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2024-2025学年云南省昭通市第一中学高二下学期5月奖学金考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设全集，集合满足，则( )
A. B. C. D.
2.若复数，则在复平面内对应点的坐标为( )
A. B. C. D.
3.将函数的图象向右平移个最小正周期后，所得图象对应的函数为( )
A. B.
C. D.
4.已知两个非零向量，满足，则向量在向量上的投影向量为( )
A. B. C. D.
5.已知函数是偶函数，则( )
A. B. C. D.
6.已知圆台的侧面展开图是半个圆环，侧面积为，则圆台上下面面积之差的绝对值为( )
A. B. C. D.
7.在数列的项和之间插入个构成新数列，则( )
A. B. C. D.
8.已知，且，，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 一组数据，，，，，，，，，的第百分位数为
B. 若事件，相互独立，且，，则事件，不互斥
C. 已知随机变量，若，则
D. 若随机变量服从正态分布，则函数为偶函数
10.已知数列满足，的前项和为，则( )
A. B. 数列为等差数列
C. ，，构成等比数列 D. 数列的前项和为
11.已知函数，则下列说法正确的是( )
A. 若，则
B. 当时，函数与的图像恰有个交点
C. 当时，函数的图象关于直线成轴对称图形
D. 当时，记函数的最小值为，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若角的终边经过点，则 ．
13.记双曲线的离心率为，若直线与双曲线有公共点，则离心率的取值范围为 请用区间表示
14.根长度相同的绳子平行放置在桌面上，分别将左、右两边的个绳头各自随机均分成组，然后将每组内的两个绳头打结，则这根绳子恰能围成一个大圈的概率为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，角，，所对应的边分别为，，已知．
求角；
如图，的平分线交于，，求的取值范围．
16.本小题分
世纪汽车博览会在上海举行．某汽车模型公司共有个汽车模型，其外观与内饰的颜色分布如表所示：
红色外观 蓝色外观
棕色内饰
米色内饰
现将这个汽车模型进行编号．
若小明从个汽车模型编号中随机选取一个，记事件为小明取到的模型为红色外观，事件为小明取到的模型为米色内饰，求和；
该公司举行了一个抽奖活动，规定在一次抽奖中，每人一次性从个汽车模型编号中选取两个，给出以下抽奖规则：选到的两个模型会出现三种结果，即外观和内饰均同色、外观和内饰都异色以及仅外观或仅内饰同色；按结果的可能性大小设置奖项，概率越小奖项越高；该抽奖活动的奖金金额为一等奖元、二等奖元、三等奖元．请你分析奖项对应的结果，设为奖金金额，写出的分布列，并求出的数学期望．
17.本小题分
已知函数．
若，求曲线在点处的切线方程；
若有两个零点，求的取值范围．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，且，侧面是正三角形，侧面底面，为中点，作交于．
求证：平面；
求平面与平面的夹角的余弦值；
在平面内是否存在点使得，若存在，求动点的轨迹长度；若不存在，请说明理由．
19.本小题分
已知圆心在轴上移动的圆经过点，且与轴、轴分别交于，两个动点．
求点的轨迹的方程；
过作直线与曲线相交于，两点．
，直线，与曲线的另一个交点分别为，，证明直线过定点，并求出该定点；
为点列，直线，与曲线的另一个交点分别为，，若数列的前项和为，证明．
参考答案
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14.
15.，
由正弦定理可得：，
在中，，，
化简得：，
，则，又，则．
在中，由正弦定理可得，，
同理中，有，，，，
，
，．
16.由题意得，，，，
则．
记外观与内饰均同色为事件，外观与内饰都异色为事件，仅外观或仅内饰同色为事件，
则，
，
．
，
一等奖为两个汽车模型的外观与内饰都异色，二等奖为两个汽车模型的外观与内饰均同色，三等奖为两个汽车模型仅外观或仅内饰同色．
的分布列：
．
17.若，，，
则；，
故所求的切线方程为，即．
由题意函数的定义域为，
，
当时，恒成立，在上单调递增，
函数在定义域内最多一个零点，不符合题意；
当时，令，则；
令，则；令，则，
函数在上单调递减，在上单调递增，
，
若，则，此时最多一个零点，不符合题意；
若，则，
又时，；时，，
由零点存在性定理和函数的单调性可知，在上存在唯一的零点，
在上也存在唯一的零点，符合题意，
综上．
18.由侧面底面，侧面底面，面，
又底面是直角梯形，，故，
所以面，面，则，
由侧面是正三角形，为中点，则，
而且都在面内，则面，面，
所以面面，而，面面，面，
所以平面．
依题意，可构建如下图示的空间直角坐标系，，
所以，，
令是面的一个法向量，则
令，则，
令是面的一个法向量，则
令，则，
所以平面与平面的夹角的余弦值．
由，即，故点在以为直径的球体与平面的交线上，
又，其中点坐标为，则，
由知，是面的一个法向量，
所以到面的距离，
所以以为直径的球体与平面不相交，故不存在使．

19.因为圆的圆心在轴上移动，
所以与的中点为该圆的圆心，故圆心为．
又因为在圆上，所以，
即，
化简得：，
所以点的轨迹的方程为；
因为弦的斜率必不为，故设弦所在直线方程为，
联立方程，得，
因为交于两点，故，解得，或，
设，，故，．
证明：因为，直线，与曲线的另一个交点分别为，，
设直线．
联立方程，得，
所以，，同理可得：．
所以，解得．
由上述解答可知：过轴上一定点的直线与抛物线交于两点时，
这两点的横坐标之积为定值，故猜想若为定值时，直线过的定点在轴上，
下面进行证明．
因为，可得直线的方程为：，
令，解得，
又因为，
根据题目可知，，同号，故，所以，
故直线恒过定点，定点为；
由可知：若抛物线的弦与轴交于点，
若，，则有，．
由证明出的结论可知，，，
因为为点列，
直线，与曲线的另一个交点分别为，，
故，，，．
所以，解得．
因为，可得直线的方程为：，
由同理可得：时，解得，
又因为，
根据题目可知，同号，故，所以，
故直线过定点，
所以，
，
于是．
故，显然，
当时，，
故，
所以，得证．

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