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浙江省高二数学学考模拟试题卷
一、单项选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，不选、多选、错选均不得分。
1．已知集合，，则的真子集个数为（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
2．已知向量和，则“”是“”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知命题：若四边形为菱形，则它的四条边相等，则是（ ）
A．若四边形为菱形，则它的四条边不相等 B．存在一个四边形为菱形，则它的四条边不相等
C．若四边形不是菱形，则它的四条边不相等 D．存在一个四边形为菱形，则它的四条边相等
4．已知正数，满足，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．判断下面结论正确的个数是（ ）
①函数的单调递减区间是
②对于函数，，若，且，则函数在D上是增函数
③函数是R上的增函数 ④已知，则
A．3 B．2 C．1 D．0
6．已知，则a、b、c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
7．函数的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数若关于x的方程恰有三个不相等的实数解，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．已知函数，，下列四个结论不正确的是（ ）
A．函数的值域是 B．函数的图像关于直线对称
C．函数为奇函数 D．若对任意，都有成立，则的最小值为
10．在菱形OABC中O是坐标原点，向量对应的复数为，则点B对应的复数是（ ）
A． B．
C．或 D．或
11．日降雨量是在24小时内降落在某面积上的雨水深度．如图某同学自制了一个底面直径为200mm，高为300mm的圆锥形雨量器，若一次降雨过程中，该雨量器收集的24小时的雨水高度是150mm，则日降雨量的等级是（ ）
A．小雨 B．中雨 C．大雨 D．暴雨150mm
12．益阳市“一园两中心”项目是益阳市委市政府推进“大益阳城市圈”建设、实现益阳“东接东进”战略作出的重大决策.“两中心”是指益阳市文化中心、益阳市政务中心.其中图书馆是益阳市文化中心的重要场馆之一，市政府决定在图书馆顶上安装太阳能板发电，要测量顶部的面积，将图书馆看成一个长方体与一个等底的正四棱锥组合而成，经测量长方体的底面是边长为24m的正方形，且高为10m，当正四棱锥的顶点P在阳光的照射下的影子恰好落在底面正方形的对角线的延长线上时（此时光线正好经过长方体的顶点），正四棱锥顶点的影子Q到长方体下底面中心O的距离为m，则图书馆顶部的面积为（ ）
A．576 B．624
C．688 D．728
二、多项选择题：本题共5小题，每小题4分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求。全部选对的得4分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
13．下列根式与分数指数幂的互化正确的是（ ）
A． B． C．当时， D．当时，
14．某网络销售平台，实施对口扶贫，销售某县扶贫农产品。根据2020年全年该县扶贫农产品的销售额(单位：万元)和扶贫农产品销售额占总销售额的百分比，绘制了如图的双层饼图.根据双层饼图(季度和月份后面标注的是销售额或销售额占总销售额的百分比)，下列说法正确的是（ ）
A．2020年的总销售额为1000万元
B．2月份的销售额为8万元
C．4季度销售额为280万元
D．12个月的销售额的中位数为90万元
15．下列说法错误的是（ ）
A．将表的分针拨快5分钟，则分针转过的角度是
B．若角，则α角为第二象限角
C．若角α为第一象限角，则角也是第一象限角
D．在区间内，函数与的图象有3个交点
16．已知下列四个命题为真命题的是（ ）
A．已知非零向量，若，则
B．若四边形中有，则四边形为平行四边形
C．已知，，可以作为平面向量的一组基底
D．已知向量，则向量在向量上的投影向量为
17．边长为的正三角形ABC三边AB AC BC的中点分别为D E F，将三角形ADE沿DE折起形成四棱锥，则下列结论正确的是（ ）
A．四棱锥体积最大值为 B．当时，平面平面PEF
C．四棱锥总有外接球 D．当时，四棱锥外接球半径有最小值
三、填空题：本大题共5小题，18-21题每小题3分，22题5分，共17分。
18．已知直线，若 ,，则不经过第一象限的概率为________．
19．已知幂函数在上单调递减，则________．
20．函数其中常数，且，若，则实数________．
21．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，则面积的最大值为________．
22．正方体的棱长为2，动点在对角线上，过点作垂直于的平面，记平面截正方体得到的截面多边形（含三角形）的周长为，设.
问（1）：下列说法中，正确的编号为________．（2分）
①截面多边形可能为四边形；②；③函数的图象关于对称.
问（2）：当时，三棱锥的外接球的表面积为________．（3分）
四、解答题：本大题共3小题，共27分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
23．（本小题满分6分）
已知函数，.
（I）若函数为奇函数，求实数a的值；
（II）在（I）的条件下，设函数，若，，使得，求实数m的取值范围.
24．（本小题满分13分）
已知函数部分图象如图所示．
（I）求函数的解析式．
（II）若将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，然后再向右平移个长度单位，得到函数的图象关于y轴对称，求的最小值．
（III）设函数在区间上有两个不同的零点，求．
25．（本小题满分8分）
在通用技术课上，老师给同学们提供了一个如图所示的木质正四棱锥模型．点在棱上，满足，点在棱上，满足，要求同学们按照以下方案进行切割：
（1）试在棱上确定一点，使得平面；
（2）过点的平面交于点，沿平面平将四棱锥模型切割成两部分，在实施过程中为了方便切割，需先在模型中确定点的位置，请求出的值．
参考答案
一、单项选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，不选、多选、错选均不得分。
1—5 CCBBB 6—10 ADDCC 11—12 BB
二、多项选择题：本题共5小题，每小题4分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求。全部选对的得4分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
13．CD 14．AC 15．ACD 16．ABD 17．BC
三、填空题：本大题共5小题，18-21题每小题3分，22题5分，共17分。
18． 19． 20． 21．
22．②③（2分。全部选对的得2分，部分选对的得1分，有选错的得0分）； （3分）
（1）在正方体中，连接，如图，
平面，平面，则，，平面，
因此，平面，平面，，同理，
而，平面，则平面，连接，同理平面，
又，当平面为平面时，，解得，
当平面为平面时，，
当或时，平面与正方体共点的三个面相交，截面为三角形，
当时，平面截正方体所得截面为正，令，
由得：，解得，则，
当时，同理得，
当时，平面与正方体的六个面相交，截面为六边形，
令，则，有，
因此，平面截正方体所得截面为三角形或六边形，①不正确；
，，②正确；
显然，有恒成立，函数的图象关于对称，③正确.
（2）当时，点P为中点，令，连，显然平面，
三棱锥的外接球截平面所得小圆圆心为点O，此小圆半径为，
则有三棱锥的外接球球心在直线上，设球半径为r，而，球心到平面的距离，
于是有：，即，解得，
所以三棱锥的外接球的表面积为. 故答案为：②③；
四、解答题：本大题共3小题，共27分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
23．（本小题满分6分）
（1）（2分）
为奇函数，，，此时，经验证符合题意；
（2）（4分）
，令，，，
记，，易知在[2，4]上单调递增，
故，另外当时，
由题意：，所以的取值范围为.
24．（本小题满分13分）
（1）（4分）
解：根据函数图象可得：，，可得，∴．
又图象过点，∴，解得，．
由，∴，∴．
（2）（4分）
解：的图象关于y轴对称，
∴，∴，∴
∵，∴时最小值为．
（3）（5分）
解：因为函数在区间上有两个不同的零点，
所以在区间上有两个不同的根，即在区间上有两个不同的根 ∵，∴，
∴，即，单调递增，，即，单调递减，
因为，
所以，当时，在区间上有两个不同的根，且所以，
25．（本小题满分8分）
（1）（4分）
由已知得，点在棱上，满足，点在棱上，满足，所以，取上靠近的四等分点为，则必有，则根据三角形相似，必有，使得平面.
（2）（4分）
延长，与延长交于，连接，并延长与的延长线交于，连接，交于，由（1）可得，即为的中点，由，可得为的中点，由.可得为的中点，在等腰三角形中，为的中点，取的中点，连接，则，，所以，，即.

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