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2024-2025 学年新疆维吾尔自治区伊犁哈萨克自治州伊宁市第三中学
高二下学期 5 月月考数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集 = 2,3,4,5,6,7 ， = 2,4,6 ， = 3,6,7 ，则 U ∩ = ( )．
A. 3,6 B. 3,7 C. 3,6,7 D. 6,7
2.以下各组函数中，不是同一函数的是( )
3
A. ( ) = 3, ( ) = 2
B. ( ) = 2 2, ( ) = 2 2
C. ( ) = 0, ( ) = 1 0
D. ( ) = | 1|, ( ) = 1, ≥ 1 + 1, < 1
3.已知 + 1 = + 2，则函数 ( )的解析式为( )
A. ( ) = 2 B. ( ) = 2 + 1( ≥ 1)
C. ( ) = 2 2 + 2( ≥ 1) D. ( ) = 2 2 + 3( ≥ 1)
4.有四名男生，三名女生排队照相，七个人排成一排，则下列说法错误的是( )
A.如果四名男生必须连排在一起，那么有A4A44 4种不同排法
B.如果三名女生必须连排在一起，那么有A3 53A5种不同排法
C.如果三个女生中任何两个均不能排在一起，那么有A4 34A5种不同排法
D.如果女生不能站在两端，那么有A2 53A5种不同排法
5.函数 = 2 + 3 的单调递减区间为( )
A. ∞, 32 B.
3
2 , + ∞ C. [0, + ∞) D. ( ∞, 3]
6.如果 服从二项分布 ( , )，当 > 10 且 (1 ) > 10 时，可以近似的认为 服从正态分布 , 2 ，
据统计高中学生的近视率 = 0.6，某校有 600 名高中学生．设 为该校高中学生近视人数，且 服从正态分
布 , 2 ，下列说法正确的是( )(参考数据： ( < < + ) ≈ 0.682， ( 2 < < + 2 ) ≈
0.9545)
A.变量 服从正态分布 (360,12) B. (2 + 1) = 720
C. ( < 384) = ( > 348) D. ( < 384) ≈ 0.9773
, > 1
7.若 ( ) = 4 + 2, ≤ 1是 上的单调递增函数，则实数 的取值范围为( )2
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A. [4,8) B. (0,8) C. (4,8) D. (0,8]
8 .若两个正实数 ， 满足 4 + = ，若不等式 + > 24 + 3 恒成立，则实数 的取值范围是( )
A. ( 1,4) B. ( 4,1)
C. ( ∞, 4) ∪ (1, + ∞) D. ( ∞, 3) ∪ (0, + ∞)
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在下列四个命题中，正确的是( )
A.命题“ ∈ ，使得 2 + + 1 < 0”的否定是“ ∈ ，都有 2 + + 1 ≥ 0”
B. 4当 > 1 时， + 1的最小值是 5
C.若不等式 2 + 2 + > 0 的解集为{ ∣ 1 < < 2}，则 + = 2
D.“ > 1”是“ 2 > 1”的必要不充分条件
1 610.在 2 的展开式中，下列说法正确的是( )
A.常数项为 120 B.各二项式系数的和为 64
C.各项系数的和为 1 D.各二项式系数的最大值为 240
1 | 2|, 1 ≤ ≤ 3
11.已知函数 ( ) = 1
2 ( 2), > 3
，则下列说法正确的是( )
A. (6) = 14
B.关于 的方程2 ( ) = 1 ∈ 有 2 + 3 个不同的解
C. ( )在[2 , 2 + 1] ∈ 上单调递减
D.当 ∈ [1, + ∞)时， ( ) ≤ 2 恒成立．
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12 3 1.不等式 2 < 0 的解集为 ．
13.在 3 名女生和 2 名男生中任选 2 人参加一项交流活动，其中至少有 1 名男生的概率为 ．
14.高斯是德国著名数学家，近代数学奠基人之一.设 ∈ ，用符号[ ]表示不大于 的最大整数，如[2.1] = 2，
[ 1.2] = 2，称函数 ( ) = [ ]为高斯函数，在自然科学、社会科学以及工程学等领域都能看到它的身影，
则函数 ( ) = 2 2[ ] 3 的零点有 个.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知函数 ( ) = 3 + 2 + + 2( , ∈ R)，若 ( )在 = 1 处取得极值 10，．
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(1)求 , 的值；
(2)方程 ( ) = 在 ∈ [0,2]有解，求实数 的范围．
16.(本小题 15 分)
1 2
已知函数 ( ) = 1+ 2是定义在( 1,1)上的函数， ( ) = ( )恒成立，且 2 = 5．
(1)确定函数 ( )的解析式；
(2)用定义证明 ( )在( 1,1)上是增函数；
(3)解不等式 ( 1) + ( ) < 0．
17.(本小题 15 分)
某高校为了方便冬季体育活动，计划建造一间室内面积为 900m2的体育馆，在馆内划出三块相同的矩形区
域供三个班级同时使用，相邻区域之间间隔 3 米，其余部分离墙 1 米(如图).设体育馆室内长为 米，三块区
域的总面积为 平方米．
(1)求 关于 的函数关系式；
(2)当体育馆室内长为多少米时，三块区域的总面积最大？并求其最大值．
18.(本小题 17 分)
随着科技的进步，近年来，我国新能源汽车产业迅速发展，各大品牌新能源汽车除了靠不断提高汽车的性
能和质量来提升品牌竞争力，在广告投放方面的花费也是逐年攀升.某校数学兴趣小组对某品牌新能源汽车
近 5 年的广告费投入(单位：亿元)进行了统计，具体数据见下表：
年份代号 1 2 3 4 5
广告费投入 4.85.66. 27. 68. 8
并随机调查了 400 名市民对该品牌新能源汽车的认可情况，得到的部分数据见下表：
认可不认可
50 岁以下 140 60
50 岁及以上 120 80
(1)求广告费投入 与年份代号 之间的线性经验回归方程；
(2)依据小概率值 = 0.05 的 2独立性检验，能否认为市民的年龄与对该品牌新能源汽车的认可度有关联
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附：①经验回归方程 = + 中， = =1 =1 2
, = ；
2
② 2 = ( )( + )( + )( + )( + )，其中 = + + + ．

0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.7063.8416.6357.87910.828
19.(本小题 17 分)
《哪吒 2：魔童闹海》作为 2025 年备受瞩目的动画电影，一经上映便迅速火爆全球，影片在特效制作、角
色设计、音乐制作等方面都做到了极致．假设其电影原声的音乐制作由甲、乙、丙三个音乐工作室负责．在
音乐录制过程中，由于各种因素，部分录制片段会因不符合要求而不被采用．甲、乙、丙三个工作室录制
音乐片段总数之比为 6: 7: 5，音乐片段可用率(能被采用的片段数占录制片段总数的比例)分别为 0.8，0.6，
0.6.现在从三个工作室录制的所有音乐片段中随机抽取，且每个音乐片段被抽到的可能是相同的，用频率估
计概率．
(1)若只取 1 个音乐片段，求它是由乙工作室录制的概率；
(2)若抽取 2 个音乐片段，其中由甲工作室录制的音乐片段数记为 ，求 的分布列和数学期望；
(3)假设以往电影原声音乐片段的平均可用率为 0.65，计算此次《哪吒 2：魔童闹海》电影原声音乐片段的
可用率，并判断此次音乐片段的可用率是否高于以往平均可用率．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 13 < < 2
13.0.7 7或10
14.3
15.解：(1)解：由函数 ( ) = 3 + 2 + + 2，可得 ′( ) = 3 2 + 2 + ，
(1) = 2 + + + 1 = 10
因为 ( )在 = 1 处取得极值 10，所以 ,
′(1) = 2 + + 3 = 0
= 4 = 3
解得 = 11或 = 3 ,
当 = 4, = 11 时， ′( ) = 3 2 + 8 11 = (3 + 11)( 1)，
当 11 ′ ′3 < < 1 时， ( ) < 0；当 > 1 时， ( ) > 0，
11
所以 ( )在( 3 , 1)上单调递减，在(1, + ∞)上单调递增，
所以 ( )在 = 1 处取得极小值，符合题意；
当 = 3, = 3 时， ′( ) = 3( 1)2 ≥ 0，
所以 ( )在 R 上单调递增，此时无极值，不符合题意，
所以 = 4, = 11．
(2)由(1)知 ( ) = 3 + 4 2 11 + 16, ∈ [0,2]，且 ′( ) = (3 + 11)( 1)，
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当 0 ≤ < 1 时， ′( ) < 0；当 1 < ≤ 2 时， ′( ) > 0，
所以 ( )在[0,1)上单调递减，在(1,2]上单调递增，
所以，当 = 1 时，函数取得最小值，最小值为 (1) = 10，
又由 (0) = 16, (2) = 18，所以函数 ( )在[0,2]上的值域为[10,18]，
要使得方程 ( ) = 在 ∈ [0,2]有解，则 ∈ [10,18]．

16. (1) 1 = 2 2 2 解： 由 2 5，则5 = 1+1，解得 = 1，故 ( ) = 1+ 2，4
此时 ( ) = 1+ 2 = ( )，满足题意，故 ( ) = 1+ 2；
(2)设 1 < 1 < 2 < 1，
=
2 2
则 1 21 2 2 2 =
1+ 1 2 2 2 1
1+ 1 1+ 2 22 1+ 1 1+ 2
= 1 2 1 2 1 2 = 1 1 2 1 2 ，
1+ 2 21 1+ 2 1+
2 1+ 21 2
由 1 < 1 < 2 < 1，故 1 < 1 2 < 1，故 1 1 2 > 0， 1 2 < 0，
故 1 2 < 0，故 ( )在( 1,1)上是增函数；
(3) ( 1) < ( ) = ( )，由 ( )在( 1,1)上是增函数，
1 <
故 1 < 1 < 1 0 < < 1，解得 2，
1 < < 1
即不等式 ( 1) + ( ) < 0 的解集为 0 < < 12 ．
17. (1) 900解： 由题设，得 = ( 8) 2
= 2 7200 + 916，
8 > 0
由已知得 900 2 > 0故 ∈ (8,450)．
7200
所以 = 2 + 916， ∈ (8,450)．
(2)因为 8 < < 450，
2 + 7200所以 ≥ 2 2
7200
= 240，
当且仅当 = 60 时等号成立，从而 ≤ 676．
故当矩形温室的室内长为 60 时， 最大，最大为 676m2．
18.解：(1) 1+2+3+4+5由题意，得 = 5 = 3, =
4.8+5.6+6.2+7.6+8.8
5 = 6.6，
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则 =1 = (1 3) × (4.8 6.6) + (2 3) × (5.6 6.6) + (3 3) × (6.2 6.6) + (4 3) ×
(7.6 6.6) + (5 3) × (8.8 6.6) = 10 2 2 2 =1 = (1 3) + (2 3) + (3 3)
2 + (4 3)2 + (5
3)2 = 10 10，所以 = 10 = 1,
则 = 6.6 1 × 3 = 3.6，
故广告费投入 与年份代号 之间的线性经验回归方程为 = + 3.6．
(2)零假设为 0：市民的年龄与对该品牌新能源汽车的认可度无关联．
由题中表格数据，
2 = 400×(140×80 60×120)
2 400
计算得 200×200×260×140 = 91 ≈ 4.396 > 3.841 = 0.05．
依据小概率值 = 0.05 的独立性检验，我们推断 0不成立，即认为市民的年龄与对该品牌新能源汽车的认
可度有关联，此推断犯错误的概率不大于 0.05．
19.解：(1)由题意知，每个音乐片段被抽到的可能是相同的．
因为甲、乙、丙三个工作室录制音乐片段总数之比为 6: 7: 5，
7 7
所以若只取 1 个音乐片段，它是由乙工作室录制的概率为 = 6+7+5 = 18；
(2)设事件 , , 分别表示随机抽取的 1 个音乐片段分别是由甲、乙、丙工作室录制的，
6 1
若只取 1 个音乐片段，则 ( ) = 6+7+5 = 3，
所以由乙或丙工作室录制的概率为 = 1 ( ) = 23．
1
依题意可知， 的可能取值为 0，1，2，且 2, 3 ．
1 0 2 2 4 1 2 4
所以 ( = 0) = C02 × 3 × 3 = 9， ( = 1) = C
1
2 × 3 × 3 = 9，
2 0
( = 2) = C22 ×
1
3 ×
2 1
3 = 9，
所以 的分布列为

0 1 2
4 4 1
9 9 9
4 4 1 2
数学期望 ( ) = 0 × 9+ 1 × 9 + 2 × 9 = 3；
(3)设事件 7 5表示音乐片段被录用，由(1)(2)知 ( ) = 18 , ( ) = 18．
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所以 ( ∣ ) = 0.8, ( ∣ ) = 0.6, ( ∣ ) = 0.6 ．
又 ( ) = ( ∪ ∪ ) = ( ) + ( ) + ( ) = ( ) ( ∣ ) + ( ) ( ∣ ) + ( ) ( ∣ ) = 13 ×
0.8 + 7 5 218 × 0.6 + 18 × 0.6 = 3 ≈ 0.67，
即《哪吒 2：魔童闹海》电影原声音乐片段的可用率约为 0.67．
又 0.67 > 0.65，所以此次音乐片段的可用率高于以往平均可用率．
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