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专题02 二元一次方程组期末高频必刷题汇编
一、单选题
1．下列方程组是二元一次方程组的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列4组数中，不是二元一次方程的解是（ ）
A． B． C． D．
3．对于二元一次方程组，将①式代入②式，消去可以得到（ ）
A． B．
C． D．
4．我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后面两句的意思是：如果一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果一间客房住9人，那么就空出一间客房，若设该店有客房x间，房客y人，则列出关于x、y的二元一次方程组正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．已知关于的二元一次方程组的解满足，则m的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
6．如果方程组的解为，那么被“”“”遮住的两个数分别是（ ）
A．， B．， C．， D．，
7．关于，的方程组的解是，其中的值被盖住了．不过仍能求出，则的值是（ ）
A． B． C． D．
8．中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两（‘两’为我国古代货币单位）；马二匹、牛五头，共价三十八两，阀马、牛各价几何？”设马每匹x两，牛每头y两，根据题意可列方程组为（ ）
A． B． C． D．
9．已知关于x，y的方程组，以下结论其中不成立是（ ）．
A．不论k取什么实数，的值始终不变
B．存在实数k，使得
C．当时，
D．当，方程组的解也是方程的解
10．两个两位数的和是68，在较大的两位数的右边接着写较小的两位数，得到一个四位数；在较大的两位数的左边写上较小的两位数，也得到一个四位数．已知前一个四位数比后一个四位数大990．若设较大的两位数为，较小的两位数为，根据题意可列方程组（ ）
A． B．
C． D．
11．已知是二元一次方程的解，则k的值是（ ）
A． B． C． D．
12．若关于x，y的方程组（a，b是常数）的解为，则方程组的解为（ ）
A． B． C． D．
13．老师利用两块大小一样的长方体木块测量一张桌子的高度，首先按照图①方式放置，再交换两木块儿的位置，按照图②方式放置，测量的数据如图，则桌子的高度是（ ）
A． B． C． D．
14．二元一次方程的正整数解有（ ）组．
A．1 B．2 C．3 D．4
15．用如图①中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图②的竖式和横式的两种无盖纸盒．现有60张正方形纸板和140张长方形纸板，如果做两种纸盒若干个，恰好将纸板用完，设做x个竖式无盖纸盒，y个横式无盖纸盒，则可列方程组（ ）
A．B． C． D．
16．小明在解关于x，y的二元一次方程组时，得到了正确的结果，后来发现“m”“n”处被墨水污损了，请你帮他找出m，n处的值分别是（　 ）
A．m=1，n=1 B．m=2，n=1 C．m=1，n=2 D．m=2，n=2
17．已知方程组的解是，则的解是（ ）
A． B． C． D．
18．用如图的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图的竖式和横式两种无盖纸盒.现在仓库里有 500张正方形纸板和1000张长方形纸板，问两种纸盒各做多少个，恰好将库存的纸板用完？若设做竖式纸盒x个，横式纸盒y个，则可列方程组（　　）
A． B．
C． D．
19．已知一个两位数，它的十位上的数字x比个位上的数字y大1，若对调个位与十位上的数字，得到的新数比原数小9，求这个两位数，所列方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
20．已知方程组，则的值为 ．
21．已知的解是，则的解为 ．
22．已知关于的二元一次方程组的解为，那么关于的二元一次方程组中的的值为 ．
23．把方程化成用含有的代数式表示的形式为 ．
24．小明在超市帮妈妈买回一袋纸杯，他把纸杯整齐地叠放在一起，如图请你根据图中的信息，若小明把个纸杯整齐叠放在一起时，当为11时的值是 ．
25．小亮解方程组的解为，由于不小心，滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数●和★，请你帮他找回★和●这两个数， ， ．
26．若关于x，y的二元一次方程组的解是，则关于m、n的二元一次方程组的解是 ．
27．已知方程组，则的值是 .
28．实验室需要购买A，B，C三种型号的盒子存放材料，盒子容量和单价如下表所示：
盒子型号 A B C
盒子容量（单位：升） 2 3 4
盒子单价（单位：元） 5 6 9
其中A型号盒子做促销活动：购买3个及以上可一次性优惠4元，现有28升材料需要存放，要求每个盒子都要装满且三种盒子都至少买一个．
（1）若购买A，B，C三种型号的盒子的个数分别为1，6，2，则购买总费用为 元；
（2）若一次性购买所需盒子且购买总费用不超过58元，则购买A，B，C三种型号的盒子的个数分别为 个（写出一种即可）．
29．小明在拼图时，发现8个一样大小的长方形如图1那样，恰好可以拼成一个大的长方形．小红看见了，说：“我来试一试．”结果小红七拼八凑，拼成如图2那样的正方形．“咳，怎么中间还留了一个洞，恰好是边长为的小正方形！”请你写出这些长方形的长和宽 ．
30．幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”，把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图1），将9个数填在（三行三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方．如图2的方格中填写了一些代数式，若能构成一个广义的三阶幻方，则 ．

三、解答题
31．解下列二元一次方程组：
(1) (2)．
32．用适当方法解下列方程组：
(1) (2)
33．数学活动：探究不定方程
小北，小仑两位同学在学习方程过程中，发现三元一次方程组，虽然解不出x，y，z的具体数值，但可以解出的值．
(1)小北的方法：，整理可得：________；
，整理可得：________，∴．
小仑的方法：：________③；∴ ，得．
(2)已知，试求解的值．
(3)学校现准备采购若干英语簿，数学簿以及作文本，已知采购4本英语簿，5本数学簿，2本作文本需要6元；采购4本英语簿，8本数学簿，2本作文本需要7.2元，那么采购200本英语簿，300本数学簿，100本作文本需要多少钱？
34．初春是甲型流感病毒的高发期．为做好防控措施，我校欲购置规格的甲品牌消毒液和规格的乙品牌消毒液若干瓶．已知购买3瓶甲品牌消毒液和2瓶乙品牌消毒液需要80元，购买1瓶甲品牌消毒液和4瓶乙品牌消毒液需要110元．
(1)求甲，乙两种品牌消毒液每瓶的价格；
(2)若我校需要购买甲，乙两种品牌消毒液总共，则需要购买甲，乙两种品牌消毒液各多少瓶（两种消毒液都需要购买）？请你求出所有购买方案；
(3)若我校采购甲，乙两种品牌消毒液共花费元，现我校在校师生共人，平均每人每天都需使用的消毒液，则这批消毒液可使用多少天？
35．学校准备统一乘车到爱国主义基地活动，需要租旅游车出行．
本次出行有350位学生和10位教师，旅游车出租公司有A，B，C三种车型可供出租，每种车型的车辆辆数、可乘坐旅客数及出租价格如下表：
车型 A B C
可租辆数（辆） 10 10 7
可乘坐旅客数（人/辆） 20 30 45
单价（元/辆） 1400 1800 2250
(1)若要同时租两种车型，且每辆车坐满，计算每种车型的人均乘车费用，并按照这个费用最少原则选定两种车型．
(2)在每辆车坐满的条件下，按照（1）中确定的车辆类型，请设计合理的租车方案，使每辆车上恰好有一位教师．
(3)请设计一种租车方案，满足下列要求：租用车型不超过两类，保证每辆车上至少有一位教师，并使得租车总费用最省．
36．某药店采购部于3月份和4月份从工厂定制一批印有药店商标的口罩．普通版和精美版的定制费每盒分别是1元和2元．若三月份定制普通版，四月份定制精美版共需定制费600元；若三月份定制精美版，四月份定制普通版共需定制费450元．该药店在3，4月份均将当月定制的口罩平均分给甲、乙两家分店销售，并统一规定每盒口罩的标价为30元．
(1)求3，4月各购进口罩多少盒．
(2)已知每盒口罩进价20元（含定制费），3月份两店按标价各卖出a盒后，做优惠促销活动：甲店剩余口罩按标价的八折全部出售；乙店剩余口罩先按标价的九折售出b盒后，再将余下口罩按标价七折全部售出，结果利润与甲店相同．
①填表，并用含a的代数式表示b．
原价部分总利润 优惠部分总利润
甲店 10a A
乙店 B C
②4月份，乙店计划将分到的口罩按标价出售n盒后（），剩余口罩全部捐献给医院．且预计乙店3，4月份能从这两批口罩销售中获得的总利润为100元，求a，b，n可能的值．
37．根据以下素材，探索完成任务．
如何设计板材裁切方案？
素材 图中是一张学生椅，主要由靠背、座垫及铁架组成经测量，该款学生椅的靠背尺寸为，座垫尺寸为．图是靠背与座垫的尺寸示意图．
素材 因学校需要，某工厂配合制作该款式学生椅．经清点库存时发现，工厂仓库已有大量的学生椅铁架，只需在市场上购进某型号板材加工制做该款式学生椅的靠背与座垫．已知该板材长为，宽为（裁切时不计损耗）
我是板材裁切师
任务一 拟定裁切方案 若要不造成板材浪费，请你设计出一张该板材的所有裁切方法． 方法一：裁切靠背张和座垫张． 方法二：裁切靠背______ 张和坐垫______ 张． 方法三：裁切靠背______ 张和坐垫______ 张．
任务二 确定搭配数量 若该工厂购进张该型号板材，能制作成多少张学生椅？
任务三 解决实际问题 现需要制作张学生椅，该工厂仓库现有张座垫和张靠背，还需要购买该型号板材多少张恰好全部用完？并给出一种裁切方案．
38．2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”、冬残奥会吉祥物“雪容融”，分别以熊猫、灯笼为原型进行设计创作，象征着运动员强壮的身体、坚韧的意志和鼓舞人心的奥林匹克精神，某商场用6000元购进A，B两种“冰墩墩”和“雪容融”纪念品套装，按标价售出后可获得毛利润3800元（毛利润＝售价－进价），这两种套装的进价，标价如表所示：
(1)求这两种纪念品套装各自购进的套数；
(2)如果A种套装按标价的8折出售，B种套装按标价的7折出售，那么这批纪念品全部售完后，商场比按标价售出少收入多少元？/ 让教学更有效 精品试卷 | 数学学科
专题02 二元一次方程组期末高频必刷题汇编
一、单选题
1．下列方程组是二元一次方程组的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查二元一次方程组的定义，正确理解二元一次方程组的定义是解题的关键．
根据二元一次方程组的定义：只含有两个未知数，含有未知数的项的次数都是1，并且有两个方程组成的方程组，即可作答．
【详解】A．第二个方程是分式方程，不是二元一次方程组，故本选项不符合题意；
B．是二元一次方程组，故本选项符合题意；
C．第二个方程是二次方程，不是二元一次方程组，故本选项不符合题意；
D．第二个方程是二次方程，不是二元一次方程组，故本选项不符合题意；
故选：B．
2．下列4组数中，不是二元一次方程的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】将选项中的的值分别代入方程的左边，进而即可求解．
【详解】解：A、当时，，则是二元一次方程的解，不合题意；
B、当时，，则是二元一次方程的解 ，不合题意；
C、 当时，，则是二元一次方程的解，不合题意；
D、当时，，则不是二元一次方程的解，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了二元一次方程的解的定义，熟练掌握二元一次方程的解的定义是解题的关键．
3．对于二元一次方程组，将①式代入②式，消去可以得到（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】将①式代入②式消去去括号即可求得结果．
【详解】解：将①式代入②式得，
，
故选B．
【点睛】本题考查了代入消元法求解二元一次方程组，熟练掌握代入消元法是解题的关键．
4．我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后面两句的意思是：如果一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果一间客房住9人，那么就空出一间客房，若设该店有客房x间，房客y人，则列出关于x、y的二元一次方程组正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设该店有客房x间，房客y人；根据题意一房七客多七客，一房九客一房空得出方程组即可．
【详解】解：设该店有客房x间，房客y人；
根据题意得：，
故选：B．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用；根据题意得出方程组是解决问题的关键．
5．已知关于的二元一次方程组的解满足，则m的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】将方程组的两个方程相减，可得到，代入，即可解答．
【详解】解：，
得，
，
代入，可得，
解得，
故选：B．
【点睛】本题考查了根据解的情况求参数，熟练利用加减法整理代入是解题的关键．
6．如果方程组的解为，那么被“”“”遮住的两个数分别是（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】A
【分析】本题考查二元一次方程组的解，把代入先求出，再代入求出．解题的关键是理解方程组解的定义．
【详解】解：∵方程组的解为，
∴分别为方程和的解，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴被“”“”遮住的两个数分别是，．
故选：A．
7．关于，的方程组的解是，其中的值被盖住了．不过仍能求出，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】此题主要考查了二元一次方程组的解．把代入方程组第二个方程求出的值，再将，的值代入中，进而求出的值即可．
【详解】解：把代入得：，
解得：，
把，代入得：，
解得：，
故选：A．
8．中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两（‘两’为我国古代货币单位）；马二匹、牛五头，共价三十八两，阀马、牛各价几何？”设马每匹x两，牛每头y两，根据题意可列方程组为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设马每匹x两，牛每头y两，由“马四匹、牛六头，共价四十八两”可得，根据“马二匹、牛五头，共价三十八两，”可得，即可求解．
【详解】解：设马每匹x两，牛每头y两，根据题意可得
故选B
【点睛】本题考查了列二元一次方程组，理解题意列出方程组是解题的关键．
9．已知关于x，y的方程组，以下结论其中不成立是（ ）．
A．不论k取什么实数，的值始终不变
B．存在实数k，使得
C．当时，
D．当，方程组的解也是方程的解
【答案】D
【分析】把k看成常数，解出关于x，y的二元一次方程组（解中含有k），然后根据选项逐一分析即可．
【详解】解：，解得：，然后根据选项分析：
A选项，不论k取何值，，值始终不变，成立；
B选项，，解得，存在这样的实数k，成立；
C选项，，解得，成立；
D选项，当时，，则，不成立；
故选D．
【点睛】本题考查了含有参数的二元一次方程组的解法，正确解出含有参数的二元一次方程组（解中含有参数）是解决本题的关键．
10．两个两位数的和是68，在较大的两位数的右边接着写较小的两位数，得到一个四位数；在较大的两位数的左边写上较小的两位数，也得到一个四位数．已知前一个四位数比后一个四位数大990．若设较大的两位数为，较小的两位数为，根据题意可列方程组（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，根据题意可得等量关系：①两个两位数的和为68，②比大990，根据等量关系列出方程组．
【详解】根据题意，得．
故选：C．
11．已知是二元一次方程的解，则k的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】将代入二元一次方程，得到关于的一元一次方程，解方程即可求解．
【详解】解：依题意，
解得：
故选：D．
【点睛】本题考查了二元一次方程的解的定义，掌握二元一次方程的解的定义是解题的关键．
12．若关于x，y的方程组（a，b是常数）的解为，则方程组的解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据两方程组各方程间的关系，可得出方程组的解为，进而可得出结论．
【详解】解：∵关于x，y的方程组（a，b是常数）的解为，
∴方程组的解为，即．
故选：A．
【点睛】本题考查了方程组的解，方程组之间的关系，熟练掌握方程组之间的关系是解题的关键．
13．老师利用两块大小一样的长方体木块测量一张桌子的高度，首先按照图①方式放置，再交换两木块儿的位置，按照图②方式放置，测量的数据如图，则桌子的高度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设桌子的高度是，长方体木块截面的长比宽多 ，观察图形，根据各边之间的关系，即可得出关于的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【详解】解：设桌子的高度是，长方体木块截面的长比宽多，
依题意，得，
解得：，
故桌子的高度是．
故选：B．
14．二元一次方程的正整数解有（ ）组．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】本题考查了二元一次方程的解，先用的代数式表示出，再求出正整数解即可．
【详解】解：，
，
，
所以正整数解是：，共1组，
故选：A．
15．用如图①中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图②的竖式和横式的两种无盖纸盒．现有60张正方形纸板和140张长方形纸板，如果做两种纸盒若干个，恰好将纸板用完，设做x个竖式无盖纸盒，y个横式无盖纸盒，则可列方程组（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设做x个竖式无盖纸盒，y个横式无盖纸盒，根据60张正方形纸板和140张长方形纸板建立等式．
【详解】解：设做x个竖式无盖纸盒，y个横式无盖纸盒，
根据竖式无盖纸盒用到个正方形纸板和个长方形纸板，横式无盖纸盒用到个正方形纸板和个长方形纸板，
则，
故选：B．
【点睛】本题考查了列二元一次方程组，解题的关键是理清楚量与量之间的等量关系．
16．小明在解关于x，y的二元一次方程组时，得到了正确的结果，后来发现“m”“n”处被墨水污损了，请你帮他找出m，n处的值分别是（　 ）
A．m=1，n=1 B．m=2，n=1 C．m=1，n=2 D．m=2，n=2
【答案】B
【分析】先把y的值代入原方程组求出n的值，再把x的值代入原方程组即可求出m的值．
【详解】解：∵是方程组的解，
∴把y=1代入得，，
①+②得：4x=4，解得x=1，即n=1，
把x=1代入①得，1+m=3，解得m=2．
故选：B．
【点睛】本题考查的是解二元一次方程组，先把y的值代入原方程组求出x的值是解答此题的关键．
17．已知方程组的解是，则的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据二元一次方程组的解的定义即可求解．
【详解】解：∵方程组的解是，
∴即的解满足
解得
故选D
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解的定义，理解二元一次方程组的解的定义是解题的关键．
18．用如图的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图的竖式和横式两种无盖纸盒.现在仓库里有 500张正方形纸板和1000张长方形纸板，问两种纸盒各做多少个，恰好将库存的纸板用完？若设做竖式纸盒x个，横式纸盒y个，则可列方程组（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】设设做竖式纸盒x个，横式纸盒y个，根据共有500张正方形纸板和1000张长方形纸板，列方程组求解．
【详解】解：根据题意，则
，
故选：B
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组求解．
19．已知一个两位数，它的十位上的数字x比个位上的数字y大1，若对调个位与十位上的数字，得到的新数比原数小9，求这个两位数，所列方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】关键描述语是：十位上的数字比个位上的数字大1；新数比原数小9．
等量关系为：①十位上的数字＝个位上的数字；②原数＝新数．
【详解】解：根据十位上的数字比个位上的数字大1，得方程；
根据对调个位与十位上的数字，得到的新数比原数小9，得方程．
列方程组为．
故选：C．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，需掌握的知识点是两位数的表示方法：十位数字个位数字．
二、填空题
20．已知方程组，则的值为 ．
【答案】9
【分析】解方程组，求得x、y的值，进而求得答案．
【详解】解：由方程组，解得
∴
故答案为：9．
【点睛】本题考查求方程组的解，熟练掌握相关知识是解题的关键．
21．已知的解是，则的解为 ．
【答案】
【分析】把第一个方程组中的看成第二个方程组中的x，第一个方程组中的看成第二个方程组中的y，由可得出第二个方程组的解．
【详解】解：∵的解是，
∴，
∴的解为，
故答案为：．
【点睛】本题考查二元一次方程组的解以及特殊解法，解题关键是熟悉二元一次方程组的解的含义．运用整体思想．
22．已知关于的二元一次方程组的解为，那么关于的二元一次方程组中的的值为 ．
【答案】
【分析】根据二元一次方程组解的定义求出的值，再代入方程组得到一个关于的二元一次方程组，求出的值，再代入计算即可．
【详解】解：关于的二元一次方程组的解为，
，
解得：，
将代入得，
解得，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查二元一次方程组的解以及解二元一次方程组，理解二元一次方程组解的定义，掌握解二元一次方程组的方法是正确解答的前提．
23．把方程化成用含有的代数式表示的形式为 ．
【答案】/
【分析】本题考查代入消元法．将当做常数，解方程即可．
【详解】解：∵，
∴；
故答案为：．
24．小明在超市帮妈妈买回一袋纸杯，他把纸杯整齐地叠放在一起，如图请你根据图中的信息，若小明把个纸杯整齐叠放在一起时，当为11时的值是 ．
【答案】17cm
【分析】根据题意可知，单独一个纸杯的高度加三个纸杯叠放在一起高出单独一个纸杯的高度等于9，单独一个纸杯的高度加8个纸杯叠放在一起高出单独一个纸杯的高度等于14，根据这两个等量关系，可列出方程组，再求解．
【详解】解：设每两个纸杯叠放在一起比单独的一个纸杯增高 ，单独一个纸杯的高度为
由题意得
解得，
则个纸杯叠放在一起时的高度为：，
当时，其高度为：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意找出等量关系列出方程组是解题的关键．
25．小亮解方程组的解为，由于不小心，滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数●和★，请你帮他找回★和●这两个数， ， ．
【答案】
【分析】将代入方程组即可求解．
【详解】解：设●表示的数为a，
把代入方程组得：，
解得：，即
则a这个数为.
即：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解．理解相关定义是解题关键．
26．若关于x，y的二元一次方程组的解是，则关于m、n的二元一次方程组的解是 ．
【答案】/
【分析】由关于x，y的二元一次方程组的解是，可得出关于，的二元一次方程组的解是，解之即可得出结论．
【详解】解：∵关于x，y的二元一次方程组的解是，
∴出关于，的二元一次方程组的解是，
解得：
，
∴关于m、n的二元一次方程组的解是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解以及解二元一次方程组，利用整体思想求解方程组是解题的关键．
27．已知方程组，则的值是 .
【答案】2
【分析】直接求解即可得到答案.
【详解】解：得，
，
故答案为：2；
【点睛】本题主要考查根据二元一次方程组求代数式值，解题的关键是熟练掌握两方程和差与代数式之间的关系．
28．实验室需要购买A，B，C三种型号的盒子存放材料，盒子容量和单价如下表所示：
盒子型号 A B C
盒子容量（单位：升） 2 3 4
盒子单价（单位：元） 5 6 9
其中A型号盒子做促销活动：购买3个及以上可一次性优惠4元，现有28升材料需要存放，要求每个盒子都要装满且三种盒子都至少买一个．
（1）若购买A，B，C三种型号的盒子的个数分别为1，6，2，则购买总费用为 元；
（2）若一次性购买所需盒子且购买总费用不超过58元，则购买A，B，C三种型号的盒子的个数分别为 个（写出一种即可）．
【答案】 59 4，4，2（答案不唯一）
【分析】（1）根据盒子的个数乘以盒子的单价即可得购买费用；
（2）设购买A种型号盒子x个，购买B种型号盒子y个，购买C种盒子型号z个，根据题意列出方程和不等式，然后求整数解即可．
【详解】（1）购买A，B，C三种型号的盒子的个数分别为1，6，2，
则购买费用为：（元），
故答案为：；
（2）设购买A种型号盒子x个，购买B种型号盒子y个，购买C种盒子型号z个，
根据题意得：，
①当时，，
∵x，y，z都为正整数，
∴时，，（不符合题意舍去），
②当时，，
∵x，y，z都为正整数，
∴时，，
综合所述，购买A，B，C三种型号的盒子的个数分别为4，4，2．
故答案为：4，4，2．
【点睛】本题考查了三元一次方程组的应用，分别和两种情况列出方程求出整数解是解题的关键．
29．小明在拼图时，发现8个一样大小的长方形如图1那样，恰好可以拼成一个大的长方形．小红看见了，说：“我来试一试．”结果小红七拼八凑，拼成如图2那样的正方形．“咳，怎么中间还留了一个洞，恰好是边长为的小正方形！”请你写出这些长方形的长和宽 ．
【答案】10，6
【分析】设每个小长方形的长为xmm，宽为 ymm，根据图形给出的信息可知，长方形的5个宽与其3个长相等，两个长加2的和等于一个长与两个宽的和，于是得方程组，解出即可．
【详解】设长方形的长为x，宽为y，则
解得：
所以每个小长方形的长是10mm，宽是6mm，
故答案为：10，6．
【点睛】考查了列二元一次方程组解实际问题的运用，二元一次方程组的解法的运用，解答时根据矩形和正方形的长与宽的关系建立方程组是关键．
30．幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”，把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图1），将9个数填在（三行三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方．如图2的方格中填写了一些代数式，若能构成一个广义的三阶幻方，则 ．

【答案】
【分析】根据三阶幻方中的数字列方程组求解即可．
【详解】解：由题意知，
，
解得，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查二元一次方程组的应用，熟练根据三阶幻方列方程求解是解题的关键．
三、解答题
31．解下列二元一次方程组：
(1)
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用代入消元法求解即可；
（2）利用加减消元法求解即可．
【详解】（1）解：，
把代入，得：，
，
，
把代入，得：，
所以，原方程组的解是；
（2）解：，
把，得：，
，得：，
把代入，得：，
所以，原方程组的解是；
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的解法，熟练掌握代入消元法和加减消元法是解题的关键．
32．用适当方法解下列方程组：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用加减消元法，进行计算即可解答；
（2）利用代入消元法，进行计算即可解答．
【详解】（1）
解①+②得：
解得
把代入①得：
解得
∴原方程组的解为．
（2）
把①代入②得：
解得
把代入①得：
解得
∴原方程组的解为
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组是解题的关键．
33．数学活动：探究不定方程
小北，小仑两位同学在学习方程过程中，发现三元一次方程组，虽然解不出x，y，z的具体数值，但可以解出的值．
(1)小北的方法：，整理可得：________；
，整理可得：________，∴．
小仑的方法：：________③；∴ ，得．
(2)已知，试求解的值．
(3)学校现准备采购若干英语簿，数学簿以及作文本，已知采购4本英语簿，5本数学簿，2本作文本需要6元；采购4本英语簿，8本数学簿，2本作文本需要7.2元，那么采购200本英语簿，300本数学簿，100本作文本需要多少钱？
【答案】(1)；；；
(2)3
(3)320元
【分析】（1）根据题意进行运算求解即可；
（2）运用等式的性质进行运算，使得三个未知数的系数相同即可；
（3）设英语簿单价为x元/本，数学簿单价为y元/本，作文本单价为z元/本，根据题意列出三元一次方程组求解即可．
【详解】（1）得：，
得：，
∴得：；
得：，
得：，
∴得：；
得：，
得：；
故答案为：；；； ；
（2），
得：，
∴ ；
（3）设英语簿单价为x元/本，数学簿单价为y元/本，作文本单价为z元/本，
由题意得： ，
得：，
∴，
∴．
答：需要320元．
【点睛】本题考查了三元一次方程组的应用，熟练掌握加减消元法是解题的关键．
34．初春是甲型流感病毒的高发期．为做好防控措施，我校欲购置规格的甲品牌消毒液和规格的乙品牌消毒液若干瓶．已知购买3瓶甲品牌消毒液和2瓶乙品牌消毒液需要80元，购买1瓶甲品牌消毒液和4瓶乙品牌消毒液需要110元．
(1)求甲，乙两种品牌消毒液每瓶的价格；
(2)若我校需要购买甲，乙两种品牌消毒液总共，则需要购买甲，乙两种品牌消毒液各多少瓶（两种消毒液都需要购买）？请你求出所有购买方案；
(3)若我校采购甲，乙两种品牌消毒液共花费元，现我校在校师生共人，平均每人每天都需使用的消毒液，则这批消毒液可使用多少天？
【答案】(1)甲品牌消毒液每瓶的价格为10元，乙品牌消毒液每瓶的价格为25元；
(2)方案一：购买15瓶甲消毒液，5瓶乙消毒液；方案二：购买10瓶甲消毒液，4瓶乙消毒液；方案一：购买5瓶甲消毒液，6瓶乙消毒液；
(3)这批消毒液可使用5天．
【分析】（1）设甲品牌消毒液每瓶的价格为x元，乙品牌消毒液每瓶的价格为y元，根据购买3瓶甲品牌消毒液和2瓶乙品牌消毒液需要80元，购买1瓶甲品牌消毒液和4瓶乙品牌消毒液需要110元列出方程组，解方程组即可得到答案；
（2）设需要购买甲品牌消毒液m瓶，购买乙品牌消毒液n瓶,根据甲，乙两种品牌消毒液总共列出方程，求出方程的所有整数解，即可得到答案；
（3）设购买甲品牌消毒液p瓶，购买乙品牌消毒液q瓶,设使用t天，根据购甲，乙两种品牌消毒液共花费元，全校师生一天共需要消毒液，列出方程组，变形后代入即可得到答案．
【详解】（1）解：设甲品牌消毒液每瓶的价格为x元，乙品牌消毒液每瓶的价格为y元，由题意可得，
解得，
答：甲品牌消毒液每瓶的价格为10元，乙品牌消毒液每瓶的价格为25元；
（2）设需要购买甲品牌消毒液m瓶，购买乙品牌消毒液n瓶,则由题意可得，
，
整理得，，
当时，,
当时，,
当时，,
方案一：购买15瓶甲消毒液，5瓶乙消毒液；
方案二：购买10瓶甲消毒液，4瓶乙消毒液；
方案一：购买5瓶甲消毒液，6瓶乙消毒液；
（3）设购买甲品牌消毒液p瓶，购买乙品牌消毒液q瓶,设使用t天，则由题意可得，
，
由①得③，
把③代入②得，，
解得，
答：这批消毒液可使用5天．
【点睛】此题考查了二元一次方程组和三元一次方程组的应用，读懂题意，正确列出方程和方程组是解题的关键．
35．学校准备统一乘车到爱国主义基地活动，需要租旅游车出行．
本次出行有350位学生和10位教师，旅游车出租公司有A，B，C三种车型可供出租，每种车型的车辆辆数、可乘坐旅客数及出租价格如下表：
车型 A B C
可租辆数（辆） 10 10 7
可乘坐旅客数（人/辆） 20 30 45
单价（元/辆） 1400 1800 2250
(1)若要同时租两种车型，且每辆车坐满，计算每种车型的人均乘车费用，并按照这个费用最少原则选定两种车型．
(2)在每辆车坐满的条件下，按照（1）中确定的车辆类型，请设计合理的租车方案，使每辆车上恰好有一位教师．
(3)请设计一种租车方案，满足下列要求：租用车型不超过两类，保证每辆车上至少有一位教师，并使得租车总费用最省．
【答案】(1)应选B、C两种车型
(2)租B种车型6辆，C种车型4辆
(3)B种车型3辆，C种车型6辆
【分析】（1）根据已知求出每种车型的人均乘车费用，再比较即可得到答案；
（2）设租用B型车x辆，根据每辆车上恰好有一位教师可得：，即可解得答案；
（3）根据题意和表格中的数据，可以列出相应的不等式组，从而可以求得有几种租车方案，然后即可计算出相应的费用，再比较大小，即可解答本题．
【详解】（1）解：A种车型的人均乘车费用：（元），
B种车型的人均乘车费用：（元），
C种车型的人均乘车费用：（元）．
所以应选B、C两种车型．
（2）解：设租用B型车x辆，则租用C型车辆，根据题意得：
，
解得，
，
∴租用B型车6辆，租用C型车4辆；
（3）要求所租车型不超过两类，有以下两种情况：
①若只租用一种车型：
A车型：，
B车型：，
C车型：，
所以只租一种车型不可行．
②若租用两种车型：
要使租车总费用最省，应多租人均乘车费用较低的车型且尽量使每辆车坐满，
则选B、C两种车型，设B种车型x辆，C种车型y辆，
第一种情况：若每辆车都坐满，
由①得③
把③代入②得，解得．
由③可得y是偶数，所以或．
分别代入③得到或．
当，时，租车总费用为（元）；
当，时，租车总费用为（元）．
此时，符合要求的方案是：B种车型3辆，C种车型6辆．
第二种情况：若租用车辆没有坐满，则租车总费用大于每辆车坐满的总费用．
综上所述，符合要求的方案是：B种车型3辆，C种车型6辆．
【点睛】本题考一元一次方程的应用，二元一次不等式组的应用，正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程和不等式是解题的关键．
36．某药店采购部于3月份和4月份从工厂定制一批印有药店商标的口罩．普通版和精美版的定制费每盒分别是1元和2元．若三月份定制普通版，四月份定制精美版共需定制费600元；若三月份定制精美版，四月份定制普通版共需定制费450元．该药店在3，4月份均将当月定制的口罩平均分给甲、乙两家分店销售，并统一规定每盒口罩的标价为30元．
(1)求3，4月各购进口罩多少盒．
(2)已知每盒口罩进价20元（含定制费），3月份两店按标价各卖出a盒后，做优惠促销活动：甲店剩余口罩按标价的八折全部出售；乙店剩余口罩先按标价的九折售出b盒后，再将余下口罩按标价七折全部售出，结果利润与甲店相同．
①填表，并用含a的代数式表示b．
原价部分总利润 优惠部分总利润
甲店 10a A
乙店 B C
②4月份，乙店计划将分到的口罩按标价出售n盒后（），剩余口罩全部捐献给医院．且预计乙店3，4月份能从这两批口罩销售中获得的总利润为100元，求a，b，n可能的值．
【答案】(1)3月购进100盒口罩，4月购进250盒口罩
(2)①A：10a；B：4；C：；②a，b，n可能的值为30，10，74或40，5，72或50，0，70
【分析】（1）设3月购进x盒口罩，4月购进y盒口罩，根据题意，列出方程组，进行求解即可；
（2）①根据利润＝单件利润×销售数量，列出代数式即可，根据两店利润相同，用含a的代数式表示b；②根据乙店3，4月份能从这两批口罩销售中获得的总利润为100元，列出等式，进行求解即可．
【详解】（1）设3月购进x盒口罩，4月购进y盒口罩，
依题意得：
解得：，
答：3月购进100盒口罩，4月购进250盒口罩．
（2）3月份两店分到的口罩（盒）．
依题意得，乙店原价部分的利润为（元），甲店优惠部分的总利润为元，乙店优惠部分的总利润为（元）．
∵两店的利润相同，
∴，
∴．
故答案为①A：10a；B：4；C：．
②4月乙店分到口罩（盒）．
依题意得：，
∴．
∵．
且∵a，b，n均为自然数，
∴a为10的整数倍，
∴或或．
答：a，b，n可能的值为30，10，74或40，5，72或50，0，70．
【点睛】本题考查二元一次方程组的实际应用．找准等量关系，正确的列出方程组，代数式，是解题的关键．
37．根据以下素材，探索完成任务．
如何设计板材裁切方案？
素材 图中是一张学生椅，主要由靠背、座垫及铁架组成经测量，该款学生椅的靠背尺寸为，座垫尺寸为．图是靠背与座垫的尺寸示意图．
素材 因学校需要，某工厂配合制作该款式学生椅．经清点库存时发现，工厂仓库已有大量的学生椅铁架，只需在市场上购进某型号板材加工制做该款式学生椅的靠背与座垫．已知该板材长为，宽为（裁切时不计损耗）
我是板材裁切师
任务一 拟定裁切方案 若要不造成板材浪费，请你设计出一张该板材的所有裁切方法． 方法一：裁切靠背张和座垫张． 方法二：裁切靠背______ 张和坐垫______ 张． 方法三：裁切靠背______ 张和坐垫______ 张．
任务二 确定搭配数量 若该工厂购进张该型号板材，能制作成多少张学生椅？
任务三 解决实际问题 现需要制作张学生椅，该工厂仓库现有张座垫和张靠背，还需要购买该型号板材多少张恰好全部用完？并给出一种裁切方案．
【答案】任务一：，；，；任务二：该工厂购进张该型号板材，能制作成张学生椅；任务三：需要购买该型号板材张，用其中张板材裁切靠背张和坐垫张，用张板材裁切靠背张和坐垫张．
【分析】任务一：设一张该板材裁切靠背张，坐垫张，可得：，求出非负整数解即可；
任务二：列式计算得能制作成张学生椅；
任务三：设用张板材裁切靠背张和坐垫张，用张板材裁切靠背张和坐垫张，可得：，解方程组可得答案．
【详解】解：任务一：
设一张该板材裁切靠背张，坐垫张，
根据题意得：，
，
，为非负整数，
或或，
方法二：裁切靠背张和坐垫张；
方法三：裁切靠背张和坐垫张；
故答案为：，；，；
任务二：
（张），
该工厂购进张该型号板材，能制作成张学生椅；
任务三：
设用张板材裁切靠背张和坐垫张，用张板材裁切靠背张和坐垫张，
根据题意得：，
解得：，
张，
需要购买该型号板材张，用其中张板材裁切靠背张和坐垫张，用张板材裁切靠背张和坐垫张．
【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，解题的关键是读懂题意，列出二元一次方程和二元一次方程组．
38．2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”、冬残奥会吉祥物“雪容融”，分别以熊猫、灯笼为原型进行设计创作，象征着运动员强壮的身体、坚韧的意志和鼓舞人心的奥林匹克精神，某商场用6000元购进A，B两种“冰墩墩”和“雪容融”纪念品套装，按标价售出后可获得毛利润3800元（毛利润＝售价－进价），这两种套装的进价，标价如表所示：
(1)求这两种纪念品套装各自购进的套数；
(2)如果A种套装按标价的8折出售，B种套装按标价的7折出售，那么这批纪念品全部售完后，商场比按标价售出少收入多少元？
【答案】(1)A种套装购进50套，B种套装购进30套
(2)2440元
【分析】(1)设A种套装购进x件，B种套装购进y件，由总价=单价×数量，利润=售价－进价，建立方程组求出其解即可；
(2)分别求出打折后的价格，再根据少收入的利润=总利润－打折后A种服装的利润－打折后B中套装的利润，求出其解即可．
【详解】（1）解：设A种套装购进x套，B种套装购进y套，
根据题意得，
解这个方程组，得；
所以A种套装购进50套，B种套装购进30套．
（2）解：根据题意得：
（元）．
所以，商场比按标价售出少收入2440元．
【点睛】此题主要考查了二元一次方程组的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程组．

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