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小升初《优化策略问题》专项训练
一、单选题
1．有 26 袋盐，其中 25 袋质量相同，另有1袋质量略重。假如用天平称，想要保证找出这袋略重的盐，且称的次数最少，那么第一次称时最合理的分组方式是(　　)
A．(6，6，7，7) B．(9，9，8)
C．(13，13) D．(8，8，10)
2．有一些乒乓球，其中有一个是次品(轻一些)。林轩要利用天平找到这个次品，他把这些乒乓球分成了3组(如下图)。根据林轩的分组方法，至少称（　　）次才能保证找到这个次品。
A．2 B．3 C．4 D．5
3．(数的应用)一个九位数的密码，最高位是最大的一位数，千万位上是2和3的最小公倍数，十万位是最小的质数，万位上是16和24的最大公因数，百位上是最小合数，其余各位是最小的自然数，这个九位数是(　　)。
A．960180200 B．990240400 C．960280400 D．962840000
4．大约在两千年前，我国数学名著（ ）中“方田章”就记载了长方形面积的
算法。
A．《几何原本》 B．《周髀算经》
C．《孙子算经》 D．《九章算术》
5．中国传统音乐作为传统文化中的重要组成部分，是千百年来人民积累和沉淀的艺术智慧。“悦唱”音乐公司为发展传统音乐，将其曲谱制成光盘，若抽取7张光盘用于检测，其中6张光盘质量均相等，另一张质量不是轻了就是重了。下图中，称一次就能找到那张质量不同光盘的是(　　)
A． B．
C． D．
6．有8个同样的零件，其中有1个次品略轻一些，用天平称至少（　　）次能保证找到次品。
A．1 B．2 C．3 D．4
7．某旅游团准备租用限坐4人的小船和限坐6人的大船搭载28人在水中游玩，并且要求每条船都坐满，下列方案不可行的是（　　）
A．只用7条小船
B．用1条小船和4条大船
C．用3条小船和3条大船
8．王师傅用一个平底锅烙饼，锅里一次最多放2个饼，两面都要烙，烙一面需3分钟，烙三张饼至少需（　　）分钟．
A．6 B．9 C．12 D．24
9．在28个外观相同的零件里有1个是次品，次品较轻，要保证找出这个次品至少称（　　）
A．3次 B．4次 C．5次 D．6次
10．放暑假了，小明想用最短的时间帮妈妈做完家务（如下表所示），至少需要（　　）分钟。
洗衣机洗衣服 扫地 擦桌子 洗碗 晒衣服
25分钟 8分钟 10分钟 2分钟 3分钟
A．35 B．28 C．25
二、判断题
11．老师用打电话的最佳方案提醒10名同学不要下水游泳，每分钟通知1人，最少花4分钟就能通知到每一个人。(　　)
12．10个零件中有3个次品，要保证取出的零件中有次品，应至少取出4个。（　　）
13．小明喝牛奶之前要热牛奶4分钟，洗杯子1分钟，小明喝到牛奶至少需要5分钟。(　　)
14．一个锅里可以煮10个鸡蛋，煮熟一个鸡蛋需要5分钟，煮熟10个鸡蛋也需要5分钟。（
）
15．一项工作有很多事情要做时，能同时做的事尽量同时做，这样可以节省时间。（　　）
16．判断正误.
李老师找甲、乙、丙三名学生谈话，甲要12分钟谈完，乙要15分钟谈完，丙要8分钟谈完。安排三人顺序使三人等候的总时间最少的是乙→甲→丙.
三、填空题
17．用天平从9个物品中找出1个次品（次品偏重），至少要称　 　次就一定能找到次品．
18．儿童画兴趣班共有31人，因疫情影响，本周上课暂停。陈老师要用打微信电话的方式，每1分钟通知一个学生，被通知的人可以再通知其他人，最少　 　分钟才能通知到每个学生。
19．小燕子每年秋天都从　 　方飞往　 　方过冬。
20．找次品时，我们要尽可能快地保证找出次品，应把物体个数尽可能平均分成　 　份，把其中相同个数的两份，放在天平上称，如果天平平衡，则次品在　 　。
21．妈妈要完成下列这些家务活。如果合理安排时间，她最少需要　 　分钟。
22．某种药品的说明书上，贴有如下的标签，则一次服用这种药品的最大剂量是　 　mg；最小剂量是　 　mg。
用法用量：口服60~90mg，分2~3次服用
保质期：24个月
贮藏：密封保存
23．小谢要把 32 张奖状贴到办公室的墙上。他用胶涂好一张奖状需要2分钟，涂好后至少需要等待，2分钟才可以开始往墙上粘贴，但足若等待时间超过6分钟，胶就会完全干掉而失去作用：如果小谢分钟贴一张奖状还需要1分钟时间。那么，小谢粘贴完全部奖状最少需要　 　分钟。
24．烙一张饼需要4分钟，一只平底锅每次可以烙3张饼，烙3张饼至少需要　 　分钟．
25．丽丽每天晚上睡觉前，要背诵成语6分钟，烧开水10分钟，泡牛奶2分钟，喝牛奶5分钟。做完这些事情最少要用　 　分钟。
26．租船(车)问题是小学数学中常见的一类优化分配问题，它的特点是：每条船(车)都尽量坐满，就是在不浪费座位的情况下，选择最省钱的租船(车)方案。如下图，每辆小汽车的租金是25元，每辆客车的租金是60元，请你算一算14个小朋友租车的最少费用是　 　元。
四、解答题
27．明明要从12个同一种型号的零件中找出1个质量较轻的次品，乐乐要从27个同一种型号的零件中找出1个质量较轻的次品。下面的说法哪个是正确的
（1）乐乐用的次数一定比明明多。(　　)
（2）乐乐用的次数一定比明明少。(　　)
（3）乐乐用的次数不一定比明明多。(　　)
（4）乐乐用的次数一定和明明同样多。(　　)
（5）乐乐分的份数要比明明少。(　　)
28．一箱橘子有11袋，其中10袋质量相同，另外1袋质量轻一些，用天平至少称几次能保证找出质量轻的那袋橘子？请画图表示。
29．有8瓶矿泉水，编号①至⑧，其中有6瓶一样重，是合格产品，另外2瓶都轻5g，是不合格产品，用天平称了3次，结果如下：第一次①+②比③ +④重；第二次⑤+⑥比⑦+⑧轻；第三次①+③+⑤与②+④+⑧一样重。那么这2瓶不合格的分别是几号？
30．某商场新进10箱味精，每箱50袋，每袋100克。在准备出售时，突然接到厂家的电话，说这10箱里有一箱因装袋机故障，导致每袋味精少装了10克。商场至少要称几次才能把缺量的那箱味精找出来？
31．有两堆零件，第一堆比第二堆多一个零件，这两堆零件中各有一个次品（次品比正品重一些），现在分别用天平找这两堆零件中的次品，第一堆零件至少称5次，才能保证找出次品；第二堆零件至少称4次，才能保证找出次品。这两堆零件分别有多少个
五、解决问题
32．有8个同学去旅游住宾馆，宾馆有双人间和三人间，怎样安排能刚好住下？
入住方案 　 　 入住人数
　 　 　 　
　 　 　 　
　 　 　 　
　 　 　 　
　 　 　 　
答：入住方案（　　）能刚好住下。
33．希望小学要买 50 个足球， 现有甲、乙、丙三个商店可以选择。三个商店足球单价都是 25 元，但优惠的方法不同。
甲店：买 10 个足球免费赠送 2 个，不足 10 个不赠送。
乙店： 每个足球优惠 5 元。
丙店：购物满 100 元，返还现金 20 元。
为节省费用，希望小学应该到哪个商店购买？
34．武山湖有12条小木船和4艘大帆船，小木船每船可坐6人，大帆船每船可坐38人。根据以上信息你能提出一个数学问题并解答吗？
答案解析部分
1．【答案】B
【解析】【解答】解：26÷3=8（袋）······2（袋），第一次称时最合理的分组方式是（9，9，8） 。
故答案为：B。
【分析】根据天平的平衡原理对托盘两边的物品进行比较，把待测物品分成三份，要分得尽量平均，能够均分的就平均分成3份，不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1。
2．【答案】C
【解析】【解答】解： 1. 第一次称重：将29个乒乓球分成三组，每组约9到10个。将两组分别放在天平的两端进行比较。如果天平平衡，则次品在第三组；如果不平衡，则次品在较轻的一端。
2. 第二次称重：假设次品在第一轮的某一组中，我们再次将这组乒乓球分成三组，重复上述步骤。
3. 第三次称重：同上。
4. 第四次称重：最后，当乒乓球数量减少至1或2时，可以通过直接比较找出次品
故答案为：C
【分析】待测乒乓球总数是29个，已知次品轻些，在28-~81个范围内，至少需称4次才能保证找到这个次品。
3．【答案】C
【解析】【解答】解：最大的一位数是9；
2和3的最小公倍数是6；
最小的质数是2；
16和24的最大公因数是8；
最小的合数是4；
最小的自然数是0。
那么这个数是960280400。
故答案为：C。
【分析】最高位亿位上是9，千万位上是6，十万位上是2，万位上是8，百位上是4，其余位上都是0，根据整数的写法，写这个数时，从高位到低位一级一级地写出这个数即可。
4．【答案】D
【解析】【解答】解：大约在两千年前，我国数学名著《九章算术》中“方田章”就记载了长方形面积的算法。
故答案为：D。
【分析】依据数学常识来选择。
5．【答案】B
【解析】【解答】解：天平上左右两端各放3张，剩余1张在旁边，此时天平平衡，则剩余 1张就是质量不同的光盘。
故答案为：B。
【分析】天平上6张质量相同，剩余 1张就是质量不同的光盘。
6．【答案】B
【解析】【解答】解：把8个零件分成3个，3个，2个三份，
第一次：把其中3个的两份分别放在天平秤两端，若天平秤平衡，则次品在未取的2个中，把剩余2个分别放在天平秤两端，较高端的零件即为次品，若天平秤不平衡；
第二次：从天平秤较高端的3个零件中，任取2个，分别放在天平秤两端，若平衡，则未取即为次品，若不平衡，较高端即为次品；
故答案为：B。
【分析】把8个零件分成3个，3个，2个三份，第一次：把其中3个的两份分别放在天平秤两端，若天平秤平衡，则次品在未取的2个中，再称量剩余2个即可找出，若天平秤不平衡；第二次：从天平秤较高端的3个零件中，任取2个，分别放在天平秤两端，若平衡，则未取即为次品，若不平衡，较高端即为次品，据此即可解答。
7．【答案】C
【解析】【解答】解：A：4×7=28（人），只用7条小船可坐满；
B：4+4×6=28（人），用1条小船和4条大船可坐满；
C：3×4+3×6=30（人），用3条小船和3条大船坐不满，有两个空位。
故答案为：C。
【分析】船数×每条船坐的人数=坐上船的人数，坐上船的人数刚好28人，就可坐满。
8．【答案】B
【解析】【解答】解：三张饼分别用序号1、2、3表示：
第一次烙：1正，2正，用时3分钟；
第二次烙：1反，3正，用时3分钟；
第三次烙：2反，3反，用时3分钟．
共用：3+3+3=9（分钟）
答：烙3张饼至少需要9分钟．
故选：B．
【分析】此类问题中，尽量使每次都有2张饼在烙，由此进行合理安排即可解决问题．
9．【答案】A
【解析】【解答】解：要保证找出这个次品至少称3次。
故答案为：A。
【分析】先把28个零件分成9个、9个、10个，先把两个9个放在天平的两边，
如果天平平衡，那么次品在10中，在把这10个分成5个、5个，先把它们放在天平的两边，次品在天平上升的哪端，然后把天平上升的5个分成2个、2个、1个，把两个2个放在天平的两边，如果天平平衡，那么剩下的1个是次品，如果不平衡，就把天平上升的那端的2个再次放在天平上，那么天平上升的那段就是次品；
如果天平不平衡，把9个分成3个、3个、3个，先把两个9个放在天平的两边，如果天平平衡，次品在剩下的3个中，再把剩下的3个中的2个放在天平的两端，如果平衡，那么剩下的1个是次品，如果不平衡，那么天平上升的那段就是次品；如果天平不平衡，次品在天平上升的3个中，这3个中的2个放在天平的两端，如果平衡，那么剩下的1个是次品，如果不平衡，那么天平上升的那段就是次品。
综上，要保证找出这个次品至少称3次。
10．【答案】B
【解析】【解答】洗衣机洗衣服的25分钟内，可以同时扫地、擦桌子、洗碗，然后晒衣服，至少需要25+3=28（分钟）。
故答案为：B。
【分析】在沏茶问题中，要统筹安排时间，使事情能够顺利完成，但又不至于相互干扰，洗衣机洗衣服的同时扫地、擦桌子、洗碗，然后晒衣服，这样时间最省。
11．【答案】正确
12．【答案】错误
【解析】【解答】解：非次品有10-3=7(个)，所以至少取出7+1=8(个)能保证取出的零件中有次品。
故答案为：错误。
【分析】10个零件中有3个次品，则非次品有10-3=7(个)；考虑最坏的情况，取出的前7个全部为非次品，那么第(7+1)个一定为次品，据此解答。
13．【答案】错误
【解析】【解答】解：小明喝牛奶之前要热牛奶4分钟，同时洗杯子1分钟，小明喝到牛奶至少需要4分钟，原题说法错误。
故答案为：错误。
【分析】此题主要考查了沏茶问题的应用，在沏茶问题中，要统筹安排时间，使事情能够顺利完成，但又不至于相互干扰。
14．【答案】正确
【解析】【解答】 一个锅里可以煮10个鸡蛋，煮熟一个鸡蛋需要5分钟，煮熟10个鸡蛋也需要5分钟，此题说法正确。
故答案为：正确。
【分析】根据条件“一个锅里可以煮10个鸡蛋，煮熟一个鸡蛋需要5分钟”可知，同时煮熟1~10个鸡蛋用的时间与煮熟一个鸡蛋的时间是相同的，据此判断。
15．【答案】正确
【解析】【解答】解：一项工作有很多事情要做时，能同时做的事尽量同时做，这样可以节省时间，说法正确。
故答案为：正确。
【分析】解决合理安排时间的问题需要明确以下内容：
（1）完成一项工作需要做哪些事情；
（2）每项工作各需要多少时间；
（3）合理安排工作的顺序，明白先做什么，后做什么，哪些事情可以同时做。
本题据此解答即可。
16．【答案】错误
【解析】【解答】根据分析可知，安排三人顺序使三人等候的总时间最少的是丙→甲→乙，原题说法错误.
故答案为：错误.
【分析】根据题意，让用时最少的先谈话，其他人等待的时间会少些，由此安排顺序为：丙→甲→乙，据此解答.
17．【答案】2
【解析】【解答】解：用天平从9个物品中找出1个次品（次品偏重），至少要称2次就一定能找到次品。
故答案为：2。
【分析】要辨别的物品数目在2~3个时，保证能找出次品至少需要测的次数是1次；要辨别的物品数目在4~9个时，保证能找出次品至少需要测的次数是2次；要辨别的物品数目在10~27个时，保证能找出次品至少需要测的次数是3次；要辨别的物品数目在28~81个时，保证能找出次品至少需要测的次数是4次；要辨别的物品数目在82~243个时，保证能找出次品至少需要测的次数是5次······。
18．【答案】5
【解析】【解答】解：-1=31
=32
因为2×2×2×2×2=32
所以最少5分钟才能通知到每个学生。
故答案为：5。
【分析】通知问题：到第n分钟，所有接到通知的队员的总人数为2的n次方减1人。
19．【答案】北；南
【解析】【解答】解：燕子每年秋天都从北方飞往南方过冬 。
故答案为：。
【分析】这个是自然常识，北方冬天冷，所有的候鸟都要迁往暖和的南方。
20．【答案】3；天平外的一份中
【解析】【解答】解： 找次品时，我们要尽可能快地保证找出次品，应把物体个数尽可能平均分成3份，把其中相同个数的两份，放在天平上称，如果天平平衡，则次品在天平外的一份中
故答案为：3，天平外的一份中。
【分析】找次品问题尽可能把物体分成数量接近的3份，先称数量相同的两份，若天平平衡则次品在天平外的一份中。
21．【答案】54
【解析】【解答】解：洗衣服50分钟+晾晒洗好的衣服4分钟=54分钟
她最少需要54分钟。
故答案为：54。
【分析】擦柜子和刷鞋可以在洗衣服的时候做，不用计入总时间。
22．【答案】90；60
【解析】【解答】解：最大剂量是90mg；最小剂量是60mg。
故答案为：90；60。
【分析】口服60~90mg，左边的数是服用的最小剂量，右边的数是服用的最大剂量。
23．【答案】96
【解析】【解答】解：(2+1)×32
=3×32
=96(分钟)；
故答案为：96。
【分析】要想用的时间最少，那么等待的时间应尽可能地少，所以应把等待的时间用在涂奖状上；涂第1张奖状要2分钟，涂第2张也要2分钟，涂第3张也要2分钟，此时第1张已等待了4分钟，此时将第1张粘贴需要1分钟；再涂第4张奖状，又要2分钟，此时第2张奖状已等待了5分钟，可以将第2张奖状粘贴这样从第4张奖状起，保持总是有2张奖状在等待，直到最后两张，先后将其粘贴，可见其中没有浪费任何一分钟，而花在每一张奖状上的时间都是2+1=3(分钟)，据此解答。
24．【答案】4
【解析】【解答】烙一张饼需要4分钟，一只平底锅每次可以烙3张饼，烙3张饼至少需要4分钟.
故答案为：4.
【分析】根据条件“一只平底锅每次可以烙3张饼”可知，烙3张饼与烙一张饼的时间是相同的，据此解答.
25．【答案】17
【解析】【解答】解：10+2+5=17（分钟）
故答案为：17。
【分析】烧开水时间+泡牛奶时间+喝牛奶时间=做完这些事情最少要用时间，背诵成语可以在等待水烧开的时间里背诵。
26．【答案】110
【解析】【解答】解：25÷3=8（元）······1（元）
60÷8=7（元）······4（元）
8＞7
8＋3×2=14（人）
60＋25×2
=60＋50
=110（元）。
故答案为：110。
【分析】先分别用除法求出两种车平均每人的单价，通过比较大客车与小客车价钱差不多，尽量使空余座位最少时，最省钱，最少需要的钱数=大客车的单价＋小汽车的单价×小汽车的辆数。
27．【答案】（1）错误
（2）错误
（3）正确
（4）错误
（5）错误
【解析】【解答】解：明明：第一次把12个零件平均分成3组（4，4，4）称重，如果平衡则次品在没有称重的一组中，如果不平衡则次品在较轻的一组中；第二次把含有次品的一组平均分成2组（2，2）称重，次品在较轻的一组中；第三次把含有次品的一组平均分成2份（1，1）称重，次品是较轻的那一个，即至少需要3次；也可以把12个零件平均分成6组，两两一组，即需要称重6次找到；也可以一个一个的称，即最多需要称重12次；
乐乐：第一次把27个零件平均分成3组（9，9，9）称重，如果平衡则次品在没有称重的一组中，如果不平衡则次品在较轻的一组中；第二次把含有次品的一组平均分成3组（3，3，3）称重，如果平衡则次品在没有称重的一组中，如果不平衡则次品在较轻的一组中；第三次把含有次品的一组平均分成3份（1，1，1）称重，如果平衡则次品是没有称重的那一个，如果不平衡则次品是较轻的那一个，即至少需要3次；把27个零件平均分成13组，剩下一个不需要称重，两两一组，即需要称重13次找到；也可以一个一个的称，即最多需要称重27次；
综合上述分析可以判断：
（1）乐乐用的次数不一定比明明多，因此原题干说法错误；
（2）乐乐用的次数不一定比明明少，因此原题干说法错误；
（3）乐乐用的次数不一定比明明多，因此原题干说法正确；
（4）乐乐用的次数不一定和明明同样多，因此原题干说法错误；
（5）乐乐分的份数不一定要比明明少，因此原题干说法错误。
故答案为：（1）错误；（2）错误；（3）正确；（4）错误；（5）错误。
【分析】找次品：在处理寻找次品的问题时，采用三分法是最有效的策略。三分法指的是将待检物品分为三组，其中两组放置在天平的两端进行称量，根据天平的倾斜方向确定次品所在的组别，然后继续对含有次品的组别进行同样的操作，直至找到次品。
28．【答案】解：用天平至少称3次能保证找出质量轻的那袋橘子。
【解析】【分析】可以先将11袋橘子分成4袋、4袋、3袋三组。第一次在天平两端各放4袋，平衡，质量轻的就在剩下的3袋中；不平衡，质量轻的就在上升哪端的4袋中。如果在3袋中再称1次就能找出质量轻的那袋。第二次：如果质量轻的在4袋中，在天平两端各放1袋，不平衡就能找出质量轻的，平衡，质量轻的就在剩下的2袋中。第三次：在天平两端各放1袋即可找出质量轻的。
29．【答案】解：根据前两次的称重结果可知，③④中有一个次品，⑤⑥中有一个次品。第三次天平两边分别是①③⑤和②④⑧，且两边一样重，则两边必各有一个次品。所以②④⑧中④为次品，①③⑤中⑤为次品。
【解析】【分析】根据三次称重的结果逐一进行分析排除即可。根据第一次的称重结果，①＋②比③＋④重，所以③、④中有一个次品；根据第二次的称重结果，⑤＋⑥比⑦＋⑧轻，所以⑤、⑥中有一个次品；根据第三次的称重结果，①＋③＋⑤和②＋④＋⑧一样重，而③、④中有次品，⑤、⑥中有次品，所以次品必定是④和⑤。
30．【答案】解：把这10箱奶粉依次编号1、2、3、4、5、6、7、8、9、10
从1号箱里取出1袋，2号箱里取出2袋，依次类推，10号箱里取出10 袋
共取出55袋
正常质量是55×100= 5500(克)
称出的质量比5500克少几个10克就代表几号箱是缺量的。
答：最少称一次
【解析】【分析】把10箱编号1~10，编号是几就取几袋，然后一起称，称出的质量比5500克少几个10克就是几号箱缺量。
31．【答案】解：要辨别的物品数目为28~81时，保证要找出次品至少需要称 4 次；要辨别的物品数目为 82~243时，保证要找出次品至少需要称5次；由题意可知两堆个数相差1，只可能是第一堆有82个，第二堆有81个。
【解析】【分析】找次品时尽量把物品平均分成3份，不能平均分的也要把其中一份比另外两份多1个或少1个。这样一次就能把次品的范围缩小到最小。按照这样的方法判断零件的个数。
32．【答案】解：共有五种方案，列表如下：
入住方案 双人间 三人间 入住人数
一 4 0
二 3 1
三 2 2
四 1 2
五 0 3
答：入住方案一、四能刚好住下。
【解析】【分析】通过列表的方法可知入住方案一、方案四能刚好住下；入住人数=双人间住的人数×间数＋三人间住的人数×间数=8人时刚好能住下。
33．【答案】解：甲店：（40+2）×25
=42×25
=1050（元），即购买42个赠送8个，实得50个，实际花费1050元；
乙店：50×（25-5）
=50×20
=1000（元），即购买50个实际花费1000元；
丙店：50×25=1250（元）
1250÷100=12.5
12×20=240（元）
1250-240=1010（元），即购买50个实际花费1010元。
1000元＜1010元＜1050元，选择乙店。
答：为节省费用，希望小学应该到乙商店购买。
【解析】【分析】本题可根据需要购买的数量及三家商店的不同优惠方案分别分析计算后即能得出到哪个商店购买最省钱：
甲店：买10赠2，不足10个不赠，50÷（10+2）=4（组）……2（个），4×2=8个，即购50个可获赠8个，因此只购50-8=42个即可，实花42×25=1050（元）；
乙店：每个足球优惠5元．实际每个单价25-5=20元，购50个需花50×20=1000元；
丙店：购满100元，返还现金20元，购50个需花50×25=1250元，可返现金1250÷100×20≈240元，实花1250-240=1010元；
1000元＜1010元＜1050元．由此可知，到乙店花钱最少，因此到乙店即可，最少需花1000元。
34．【答案】解：（答案不唯一）12条小木船和4艘大帆船一共可以坐多少人？
12×6+4×38
=72+152
=224（人）
答：12条小木船和4艘大帆船一共可以坐224人.
【解析】【分析】根据条件，可以提出问题：12条小木船和4艘大帆船一共可以坐多少人？用小木船坐的总人数+大帆船坐的总人数=一共可以坐的总人数，据此列式解答.
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