5321、5342、5341、5231、5241、4321、4231，共10种.
故答案为：10
【分析】根据填数的规则先确定右下角的数，再确定左下角的数，然后确定右上角的数，最后确定左上角的数，然后把所有的种类列举出来即可.
29．【答案】47
【解析】【解答】解：2×4×4+8×2-1
=32+16-1
=47(个)；
故答案为：47。
【分析】设小正方形的边长为1，则图中阴影部分的面积为3，可以分情况进行考虑：①底边长为2，则其对应的高应为3才能使面积与阴影部分面积相等，这时底边为2的边只能在原正方形的边上，同一边正方形的底边上可选边长为2的三角形底边有2种选法，每个底边对应的顶点有4种选法，因此，每个正方形边上有2×4=8(个)三角形，正方形有四条边，共有4×8=32(个)三角形；②底边长为3，对应的高为2，这时底边为3的边只能在元正方形的一边或平行于一边的分割线，底边有8种选法，每种底边对应的高有有2种选法，共有8×2=16(个)三角形；将两种情况相加，再减去1即可得到面积与阴影部分相同的三角形个数。
30．【答案】（1）解：
（2）解：
（3）解：
【解析】【分析】根据排列公式： 。 组合公式。
31．【答案】解：4×2+1=9 (个)
答：一次至少要取出9个小球，才能保证其中至少有3个小球的号码相同。
【解析】【分析】将1、2、3、4四种号码看作4个抽屉，要保证有一个抽屉中至少有3个苹果，最“坏”的情况是每个抽屉里有2个“苹果”，共有：4×2=8（个），再取1个就能满足要求，所以一次至少要取出9个小球，才能保证其中至少有3个小球的号码相同。
32．【答案】（1）解：由题意，可知，
1类和9类、2类和8类、3类和7类、4类和6类分别合并为4个抽屉，再把第5类、10类分别做两个抽屉，共6个抽屉。
如果任意取6个互不同类的自然数，就不一定有两个数的和是10的倍数，
比如：1、2、3、4、5、10这6个自然数中，任意两个数的和都不是10的倍数。
（2）解：由（1）可知，将10类数分别看作6个抽屉，现任意取出7个互不同类的自然数，由抽屉原理可知至少要有1个抽屉要取两个数，而这两个数必须是不同类的，必须在前4个抽屉的1个抽屉中取2个不同类的数，可见这2个不同类的数之和是10的倍数。
【解析】【分析】（1）由题意可知，1类和9类、2类和8类、3类和7类、4类和6类分别合并为4个抽屉，再把第5类、10类分别做两个抽屉，共6个抽屉，再根据抽屉原理解答；
（2）由（1）可知，将10类数分别看作6个抽屉，现任意取出7个互不同类的自然数，由抽屉原理可知至少要有1个抽屉要取两个数，而这两个数必须是不同类的，必须在前4个抽屉的1个抽屉中取2个不同类的数，可见这2个不同类的数之和是10的倍数；据此解答。
33．【答案】解：游览其中的两个景点共有3种方案。
3×(4-1)+1=10(人)
答：至少有10人游玩。
【解析】【分析】每人只游览其中的两个景点，一共有3种游玩方案，即AB、AC、BC，根据题意至少有4人游览的景点完全相同，利用抽屉原理，至少有（3×3＋1）人去游玩。
34．【答案】解：3+1+2+2=8(只)
答：最少要摸出8只手套才能保证有3副是各自同色的。
【解析】【分析】把三种颜色看作3个抽屉，要保证有3副手套是各自同色的，先假设每次摸出的颜色都不一样，至少摸出4只才能保证有1副颜色相同，接着还要再摸出2只才能保证又有1副手套颜色是同色的，同理，要保证有3副手套是同色的，还需要再摸出2只。
35．【答案】解：从图中可以看出，
从点A出发的不同线段有5条：AB，AC，AD，AE，AF；
从点B出发的不同线段有4条：BC，BD，BE，BF；
从点C出发的不同线段有3条：CD，CE，CF；
从点D出发的不同线段有2条：DE，DF；
从点E出发的不同线段有1条：EF。
因此，图中共有5+4+3+2+1=15(条)线段。
【解析】【分析】数线段时可以从A点开始向右边的点依次画线段，最后一个点不用考虑。当一条直线上有n个点时，共有条线段
36．【答案】解：
（i）当第一个同学搬第一盆花时，
第二个同学搬第二盆花，第三个同学搬第三盆花
或者第二个同学搬第三盆花，第三个同学搬第二盆花；
（ii）当第一个同学搬第二盆花时，
第二个同学搬第一盆花，第三个同学搬第三盆花
或者第二个同学搬第三盆花，第三个同学搬第一盆花；
（iii）当第一个同学搬第三盆花时，
第二个同学搬第一盆花，第三个同学搬第二盆花
或者第二个同学搬第二盆花，第三个同学搬第一盆花；
所以一共有6种不同的搭配方法。
【解析】【分析】第一位同学有3种选择，所以第二位还有2种选择，最后的一位只有一种选择，所以运用乘法原理，即可得解。
37．【答案】解：至少一门得100分的有：47﹣26=21（人），
两门都得100分的有：12+17﹣21=8（人），
答：两门都得100分的有8人．
【解析】【分析】两门都没得100分的有26人，那么至少一门得100分的就是47﹣26=21人，由此根据语文、数学得100分的人数画图分析：
由此利用容斥原理即可求出两门都得100分的人数．
38．【答案】①②；①③；①④；②③；②④；③④
答：可以通6次电话
【解析】【分析】由于每个小动物都要和另外的3个打一次，一共要打：3×4=12（次）；又因为两个小动物只打一次电话，去掉重复计算的情况，实际只打：12÷2=6（次），据此解答．本题考查了打电话的实际应用，要注意去掉重复计算的情况，如果人比较少可以用枚举法解答，如果人数比较多可以用公式：发信息次数=人数（人数-1）÷2解答．
39．【答案】解：从广州南站到香港西九龙站单程共计7个站点，根据n（n﹣1）÷2公式可得：
7×（7﹣1）÷2
＝7×3
＝21（种）
答：铁路部门需要准备21种不同的车票。
【解析】【分析】 根据已知条件可知，从广州南站到香港西九龙站单程共计7个站点 ，每两个站点间有一种车票，类似握手问题，适用于公式 n（n﹣1）÷2 ，据此解答。
40．【答案】解：5＋4＋1=10（本）
答：一次至少取出10本书。
【解析】【分析】假设最坏的情况是前五次都是故事书，后4次是4本连环画，那么只取了两种书；如果取了10本，那么三种书每种都有，最少的也有1本。
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