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2024-2025学年山东省菏泽市鄄城县第一中学高一下学期5月月考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知直线和平面，则“”是“直线与平面无公共点”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
2.已知复数满足其中为虚数单位，则的虚部为( )
A. B. C. D.
3.如图，在三角形中，是线段上的一点，若，则实数的值为( )
A. B. C. D.
4.若棱台的上、下底面面积分别为，高为，则该棱台的体积为( )
A. B. C. D.
5.已知，，若与的夹角为钝角，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
6.如图，在平行四边形中，、分别为、的中点，设，，则向量( )
A. B. C. D.
7.已知半球内有一个内接正方体，正方体的一个面在半球的底面圆内，若正方体的棱长为，则半球的表面积为( )
A. B. C. D.
8.在中，点满足，过点的直线与、所在的直线分别交于点、，若，，则的最小值为
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题正确的是( )
A. 若，则存在唯一实数使得
B. “”是“”的必要不充分条件
C. 已知为平面内两个不共线的向量，则可作为平面的一组基底
D. 若点为的重心，则
10.如图，四边形的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知，，则下列说法正确的是( )
A. B.
C. 四边形的面积为 D. 四边形的周长为
11.在中，角所对的边分别为，设的面积为，下列命题中正确的是 ．
A. 若，则是等边三角形
B. 若，则是等腰三角形
C. 若，则是直角三角形
D. 若，且，则是等边三角形
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.与向量方向相反的单位向量的坐标为 ．
13.在中，角，，所对的边分别为，，，，，若三角形有两解，则的取值范围是 ．
14.正三棱锥底面边长为，侧棱长为，则该正三棱锥的高为 ，侧面上的斜高为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知平面向量．
若，求的值；
若求的值；
若向量，若与共线，求
16.本小题分
已知复数是虚数单位，，且为纯虚数是的共轭复数．
设复数，求；
设复数，且复数所对应的点在第一象限，求实数的取值范围．
17.本小题分
如图所示，某建筑物模型无下底面，有上底面，其外观是圆柱，底部挖去一个圆锥已知圆柱与圆锥的底面大小相同，圆柱的底面半径为，高为，圆锥母线为．
计算该模型的体积结果精确到
现需使用油漆对个该种模型进行涂层，油漆费用为每平方米元，总费用是多少？结果精确到元
18.本小题分
在锐角中，角，，的对边分别为，，，已知是该三角形外接圆的半径，且．
求角；
若的面积为，求的取值范围．
19.本小题分
如图，设、是平面内相交成的两条射线，、分别为、同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记．
在仿射坐标系中，若，求；
在仿射坐标系中，若，，且与的夹角为，求；
如图所示，在仿射坐标系中，、分别在轴、轴正半轴上，，，、分别为、中点，求的最大值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.

15.因为，所以，则，解得，
故，．
因为，所以，则，．
，，
若与共线，则，解得，即，
故．
16.，．
又为纯虚数，，解得．
，；
，，
又复数所对应的点在第一象限，
，解得：．
17.设圆锥的高为，
由题意得圆锥母线为，
则，
；
圆柱的侧面积为，圆柱的上底面的面积为，
圆锥侧面积为．
，
故总费用为元．
18.依题意，，
，
由正弦定理得，
所以，
，
所以，所以为锐角，且．
，
由于三角形是锐角三角形，所以
所以，所以，
所以的取值范围是．
19.由题意可知，、的夹角为，
由平面向量数量积的定义可得，
因为，则，
则，所以．
由，，得，，
且，
所以，，
，则，
，
因为与的夹角为，则，解得．
依题意设、，
且，，，
因为为的中点，则，
因为为中点，同理可得，
所以，，
由题意可知，，，
则，
在中依据余弦定理得，所以，
代入上式得，．
在中，由正弦定理，
设，则，且，
所以，，，
，
为锐角，且，
因为，则，
故当时，取最大值，
则

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