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/ 让教学更有效 精品试卷 | 数学学科
期末复习压轴特训
一、单选题
1．如图，长方形中，，第一次平移长方形沿的方向向右平移个单位，得到长方形，第次平移将长方形沿的方向向右平移个单位，得到长方形 ，第次平移将长方形沿的方向平移个单位，得到长方形，若的长度为，则的值为（ ）
A．403 B．404 C．405 D．406
2．对定义一种新运算T，规定：（其中均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算．例如，若，，则下列结论正确的个数为( )
（1）；（2）若，则；（3）若，则有且仅有1组整数解；（4）若对任意有理数都成立，则．
A．1 B．2 C．3 D．4
3．我国古代数学著作《算法统宗》中记载了这样一道题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺．绳长、井深各几何？其大意为：用绳子测量井的深度，如果将绳子折成三等份，则一份绳长比井深多4尺，如果将绳子折成四等份，则一份绳长比井深多1尺，则绳长、井深各是多少尺？若设绳长x尺，井深y尺，则下列所列方程组正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．幻方起源于中国，是我国古代数学的杰作之一，“洛书”是我国文化中最古老、最神秘的事物之一．图即洛书，数出图中各处的圆圈和圆点个数，并按照图中的顺序把它们填入正方形方格中，就得到一个幻方（如图），在图的幻方中，每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字之和都相等，则的立方根是（ ）
A． B． C． D．
5．已知，则代数式的值为（　　）
A．1 B． C．5 D．
6．若，，则M，N的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
7．若，则的值为（ ）
A． B． C． D．12
8．若关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
9．已知关于x的方程的解是负数，则的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．或
10．某市开展“悦读书，与心共鸣”读书活动，甲、乙两位同学分别从距离活动地点和的两地同时出发，参加活动．甲同学的速度是乙同学的1.1倍，乙同学比甲同学提前到达活动地点．若设乙同学的速度是，则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11．某新能源汽车制造厂采用高度自动化的机器人装配技术系统以提高生产效率，平均每小时比技术升级前多装配50辆汽车．现在装配1000辆汽车所需的时间与技术升级前装配800辆汽车所需的时间相同，设技术升级前每小时装配辆汽车，可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
12．若关于的方程有解，则的取值范围是（ ）
A．或 B．或
C．且 D．且
二、填空题
13．如图，与交于点E，点G在直线上，，，，下列四个结论：①；②；③；④．其中错误的结论是 （填序号）．
14．如图，，．、的角平分线交于点P，若，点E为射线上的一个动点，过点E作交射线于点F，连接．已知，则的度数为 ．
15．已知关于、的方程组的解满足，则的值是 ．
16．若关于的二元一次方程组的解是，则关于的二元一次方程组的解是 ．
17．若是一个完全平方式，则 ．
18．我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算术》中提出下表，此表揭示了（为非负整数）展开式的各项系数的规律，例如：
；它只有一项，系数为；
，它有两项，系数分别为，；
，它有三项，系数分别为，，；
，它有四项；系数分别为，，，；
根据以上规律，展开式各项系数的和等于 ．
19．已知代数式的值为3，则代数式的值为 ．
20．如图，小敏同学在计算机软件上设计一个图案，画一个正方形覆盖在正方形的右下方，使其重叠部分是长方形，面积记为，两个较浅颜色的四边形都是正方形，面积分别记为，．已知，，且，则 ．
21．若，则 ．
22．对于正数，规定，例如，则的值是 ．
三、解答题
23．综合与实践
筷子，古称“箸”，是华夏饮食文化的标志之一，也是我们日常生活中的常用餐具，现代人用筷子的方式方法都不相同，但正确的抓握方法能让筷子更加灵活地操作，也符合餐桌礼仪的要求．某校数学兴趣小组开展了以“筷子的抓法”为主题的数学实践活动．
(1)图1为“五指凌乱式”的抓法及示意图，交于点O，，垂足为点O，．则 的度数为 ．
(2)图2为“传统的筷子”抓法及其示意图，，F为上一点，射线与交于点I，射线交于点E．
① ；
②若，与所在的直线存在什么位置关系？请说明理由．
(3)图3为“丁字型”抓法及示意图，，射线交于点M，交于点E，与 交于点G，射线交于点H．（温馨提示：小学就知道三角形内角和是180）
①若，则 ；
②若，当，垂足为点G时，请直接写出x，y，z的数量关系．
24．如图1，点为直线上一点，将一副三角板如图摆放，其中两锐角顶点放在点处，直角边，分别在射线，上，且，．
(1)将图1中的三角板绕点按逆时针方向旋转至图2的位置，使得落在射线上，此时三角板旋转的角度为___________度．
(2)继续将图2中的三角板绕点按逆时针方向旋转至图3的位置，使得在的内部，试探究与之间满足什么等量关系，并说明理由．
(3)在上述直角三角板从图1旋转到图3的位置的过程中，若三角板绕点按每秒的速度旋转，当直角三角板的边所在的直线恰好平行于直角三角板的一边时，直接写出此时三角板绕点的运动时间的值．
25．综合与探究
【问题情境】数学课上，李老师出示了这样一道题：
如图1，，点，分别在，上，点为直线上方一点，连接，，探究，与之间的数量关系．
经过思考后，勤奋小组交流了自己的想法：
勤奋小组：如图2，通过作，发现，，由此即可求出，与之间的数量关系．
【解决问题】
（1）请你根据勤奋小组的思路，探究，与之间的数量关系．
【迁移探究】
（2）听完勤奋小组的想法，创新小组突发奇想：如图3，当点在直线的下方，且在点的右侧时，（1）中的结论是否仍然成立？请帮助创新小组说明理由．
【拓展探究】
（3）如图4，，点，分别在，上，点是直线，之间一点，，平分，平分，与交于点，请直接写出的度数．
26．阅读材料并回答问题：
问题情境：
（1）如图1，，，，求度数．
小明的思路是：过作，通过平行线性质来求．
按小明的思路，易求得的度数为________度．
问题迁移：
（2）如图2，，点在射线上运动，记，．
①当点在、两点之间运动时，请直接写出与，之间的数量关系；
②如果点在、两点外侧运动时（点与点、、三点不重合），请直接写出与，之间的数量关系．
问题解决：
（3）图3为北斗七星的位置图，将其抽象成图4，其中北斗七星分别标为、、、、、、，将、、、、、、顺次连接，天文小组发现若恰好经过点，且，，，那么与有什么关系？请说明理由．
27．已知直线，点、分别是直线和上的两点，点为直线和之间的一点，连接、．
(1)如图1，若，试说明；
(2)如图2，在（1）的结论下，点是直线下方一点，满足平分，平分．若，求的度数；
(3)如图3，点是直线上方一点，连结、，若点为线段上一点，的延长线为的三等分线，平分，，则_________．
28．如图1，在平面直角坐标系中，，，且满足，过作轴于．
(1)求的坐标．
(2)如图2，若过作交轴于，且分别平分，求的度数，并说明理由
(3)若交轴于点，在坐标轴上是否存在点，使得三角形的面积是三角形的面积的2倍，若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由．
29．【知识初探】
（1）王芳同学在探究“过直线外一点画已知直线的平行线”的活动中，通过如下的折纸方式找到了符合要求的直线．
①如图1，在正方形纸上画出一条直线，在外取一点P．过点P折叠纸片，使得点C的对应点落在直线上（如图2），记折痕与的交点为A，将纸片展开铺平；
②再过点P将纸片进行折叠，使得点E的对应点落在直线上（如图3），再将纸片展开铺平（如图4）．此时王芳说，就是的平行线．
王芳同学只写了部分证明过程就有事离开，请你帮她把证明过程补充完整；
证明：由折叠可知：
又∵
∴
……
【深入探究】（2）李明同学在王芳同学折纸（图4）中量得，请你求出的大小（用含的代数式表示）；
【拓展延伸】（3）王伟同学改变直线和点P的位置，按照王芳同学的方法折叠得到后（点B，C，K，F分别在线段上），再画出和的角平分线所在的直线交于点G，请求出的度数．
30．如图，已知是直线，间的一点，于点，交于点， ．
(1) ．
(2)如图2，射线从出发，以每秒的速度绕点按逆时针方向旋转，当垂直时，立刻按原速返回至后停止运动；射线从出发，以每秒的速度绕点按逆时针方向旋转至后停止运动，若射线，射线同时开始运动，设运动时间为秒．
①当时，请求出的度数；
②当时，请求出的值．
31．【材料阅读】
材料一；如图，某数学兴趣小组的同学们在学习平行线的过程中，他们发现一个点与一组平行线的位置关系有多种多样：
材料二：在研究的过程中同学们总结出：可以先过某一点作已知直线的平行线，再将角进行拆分或重组从而解决问题．
为此，老师给出如下问题：如图①，，，交于点，交于点．请判断与有怎样的数量关系．
如图②，明明同学通过在点处作，利用平行线的性质实现了角的转移，进而解决了问题；
如图③，欣欣同学受到了明明方法的启发，另辟蹊径，在点处作，同样也有着异曲同工之妙．
【问题解决】
（1）请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程；
【类比运用】
（2）如图④，，反向延长的平分线，交直线于点，点在直线上，连接，若，，求的度数；
【变式探究】
（3）如图⑤，平分，且，求的度数．
32．如图，已知，、分别在、上，点在、之间，连接、．
(1)当，平分，平分时：
①如图，若，则的度数为______，则的度数为 ；
②如图，在的下方有一点，平分，平分，求的度数；
(2)如图，在的上方有一点，若平分．线段的延长线平分，则当时，请直接写出与的数量关系．
33．某广告公司要利用长为240cm、宽为40cm的板裁切甲、乙两种广告牌，已知甲广告牌尺寸为，乙广告牌尺寸为．
(1)若该广告公司用1块板裁切出的甲广告牌的数量是乙广告牌的数量的3倍，在不造成板材浪费的前提下，求此时裁切出的甲、乙广告牌的数量；
(2)求1块板的所有无浪费裁切方案；
(3)现需要甲、乙两种广告牌各500块，该公司仓库已有488块乙广告牌，还需要购买该型号板材多少块（恰好全部用完）？写出购买数量，并说明如何裁切．
34．已知满足求和的值．仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，可以通过适当变形，整体求得代数式的值，如由可得，由可得．这种方法利用了“整体思想”．请你利用“整体思想”，解决下列问题：
(1)已知二元一次方程组，则_______，_______；
(2)买5支铅笔，2块橡皮，1本日记本共需35元，买4支铅笔，3块橡皮，2本日记本共需47元，求购买11支铅笔，3块橡皮，1本日记本共需多少元．
35．某铁件加工厂用如图1所示的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相等）．加工成如图2所示的竖式与横式两种无盖的长方体铁容器．（加工时接缝材料不计）
(1)如果加工竖式铁容器与横式铁容器各1个，则共需要长方形铁片______张，正方形铁片______张；
(2)现有长方形铁片100张，正方形铁片50张，如果加工成这两种铁容器，刚好铁片全部用完，那加工的竖式铁容器、横式铁容器各有多少个？
(3)把长方体铁容器加盖则可以加工成为铁盒．现准备用33张铁板先做成长方形铁片和正方形铁片，再加工成铁盒，每张铁板有两种裁法：
方法1：可以裁出3个长方形铁片；
方法2：可以裁出4个正方形铁片．
若充分利用这些铁板加工成铁盒，则可以加工成多少个铁盒？
36．杆秤是我国度量衡“三大件（尺、斗、秤）”的重要组成部分，是中华民族衡重的基本工具．杆秤依据杠杆原理制作而成，一般由秤钩（秤盘）、秤杆和秤砣三部分组成，秤杆上的刻度叫做“秤星”，古时候秤杆叫做“权”，秤砣叫做“衡”，“权衡”一词就来源于此．
如图1是小阳同学利用自制杆秤称重的示意图，使用时将货物放在秤盘上，用手提起（相当于支点）处的秤纽，在秤杆上移动秤砣的位置，当秤杆水平平衡时，设秤盘和货物的总质量为，秤砣的质量为，当秤杆平衡时，有，可根据秤砣在秤杆上的位置读出货物的质量．如图2所示，称量货物甲时，秤砣在处秤杆平衡，此时可读出货物甲的质量是；如图3所示，称量货物乙时，秤砣在处秤杆平衡，此时可读出货物乙的质量是．根据图中所给数据，回答下列问题：
(1)分别求出秤盘和秤砣的质量；
(2)求这把杆秤的秤星对应的刻度是多少克．
37．已知关于x，y的二元一次方程组，甲由于看错了方程组中的a，得到的方程组的解为，乙由于看错了b，得到方程组的解为．
(1)求a，b的值；
(2)求方程组的正确解．
38．每年的4月23日是世界读书日，某校为响应“全民阅读”的号召，计划购入A，B两种规格的书柜用于放置图书．经市场调查发现：若购买A种书柜3个，B种书柜4个，共需资金1700元；若购买A种书柜4个，B种书柜3个，共需资金1800元．
(1)A，B两种规格书柜的单价分别是多少元？
(2)若该校准备用2000元购买两种书柜（要求既有购买A种书柜，又有购买B种书柜，且资金2000元须全部用完），请求出所有可能的购买方案．
39．观察以下等式．
第1个等式：．
第2个等式：．
第3个等式：．
第4个等式：．
……
按照以上规律，解答下列问题．
(1)写出第5个等式：________________．
(2)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明．
40．如图所示：从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形，然后将剩余部分拼成一个长方形．
(1)上述操作能验证的等式是 ．
A． B． C．
(2)已知，，则 ．
(3)应用所得的公式计算：
(4)应用所得的公式计算：
41．阅读理解．
已知，求的值．
解：由，可得．
整理得，
，得．
请仿照上述方法，完成下列问题：
(1)已知，求的值．
(2)已知，求的值．
42．【课本再现】我国南宋数学家杨辉在他年的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”．如图，此图揭示了（为非负整数）、展开式的项数及各项系数的一些相关规律．
如果将（为非负整数）的每一项按字母的次数由大到小排列，就可以得到以下等式：
，它只有一项，系数为；
，它有两项，系数分别为，；
，它有三项，系数分别为，，；
，它有四项，系数分别为，，，；
请你根据以上信息解答下列问题：
【探索发现】你能根据以上数表得到的展开式吗 并利用多项式乘法法则验证你的结果是否正确；
【拓展探究】的展开式共有______项，系数和为______；
【实践应用】请你利用以上规律计算：
43．【阅读理解】
题目：若，求的值．
解：观察发现，与中的与互为相反数， 所以我们不妨设，． ，． ，， ．
我们把这种方法叫做换元法，利用换元法达到简化计算的目的，体现了转化的数学思想．
【理解应用】
（1）若，则__________．
（2）若满足，求的值．
【拓展应用】
如图，在中，，，点是边上的点，在边上取一点，使，设．分别以、为边在外部作正方形和正方形，连结．若，的面积为，直接写出正方形和正方形的面积和．
44．已知．
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求的值
45．【知识呈现】
我们可把中的“”看成一个字母a，使这个代数式简化为，“整体思想”是中学教学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛，在数学中，常常用这样的方法把复杂的问题转化为简单问题．
【解决问题】
（1）上面【知识呈现】中的问题的化简结果为_____；（用含的式子表示）
（2）若代数式的值为4，则代数式的值为______；
【灵活运用】应用【知识呈现】中的方法解答下列问题：
（3）已知，的值为最大的负整数，求的值．
46．阅读材料：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法．配方法基本形式是完全平方公式的逆用，即：．例如：．
的最小值为3
请根据阅读材料解决下列问题：
(1)，求的值；
(2)已知，求的值；
(3)仿照材料，当x，y为何值时，代数式取得取小值，最小值为多少？
47．为了助力乡村振兴，某乡镇政府计划对一条长3000米的乡村道路进行改造．
(1)该工程原计划由甲队单独施工，工期为160天．刚开始每天施工16米，施工一段时后，甲队改进技术，施工效率提高了25％，刚好按时完工，则技术改造前甲队施工了多少天．
(2)由于工期需要，该工程决定由甲、乙两队共同完成，通过工程招标，甲队获得了1800米的改造工程，乙队获得了1200米的改造工程．甲、乙两队同时开始施工，甲队每天比乙队多施工20％，结果甲队比乙队晚20天完成任务．求乙队平均每天施工的米数．
48．宇树公司设计的人形机器人亮相2025年春节联欢晚会后爆火，并带动整个人形机器人行业的畅销．某快递公司采用，两种型号的数控机器人分拣快递．已知型数控机器人每小时分拣快递件数是型数控机器人每小时分拣快递件数的1.5倍．一项分拣600件快递的任务中，一台型数控机器人分拣了420件后，由一台型数控机器人接力分拣，该任务共花费9小时完成．
(1)两种数控机器人每小时分别分拣多少件快递？
(2)“五一”期间，快递公司的业务量猛增，已知两种机器人每天的工作时长均为8小时，若要使其刚好分拣完成5760件快递，且两种机器人都要参与分拣，那么两种机器人分别安排多少台才能分拣完成？
49．如果两个分式M与N的和为常数k，且k为正整数，则称M与N互为“和整分式”，常数k称为“和整值”，如分式，，．则M与N互为“和整分式”，“和整值”．
(1)已知分式，，判断A与B是否互为“和整分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“和整值”k；
(2)已知分式，，C与D互为“和整分式”，且“和整值”，求G．
50．“一年一端午，一岁一安康”！端午节，是我国首个入选《人类非物质文化遗产代表作名录》的节日人们在端午节．这一天有吃“粽子”的传统，也寓意“祈福高中”．某班家委会妈妈们准备提前给孩子们预定“牛肉霸王粽”和“蛋黄板栗粽”两款粽子若干个．已知“牛肉霸王粽”的单价比“蛋黄板栗粽”的单价贵5元，2个“牛肉霸王粽”和3个“蛋黄板栗粽”总售价85元．
(1)请计算出“牛肉霸王粽”和“蛋黄板栗粽”单价分别是多少元？
(2)实际购买时，商家正在对这两款粽子进行促销活动，它们的单价都下降了，降价后的“牛肉霸王粽”的单价比“蛋黄板栗粽”的单价贵3元（两款粽子的单价均不低于10元）．妈妈们450元购买的“牛肉霸王粽”数量恰好比240元购买的“蛋黄板栗粽”数量多了10个，那么实际购买“牛肉霸王粽”和“蛋黄板栗粽”各多少个？
51．2025年4月23日是第30个“世界读书日”，通过倡导阅读习惯和版权意识，支持创造力与多样性，提供平等获取知识的机会，推进科学知识和教育资源的开放获取．“世界读书日”前夕，某书城购进、两种畅销书籍，共花费3700元．已知每本种书籍的进价为25元，每本种书籍的进价为40元，其中购进的种书籍的数量比种书籍数量的2倍多4本．
(1)求、两种书籍分别购进多少本？
(2)该书城在“世界读书日”当天售出、两种书籍共63本，总销售额为2340元，其中种书籍的销售额是1200元，已知每本种书籍的售价是每本种书籍售价的1.6倍，求每本种书籍的售价是多少元？
52．某班数学“综合与实践”小组为了解本校名学生的阅读时间，随机抽取部分学生进行了问卷调查，并根据调查结果绘制了两幅统计图，根据统计图解答下列问题：
每周阅读时间的调查表以下问题为单选题，根据实际情况填写． 问题：你每周阅读的时间大约是（ ） ．小时及以上 ．小时 ．小时 ．小时
(1)参与本次问卷调查的学生共有________人，扇形统计图中的值是________；
(2)请将条形统计图补充完整；
(3)根据抽样调查结果，请你估计该校名学生中，每周阅读时间在小时及以上的人数．
53．自2025年1月15日正式上线以来，全社会不断在加深对的了解，不断在深化与的合作．我校组织七年级学生进行“与对话”知识竞赛，老师随机抽取了部分学生的成绩（得分为整数，满分100分）、整理后绘制成如图所示的不完整的频数分布表、频数分布直方图和扇形统计图：
频数分布表
分组 频数 频率
2 0.05
10 m
12 0.3
合计 1
请根据上述图表提供的信息，完成下列问题：
(1)补全成绩频数分布直方图；
(2)____，扇形统计图中“D”所占的圆心角度数为_____度；
(3)若我校七年级共有1500名学生，请估计竞赛成绩不低于80分的学生有多少人？
54．某学校从九年级500名学生中随机抽取部分学生进行英语听力测试（测试满分100分，得分x均为不小于60的整数），并将测试成绩分为四个等级：，，制作了如图统计图（部分信息来给出）．
由图中给出的信息解答下列问题：
(1)求测试成绩属C等级的学生人数，并补全频数分布直方图．
(2)求扇形统计图中B等级所对应的扇形圆心角的度数．
(3)如果该校九年级学生都参加测试，请你根据抽样测试的结果，估计该校九年级听力成绩获得D等级的学生有多少人？
55．为了强化学生的法律意识，某校开展了“法律伴我行”知识竞赛活动．为了解此次知识竞赛成绩的情况，随机抽取了部分参赛学生的成绩（用表示，满分100分），分成A，B，C，D四组，整理并绘制成如下不完整的统计图表．
组别 成绩x/分 频数
A 6
B m
C 16
D 8
(1)求统计表中的值，并补全频数分布直方图；
(2)求扇形统计图中的度数；
(3)若成绩在80分以上（含80分）的为“优秀”，求这部分参赛学生的优秀率．/ 让教学更有效 精品试卷 | 数学学科
期末复习压轴特训
一、单选题
1．如图，长方形中，，第一次平移长方形沿的方向向右平移个单位，得到长方形，第次平移将长方形沿的方向向右平移个单位，得到长方形 ，第次平移将长方形沿的方向平移个单位，得到长方形，若的长度为，则的值为（ ）
A．403 B．404 C．405 D．406
【答案】A
【分析】此题主要考查了平移的性质以及一元一次方程的应用，根据平移的性质得出平移间距离的规律是解题关键．
根据平移的性质得出，，，进而求出和的长，然后根据所求得出数字变化规律，进而得出求出n即可．
【详解】解： ，第1次平移将长方形沿的方向向右平移5个单位，得到长方形，第2次平移将长方形沿的方向向右平移5个单位，得到长方形…
，，，
，
的长为：；
，，
，
解得：．
故选：A．
2．对定义一种新运算T，规定：（其中均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算．例如，若，，则下列结论正确的个数为( )
（1）；（2）若，则；（3）若，则有且仅有1组整数解；（4）若对任意有理数都成立，则．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，正确理解题目所给的新定义是解题的关键．
由题意联立方程组，求出、的值，即可确定（1）正确；由已知，得到，求出即可确定（2）正确；根据中、为整数，可求、的值，从而确定（3）不正确；由题意列出方程，得到，由对任意有理数、都成立，则，即可 确定（4）不正确．
【详解】解：∵，，
∴，
解得，故（1）正确；
∵，
∴，
∵，
∴，故（2）正确；
∵m、n都是整数，
∴或或，
∴或或或或0或，
∴满足m、n都是整数值的有，
故（3）错误；
∵，
∴，
∴，
∴，
∵对任意有理数、都成立，
∴，故（4）错误．
故选B．
3．我国古代数学著作《算法统宗》中记载了这样一道题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺．绳长、井深各几何？其大意为：用绳子测量井的深度，如果将绳子折成三等份，则一份绳长比井深多4尺，如果将绳子折成四等份，则一份绳长比井深多1尺，则绳长、井深各是多少尺？若设绳长x尺，井深y尺，则下列所列方程组正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，设绳长x尺，井深y尺，根据将绳子折成三等份，则一份绳长比井深多4尺可得方程，根据将绳子折成四等份，则一份绳长比井深多1尺可得方程，据此列出方程组即可．
【详解】解：由题意得，，
故选：C．
4．幻方起源于中国，是我国古代数学的杰作之一，“洛书”是我国文化中最古老、最神秘的事物之一．图即洛书，数出图中各处的圆圈和圆点个数，并按照图中的顺序把它们填入正方形方格中，就得到一个幻方（如图），在图的幻方中，每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字之和都相等，则的立方根是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了三元一次方程组的应用，解决本题的关键是根据幻方中，每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字之和都相等，列出方程组，解方程组求出、的值，再把出、的值代入计算即可．
【详解】解：如下图所示，
设中间小方格中的数是，
则有，
解得：，
，
，
的立方根是．
故选：C．
5．已知，则代数式的值为（　　）
A．1 B． C．5 D．
【答案】B
【分析】本题考查了单项式乘以单项式的化简求值，熟练掌握整式的化简求值是解题的关键．将整理得，然后代入化简后的代数式计算即可．
【详解】解：，
∴，
∴
．
故选：B．
6．若，，则M，N的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了因式分解，利用作差法，将计算的结果进行因式分解，即可解答，熟练进行因式分解是解题的关键．
【详解】解：，
，
故选：B．
7．若，则的值为（ ）
A． B． C． D．12
【答案】A
【分析】本题主要考查了因式分解的应用，把所求式子先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式，最后利用整体代入法求解即可．
【详解】解：∵，
∴
，
故选：A．
8．若关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
【答案】D
【分析】本题考查根据分式方程的解的情况求参数的范围，先求出方程的解，根据解为非负数，结合分式有意义的条件，得到关于的不等式组，进行求解即可．
【详解】解：解，得：，
∵分式方程的解为非负数，且，
∴且，
∴且；
故选D．
9．已知关于x的方程的解是负数，则的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．或
【答案】C
【分析】本题考查了分式方程的求解和解不等式等知识，正确理解题意、熟练掌握分式方程的解法是根据． 方程去分母化为整式方程，求得，再根据方程的解是负数，，可得，且，即可求解；
【详解】解：去分母得，，
方程的解是负数，
，
解得：
，
的取值范围是且．
故选：C．
10．某市开展“悦读书，与心共鸣”读书活动，甲、乙两位同学分别从距离活动地点和的两地同时出发，参加活动．甲同学的速度是乙同学的1.1倍，乙同学比甲同学提前到达活动地点．若设乙同学的速度是，则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键；
设乙同学的速度是，则甲同学的速度为，然后分别表示行驶的时间，最后由“乙同学比甲同学提前到达活动地点”建立方程即可．
【详解】解：设乙同学的速度是，则甲同学的速度为，根据题意得：
故答案为：A．
11．某新能源汽车制造厂采用高度自动化的机器人装配技术系统以提高生产效率，平均每小时比技术升级前多装配50辆汽车．现在装配1000辆汽车所需的时间与技术升级前装配800辆汽车所需的时间相同，设技术升级前每小时装配辆汽车，可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
设技术升级前每小时装配辆汽车，根据工作时间=工作总量÷工作效率结合“现在装配1000辆汽车所需的时间与技术升级前装配800辆汽车所需的时间相同”，即可得出关于 的分式方程，此题得解．
【详解】解：设技术升级前每小时装配辆汽车，则升级后每小时装配辆汽车，
由题意可得，
故选：A．
12．若关于的方程有解，则的取值范围是（ ）
A．或 B．或
C．且 D．且
【答案】C
【分析】本题考查解分式方程．根据分式的求解步骤求解，再根据解的结果求值即可．
【详解】解：，
方程两边同乘得，
去括号、移项、合并同类项得，
∵关于的方程有解，
∴且且，解得且，
故选：C．
二、填空题
13．如图，与交于点E，点G在直线上，，，，下列四个结论：①；②；③；④．其中错误的结论是 （填序号）．
【答案】①②④
【分析】本题主要考查了根据平行线的判定以及性质，角度的相关计算．由已知条件可得出，过点H作，由平行线的性质可得出②，设，则，，可判断③④．
【详解】解：∵，
∴，
∴①正确；
过点H作，
∵，
∴，
∴，，
∴，
即，
∵，
∴，
即，
∴②正确．
设，则，，
由②知，
作，
，
，
∴，无法判断是否为，
∴③错误；
∴，
∴④正确．
综上所述，正确答案为①②④．
故答案为：①②④．
14．如图，，．、的角平分线交于点P，若，点E为射线上的一个动点，过点E作交射线于点F，连接．已知，则的度数为 ．
【答案】或
【分析】本题考查了利用平行线的性质求角度，角平分线的计算，角的和差计算，难度较大，解题的关键在于分类讨论．
过点作，过点作，先求出，，，，再分类讨论，当点在点的左侧时；当点在点的右侧时，利用平行线性质和角的和差计算求解．
【详解】解：过点作，过点作，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵、的角平分线交于点P，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，
，
，
∵
，，
，
当点在点的左侧时，如图，
则，
，
当点在点的右侧时，如图，
则，
，
综上，的读数为或，
故答案为：或．
15．已知关于、的方程组的解满足，则的值是 ．
【答案】2
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，确定字母与方程组的解之间的关系是解题的关键．
结合方程组用含有k的代数式表示出，再代入关系式，求出解即可．
【详解】解：，
，得，
即．
因为，
所以，
解得．
故答案为：2．
16．若关于的二元一次方程组的解是，则关于的二元一次方程组的解是 ．
【答案】
【分析】本题考查了二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解，也考查了解二元一次方程组．二元一次方程组的解看成，解出x，y即可．
【详解】解：∵二元一次方程组的解是，
∴把关于二元一次方程组看作关于和 的二元一次方程组，
∴，
解得：，
则二元一次方程组的解是，
故答案为：
17．若是一个完全平方式，则 ．
【答案】
【分析】该题考查了完全平方公式，根据完全平方公式解答即可．
【详解】解：因为是一个完全平方式，
所以，
所以．
故答案为：．
18．我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算术》中提出下表，此表揭示了（为非负整数）展开式的各项系数的规律，例如：
；它只有一项，系数为；
，它有两项，系数分别为，；
，它有三项，系数分别为，，；
，它有四项；系数分别为，，，；
根据以上规律，展开式各项系数的和等于 ．
【答案】
【分析】此题考查完全平方公式的应用，能根据已知算式得出规律是解题的关键．根据已知算式得出规律，再求出即可．
【详解】解：由题意可得：
，
，
，
∴，
故答案为：．
19．已知代数式的值为3，则代数式的值为 ．
【答案】9
【分析】本题考查了求代数式的值，完全平方公式的应用，由题意可得，再将整体代入所求式子，结合完全平方公式计算即可得解．
【详解】解：∵代数式的值为3，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
20．如图，小敏同学在计算机软件上设计一个图案，画一个正方形覆盖在正方形的右下方，使其重叠部分是长方形，面积记为，两个较浅颜色的四边形都是正方形，面积分别记为，．已知，，且，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了完全平方公式与几何图形的面积，根据正方形的性质，可得，设，则，即得，，进而得到，再利用可求得，据此即可求解，掌握完全平方公式的运用是解题的关键．
【详解】解：∵正方形，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
设，则，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
21．若，则 ．
【答案】5
【分析】本题考查分式的求值，完全平方公式的应用，利用完全平方公式可得，即可求解．
【详解】解：，
，即，
．
故答案为：．
22．对于正数，规定，例如，则的值是 ．
【答案】/
【分析】本题主要考查了运算的规律、分式的混合运算等知识点，发现的规律成为解题的关键．
先发现，然后代入化简求解即可．
【详解】解：∵，
∴，，
∴，
∴
，
故答案为：．
三、解答题
23．综合与实践
筷子，古称“箸”，是华夏饮食文化的标志之一，也是我们日常生活中的常用餐具，现代人用筷子的方式方法都不相同，但正确的抓握方法能让筷子更加灵活地操作，也符合餐桌礼仪的要求．某校数学兴趣小组开展了以“筷子的抓法”为主题的数学实践活动．
(1)图1为“五指凌乱式”的抓法及示意图，交于点O，，垂足为点O，．则 的度数为 ．
(2)图2为“传统的筷子”抓法及其示意图，，F为上一点，射线与交于点I，射线交于点E．
① ；
②若，与所在的直线存在什么位置关系？请说明理由．
(3)图3为“丁字型”抓法及示意图，，射线交于点M，交于点E，与 交于点G，射线交于点H．（温馨提示：小学就知道三角形内角和是180）
①若，则 ；
②若，当，垂足为点G时，请直接写出x，y，z的数量关系．
【答案】(1)
(2)①；②，见解析
(3)①；②
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，解题关键是熟练运用平行线的性质与判定和三角形内角和进行计算与证明；
（1）根据邻补角的性质得出，再根据垂直的定义得出即可；
（2）①根据两直线平行，同旁内角互补证明即可；②根据内错角相等，两直线平行证明即可；
（3）①根据两直线平行，同旁内角互补和三角形内角和定理求解即可；②根据平行线的性质和三角形内角和定理证明即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
（2）解：①∵，
∴，
∴，
即，
故答案为：；
②；
证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
（3）解：①∵，
∴
∵
∴
∵，
∴，
故答案为：；
②∵，
由①可知，
，
∵，
∴，即，
∵，
∴
∴．
24．如图1，点为直线上一点，将一副三角板如图摆放，其中两锐角顶点放在点处，直角边，分别在射线，上，且，．
(1)将图1中的三角板绕点按逆时针方向旋转至图2的位置，使得落在射线上，此时三角板旋转的角度为___________度．
(2)继续将图2中的三角板绕点按逆时针方向旋转至图3的位置，使得在的内部，试探究与之间满足什么等量关系，并说明理由．
(3)在上述直角三角板从图1旋转到图3的位置的过程中，若三角板绕点按每秒的速度旋转，当直角三角板的边所在的直线恰好平行于直角三角板的一边时，直接写出此时三角板绕点的运动时间的值．
【答案】(1)
(2)，理由见解析
(3)的值为或或或或
【分析】本题考查了旋转的性质，平行线的性质，解题的关键是分类讨论．
（1）根据的度数就是旋转的角度求解即可；
（2）由图3可知，，，则可求解；
（3）分情况讨论：①当时；②当时；③当时；④当时；分别求出旋转的度数，再除以旋转速度便可得时间．
【详解】（1）解： ，
落在射线上时，旋转的角度是，
三角板旋转的角度为，
故答案为：；
（2），理由如下：
由图3可知，，，
，
即；
（3）①当时，或，
或；
②当时，，
；
③当时，，
，
；
④当时，，
；
综上所述，的值为或或或或．
25．综合与探究
【问题情境】数学课上，李老师出示了这样一道题：
如图1，，点，分别在，上，点为直线上方一点，连接，，探究，与之间的数量关系．
经过思考后，勤奋小组交流了自己的想法：
勤奋小组：如图2，通过作，发现，，由此即可求出，与之间的数量关系．
【解决问题】
（1）请你根据勤奋小组的思路，探究，与之间的数量关系．
【迁移探究】
（2）听完勤奋小组的想法，创新小组突发奇想：如图3，当点在直线的下方，且在点的右侧时，（1）中的结论是否仍然成立？请帮助创新小组说明理由．
【拓展探究】
（3）如图4，，点，分别在，上，点是直线，之间一点，，平分，平分，与交于点，请直接写出的度数．
【答案】（1），见解析；（2）不成立，见解析；（3）
【分析】本题考查了平行线的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键．
（1）利用平行线的性质即可解答；
（2）作，利用平行线的性质即可解答；
（3）过点作，利用平行线的性质和角平分线的计算即可解答．
【详解】（1），，
，
，，
；
（2）不成立，理由如下：
如图，作，
，，
，
，，
，即；
（3）如图，过点作，
，
，
，
，
，
平分，平分，
，
在四边形中，．
26．阅读材料并回答问题：
问题情境：
（1）如图1，，，，求度数．
小明的思路是：过作，通过平行线性质来求．
按小明的思路，易求得的度数为________度．
问题迁移：
（2）如图2，，点在射线上运动，记，．
①当点在、两点之间运动时，请直接写出与，之间的数量关系；
②如果点在、两点外侧运动时（点与点、、三点不重合），请直接写出与，之间的数量关系．
问题解决：
（3）图3为北斗七星的位置图，将其抽象成图4，其中北斗七星分别标为、、、、、、，将、、、、、、顺次连接，天文小组发现若恰好经过点，且，，，那么与有什么关系？请说明理由．
【答案】（1）（2）①②（3）
【分析】本题主要考查了平行线的性质，角的和差，解题的关键是作辅助线，利用平行线的性质求解．
（1）过作，利用平行线的传递性和两直线平行内错角相等即可求解；
（2）①过点作，利用平行线的传递性和两直线平行内错角相等即可求解；
②分情况进行讨论，当点在点左侧时和在点右侧时，过点作，利用平行线的传递性和两直线平行内错角相等可求解，最后综合表示即可；
（3）过点作，假设，利用平行线的传递性和两直线平行内错角相等，表示出相关的角，最后利用角的和差即可求解．
【详解】解：（1）过作，
∵，
∴，
∴，
，
∴,
故答案为：；
（2）①如图所示，过点作，
∵，
∴，
，
；
②如图所示，当点在点左侧时，过点作，
∵，
∴，
，
；
如图所示，当点在点右侧时，过点作，
∵，
∴，
，
；
综上，；
（3）∵，
∴在同一条直线上，
如图，过点作，假设，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
即，
∴．
27．已知直线，点、分别是直线和上的两点，点为直线和之间的一点，连接、．
(1)如图1，若，试说明；
(2)如图2，在（1）的结论下，点是直线下方一点，满足平分，平分．若，求的度数；
(3)如图3，点是直线上方一点，连结、，若点为线段上一点，的延长线为的三等分线，平分，，则_________．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)或
【分析】本题考查了平行线的性质，准确识图、熟练掌握平行线的性质是解决问题的关键．
（1）过点作，证明，得，，则，即可得出结论；
（2）过点作，先求出，根据平分，设，得，则，由（1）的结论得，即可求解；
（3）设点在的延长线上，过点作，再分以下两种情况：①当时，设，根据平分，设，则，由（1）的结论得，得，，则，再根据即可求解；②当时，设，则，设，则，由（1）的结论得，同①得，根据，即可得出，综上所述即可得出答案．
【详解】（1）证明：过点作（点在点的左侧），如图所示：
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：过点作（点在点的左侧），如图所示：
∵平分，
∴，
∵平分，
设，
∵
∴，
∴，
∴，
由（1）的结论得：，
∴；
（3）解：设点在的延长线上，过点作（点在点的右侧），
∵的延长线为的三等分线，
有以下两种情况：
①当时，如图所示：
设，则，
∴，
∴，
∵平分，
设，
∴，
∴，
由（1）的结论得：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴；
②当时，如图所示：
设，则，
∴，
∵平分，
设，
∴，
∴，
由（1）的结论得：，
同①得：，
∵，
∴，
解得：，
∴．
综上所述：或．
故答案为：或．
28．如图1，在平面直角坐标系中，，，且满足，过作轴于．
(1)求的坐标．
(2)如图2，若过作交轴于，且分别平分，求的度数，并说明理由
(3)若交轴于点，在坐标轴上是否存在点，使得三角形的面积是三角形的面积的2倍，若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，，
(2)，理由见解析；
(3)点或或或，理由见解析
【分析】本题考查的是非负数的性质、三角形的面积计算、平行线的性质，掌握平行线的性质定理，正确作出辅助线，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
（1）根据非负数的性质分别求出、，得到、的长，根据三角形的面积公式计算，得到答案；
（2）作，根据平行线的性质、角平分线的定义计算即可；
（3）分类讨论，设出点的坐标，根据三角形的面积公式表示出，根据题意列出方程，解方程得到答案．
【详解】（1）解：∵，
，，
∴，，
∴，，
解得：，，
由题意知，
∴，，．
（2）解：过点作，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵、分别平分、，
∴，，
∴，
∴．
（3）解：存在，理由如下：
当在轴上时，如图中、，设，
则有，，，
，
∵，
∴，
∴，
解得或，
此时或；
当在轴上时，如图中、，设，
则有，，，到轴的距离等于的长，
∴
，
∴，
∴，
∴，
解得或，
此时或，
综上所述，点或或或.
29．【知识初探】
（1）王芳同学在探究“过直线外一点画已知直线的平行线”的活动中，通过如下的折纸方式找到了符合要求的直线．
①如图1，在正方形纸上画出一条直线，在外取一点P．过点P折叠纸片，使得点C的对应点落在直线上（如图2），记折痕与的交点为A，将纸片展开铺平；
②再过点P将纸片进行折叠，使得点E的对应点落在直线上（如图3），再将纸片展开铺平（如图4）．此时王芳说，就是的平行线．
王芳同学只写了部分证明过程就有事离开，请你帮她把证明过程补充完整；
证明：由折叠可知：
又∵
∴
……
【深入探究】（2）李明同学在王芳同学折纸（图4）中量得，请你求出的大小（用含的代数式表示）；
【拓展延伸】（3）王伟同学改变直线和点P的位置，按照王芳同学的方法折叠得到后（点B，C，K，F分别在线段上），再画出和的角平分线所在的直线交于点G，请求出的度数．
【答案】（1）见解析（2）（3）或
【分析】本题考查平行线的性质，与角平分线有关的计算，熟练掌握平行线的性质，是解题的关键：
（1）折叠推出，进而得到，即可得出结论；
（2）作，得到，推出，即可得出结果；
（3）分交点在的上方和下方，两种情况进行求解即可．
【详解】（1）证明：由折叠可知：
又∵
∴
同理，，
∴，
∴；
（2）作，则：，
∴，，
∴，
∵，（正方形的一个内角为90度），
∴；
（3）当点在直线的下方时，如图：过点作，则：，
∴，
∴，
∵分别平分和，
∴，
由（2）可知：，
∴；
当点在上方时，如图，作，则：，
则：，
∴，
∵分别平分和，
∴，
由（2）知：，
∴；
综上：或．
30．如图，已知是直线，间的一点，于点，交于点， ．
(1) ．
(2)如图2，射线从出发，以每秒的速度绕点按逆时针方向旋转，当垂直时，立刻按原速返回至后停止运动；射线从出发，以每秒的速度绕点按逆时针方向旋转至后停止运动，若射线，射线同时开始运动，设运动时间为秒．
①当时，请求出的度数；
②当时，请求出的值．
【答案】(1)
(2)①或；②或
【分析】本题考查了平行线的判定和性质以及一元一次方程的应用，正确理解题意、熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．
（1）过点P作，则，根据平行线的判定和性质以及垂直的定义可得，再利用角的和差即可求解；
（2）①当时，分两种情况，当在和之间，当在和之间，计算出的运动时间t，根据运动时间可计算出，由已知可计算出的度数；
②分四种情况：当、、与，根据平行线的性质列出方程求解即可．
【详解】（1）解：过点P作，则，
∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴；
（2）解：①当在和之间时，如图2，
∵，，
∴，
∴射线运动的时间秒，
∴射线旋转的角度，
又∵，
∴；
当在和之间时，如图3所示，
∵，，
∴，
∴射线ME运动的时间秒，
∴射线旋转的角度，
又∵，
∴；
∴的度数为或；
②当，即时，若，如图，
则，即，
解得：，不合题意，舍去；

当时，若，如图，
则，即，
解得：；

当时，若，如图，
则，即，
解得：；

当时，不存在互相平行的情况；
综上，当时，t的值是或．
31．【材料阅读】
材料一；如图，某数学兴趣小组的同学们在学习平行线的过程中，他们发现一个点与一组平行线的位置关系有多种多样：
材料二：在研究的过程中同学们总结出：可以先过某一点作已知直线的平行线，再将角进行拆分或重组从而解决问题．
为此，老师给出如下问题：如图①，，，交于点，交于点．请判断与有怎样的数量关系．
如图②，明明同学通过在点处作，利用平行线的性质实现了角的转移，进而解决了问题；
如图③，欣欣同学受到了明明方法的启发，另辟蹊径，在点处作，同样也有着异曲同工之妙．
【问题解决】
（1）请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程；
【类比运用】
（2）如图④，，反向延长的平分线，交直线于点，点在直线上，连接，若，，求的度数；
【变式探究】
（3）如图⑤，平分，且，求的度数．
【答案】（1）选择明明同学，过程见解析；（2）的度数为；（3）的度数为
【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质．
（1）选择明明同学，在点F处作，再由得，再由平行线的性质得，，，进而可得结论；
选择欣欣同学，过点Q作，交于点M，由平行线的性质分别得，，，再由可得结论；
（2）过点P作，进而得，由平行线的性质得，，再由角平分线的性质得，再得，最后由可得答案；
（3）过点P作，过点N作延长交于点A，进而得，由平行线的性质得，，即可得，根据已知推出，，再根据角平分线的性质推出，最后根据平行线的性质可得答案．
【详解】（1）解：选择明明同学，过程如下：
在点F处作，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
即；
选择欣欣同学，过程如下：
过点Q作，交于点M，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即；
（2）解：过点P作，
∵，
∴，
∴，，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
即的度数为；
（3）解：过点P作，过点N作延长交于点A，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
，即，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴
，
即的度数为．
32．如图，已知，、分别在、上，点在、之间，连接、．
(1)当，平分，平分时：
①如图，若，则的度数为______，则的度数为 ；
②如图，在的下方有一点，平分，平分，求的度数；
(2)如图，在的上方有一点，若平分．线段的延长线平分，则当时，请直接写出与的数量关系．
【答案】(1)①；；②；
(2)
【分析】本题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义，掌握平行线的性质是解题的关键．
（1）①如图，分别过点G、P作，根据平行线的性质、角平分线的定义求解即可；②如图，过点Q作，根据平行线的性质、角平分线的定义求解即可；
（2）如图，过点O作，则，设，可得，进而说明，根据平行线的性质求得，进而根据，得到．
【详解】（1）解：①如图，分别过点G、P作，
，
，
∴
，
，
同理可得: ，
∵，
∴，
∴，
∵平分平分；
，
∴．
②如图，过点Q作，
∵平分平分，
，，
设，
∵，，
∴，
，
∵，
，
，
，
，
由（1）可知，
∴．
（2）解：如图，在的上方有一点O，平分，线段的延长线平分，
设H为线段的延长线上一点，则，，
设，,，
如图，过点O作，则，
，，
，
，
由（1）可知：，
∵，
∴，即，
∴，
∵，，
∴．
33．某广告公司要利用长为240cm、宽为40cm的板裁切甲、乙两种广告牌，已知甲广告牌尺寸为，乙广告牌尺寸为．
(1)若该广告公司用1块板裁切出的甲广告牌的数量是乙广告牌的数量的3倍，在不造成板材浪费的前提下，求此时裁切出的甲、乙广告牌的数量；
(2)求1块板的所有无浪费裁切方案；
(3)现需要甲、乙两种广告牌各500块，该公司仓库已有488块乙广告牌，还需要购买该型号板材多少块（恰好全部用完）？写出购买数量，并说明如何裁切．
【答案】(1)裁切甲广告牌9块，乙广告牌3块
(2)有三种裁切方案：方案1：甲广告牌16块，乙广告牌0块；方案2：甲广告牌9块，乙广告牌3块；方案3：甲广告牌2块，乙广告牌6块
(3)需要购买该型号板材33张；裁切办法：用其中29张板材裁切甲广告牌464张，用4张板材裁切甲广告牌36张和乙广告牌12块；或者用其中31张板材裁切甲广告牌496块，用2张板材裁切甲广告牌4块和乙广告牌12块
【分析】本题考查二元一次方程组的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系，列出二元一次方程和二元一次方程组．
（1）根据“甲乙广告牌的尺寸”和“用1块板裁切出的甲广告牌的数量是乙广告牌的数量的3倍”，建立等量关系，列出二元一次方程求解即可；
（2）设一张该板裁切甲广告牌m块，乙广告牌n块，可得，求出非负整数解即可；
（3）根据题意，需裁切甲广告牌500块，乙广告牌块，且板材恰好全部用完，可分三种情况讨论，①单独采用方案3，直接列示求解即可得购买板材数量；②采用方案1和2相结合，设用x张板材裁切，每张裁切甲广告牌16块，用y张板材裁切，每张裁切甲广告牌9块和乙广告牌3块，可得二元一次方程组，解方程组可得答案；③采用方案1和3相结合，设用x张板材裁切，每张甲广告牌16块，用y张板材裁切，每张裁切甲广告牌2块和乙广告牌6块，同样的方法求解即可．最后对比即可得出结论．
【详解】（1）解：设裁切甲广告牌x块，乙广告牌y块，
依题意得：
解得
答：裁切甲广告牌9块，乙广告牌3块．
（2）解：设该板材裁切甲广告牌m块，乙广告牌n块，
根据题意得：
可得，
∵，为非负整数，
∴或或
答：有以下三种裁切方案：
方案1：甲广告牌16块，乙广告牌0块；
方案2：甲广告牌9块，乙广告牌3块；
方案3：甲广告牌2块，乙广告牌6块．
（3）解：①采用方案3，根据题意，得：
（张）
（张）
（张）
需要购买该型号板材252张，用其中250张板材裁切甲广告牌500块，用2张板材裁切乙广告牌12块．
②采用方案1和2相结合，设用x张板材裁切，每张裁切甲广告牌16块，用y张板材裁切，每张裁切甲广告牌9块和乙广告牌3块，
根据题意，得：
解得：
（张）
（张）
（张）
（张）
需要购买该型号板材33张，用其中29张板材裁切甲广告牌464张，用4张板材裁切甲广告牌36张，乙广告牌12块．
③采用方案1和3相结合，设用x张板材裁切，每张甲广告牌16块，用y张板材裁切，每张裁切甲广告牌2块和乙广告牌6块
根据题意,得：
解得：
（张）
（张）
（张）
（张）
需要购买该型号板材33张，用其中31张板材裁切甲广告牌496块，用2张板材裁切甲广告牌4块和乙广告牌12块．
综上，采用②③两种情况购买，需要购买该型号板材33张；裁切办法：用其中29张板材裁切甲广告牌464张，用4张板材裁切甲广告牌36张和乙广告牌12块；或者用其中31张板材裁切甲广告牌496块，用2张板材裁切甲广告牌4块和乙广告牌12块．
34．已知满足求和的值．仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，可以通过适当变形，整体求得代数式的值，如由可得，由可得．这种方法利用了“整体思想”．请你利用“整体思想”，解决下列问题：
(1)已知二元一次方程组，则_______，_______；
(2)买5支铅笔，2块橡皮，1本日记本共需35元，买4支铅笔，3块橡皮，2本日记本共需47元，求购买11支铅笔，3块橡皮，1本日记本共需多少元．
【答案】(1)，5
(2)共需58元
【分析】本题考查了二元一次方程组和三元一次方程组的应用，掌握整体思想解决问题是解题的关键．
（1）将两方程相减可求的值，将两方程相加可求的值；
（2）设每只铅笔x元，每块橡皮y元，每本日记z元，由题意列出方程组，即可求解．
【详解】（1）解：，
可得：；
可得：，
∴；
（2）解：设每只铅笔x元，每块橡皮y元，每本日记z元，
由题意可得：，
∴可得，
答：购买11支铅笔、3块橡皮、1本日记本共需58元．
35．某铁件加工厂用如图1所示的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相等）．加工成如图2所示的竖式与横式两种无盖的长方体铁容器．（加工时接缝材料不计）
(1)如果加工竖式铁容器与横式铁容器各1个，则共需要长方形铁片______张，正方形铁片______张；
(2)现有长方形铁片100张，正方形铁片50张，如果加工成这两种铁容器，刚好铁片全部用完，那加工的竖式铁容器、横式铁容器各有多少个？
(3)把长方体铁容器加盖则可以加工成为铁盒．现准备用33张铁板先做成长方形铁片和正方形铁片，再加工成铁盒，每张铁板有两种裁法：
方法1：可以裁出3个长方形铁片；
方法2：可以裁出4个正方形铁片．
若充分利用这些铁板加工成铁盒，则可以加工成多少个铁盒？
【答案】(1)7，3
(2)加工的竖式铁容器有10个，横式铁容器各有20个
(3)18个
【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，掌握解二元一次方程的方法是解题的关键．
（1）如图得加工1个竖式铁容器需要长方形铁片4张，正方形铁片1 张；加工1个横式铁容器需要长方形铁片3张，正方形铁片2 张，即可求解．
（2）设加工的竖式铁容器有x个，横式铁容器各有y个，根据题意列出方程组求解即可．
（3）设做长方形铁片的铁板m张，做正方形铁片的铁板n张，根据题意列出方程组求解即可．
【详解】（1）解：如图，加工1个竖式铁容器需要长方形铁片4张，正方形铁片1 张；加工1个横式铁容器需要长方形铁片3张，正方形铁片2 张．
故如果加工竖式铁容器与横式铁容器各 1 个，则共需要长方形铁片7张，正方形铁片3张，
故答案为：7，3；
（2）设加工的竖式铁容器有x个，横式铁容器各有y个，由题意得
解得
故加工的竖式铁容器有10个，横式铁容器各有20个；
（3）解：设做长方形铁片的铁板m张，做正方形铁片的铁板n张，由题意得
解得
∴在这33张铁板中，24张做长方形铁片可做（片），9张做正方形铁片可做（片），
∴可做铁盒（个）．
36．杆秤是我国度量衡“三大件（尺、斗、秤）”的重要组成部分，是中华民族衡重的基本工具．杆秤依据杠杆原理制作而成，一般由秤钩（秤盘）、秤杆和秤砣三部分组成，秤杆上的刻度叫做“秤星”，古时候秤杆叫做“权”，秤砣叫做“衡”，“权衡”一词就来源于此．
如图1是小阳同学利用自制杆秤称重的示意图，使用时将货物放在秤盘上，用手提起（相当于支点）处的秤纽，在秤杆上移动秤砣的位置，当秤杆水平平衡时，设秤盘和货物的总质量为，秤砣的质量为，当秤杆平衡时，有，可根据秤砣在秤杆上的位置读出货物的质量．如图2所示，称量货物甲时，秤砣在处秤杆平衡，此时可读出货物甲的质量是；如图3所示，称量货物乙时，秤砣在处秤杆平衡，此时可读出货物乙的质量是．根据图中所给数据，回答下列问题：
(1)分别求出秤盘和秤砣的质量；
(2)求这把杆秤的秤星对应的刻度是多少克．
【答案】(1)秤盘质量为4克，秤砣质量为10克
(2)这把杆秤的秤星E对应的刻度是100克
【分析】本题主要考查了二元一次方程组以及一元一次方程组的应用．
（1）设秤盘质量为x克，秤砣质量为y克，根据题意列出关于x，y的二元一次方程组求解即可得出答案．
（2）设这把杆秤的秤星E对应的刻度是m克，根据题意列出关于m的一元一次方程求解即可．
【详解】（1）解：设秤盘质量为x克，秤砣质量为y克，
根据题意得：
，
解得：，
答：秤盘质量为4克，秤砣质量为10克．
（2）解：设这把杆秤的秤星E对应的刻度是m克，
根据题意得：
，
解得：，
答：这把杆秤的秤星E对应的刻度是100克．
37．已知关于x，y的二元一次方程组，甲由于看错了方程组中的a，得到的方程组的解为，乙由于看错了b，得到方程组的解为．
(1)求a，b的值；
(2)求方程组的正确解．
【答案】(1)，
(2)
【分析】本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组．
（1）根据甲由于看错了方程组中的a，把得到的方程组的解代入可得出，即可求出b的值，根据乙由于看错了b，把得到方程组的解代入可得出，即可求出a的值；
（2）把a，b的值代入方程组，利用加减消元解答即可．
【详解】（1）解：由题意可得，
解得；
（2）解：方程组为
①②得：，
把代入①得，
∴方程组的解为．
38．每年的4月23日是世界读书日，某校为响应“全民阅读”的号召，计划购入A，B两种规格的书柜用于放置图书．经市场调查发现：若购买A种书柜3个，B种书柜4个，共需资金1700元；若购买A种书柜4个，B种书柜3个，共需资金1800元．
(1)A，B两种规格书柜的单价分别是多少元？
(2)若该校准备用2000元购买两种书柜（要求既有购买A种书柜，又有购买B种书柜，且资金2000元须全部用完），请求出所有可能的购买方案．
【答案】(1)A种规格书柜的单价是300元，B种规格书柜的单价是200元；
(2)三种购买方案：方案1：购买2个A种书柜，7个B种书柜；方案2：购买4个A种书柜，4个B种书柜；方案3：购买6个A种书柜，1个B种书柜．
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、二元一次方程的应用等知识点，找准等量关系、正确列出二元一次方程组和二元一次方程是解题的关键．
（1）设A种书柜的单价是x元，B种书柜的单价是y元，根据“购买A种书柜3个，B种书柜4个，共需资金1700元；购买A种书柜4个，B种书柜3个，共需资金1800元”，可列出关于x，y的二元一次方程组求解即可；
（2）设购买m个A种书柜，n个B种书柜，利用“总价=单价×数量”列出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数，即可得出各购买方案．
【详解】（1）解：设A，B两种规格书柜的单价分别是x元，y元．
由题意可得，解得：．
答：A种规格书柜的单价是300元，B种规格书柜的单价是200元．
（2）解：设购买A种规格书柜m个，B种规格书柜n个．
由题意可得：
其中m，n都是正整数，所以有如下三种购买方案：
，，．
∴该校共有3种购买方案，
方案1：购买2个A种书柜，7个B种书柜；
方案2：购买4个A种书柜，4个B种书柜；
方案3：购买6个A种书柜，1个B种书柜．
39．观察以下等式．
第1个等式：．
第2个等式：．
第3个等式：．
第4个等式：．
……
按照以上规律，解答下列问题．
(1)写出第5个等式：________________．
(2)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明．
【答案】(1)
(2)，见解析
【分析】本题考查数字规律探究、列代数式，整式的运算；
（1）根据题目中等式的特点，可以写出第5个等式；
（2）根据题目中等式的特点，可以写出猜想，然后将等式左边和右边展开，看是否相等即可证明猜想．
【详解】（1）解：第1个等式：，
第2个等式：，
第3个等式：，
第4个等式：，
……
第5个等式是；
故答案为：；
（2）解：猜想：第个等式：，
证明：∵左边
右边．
40．如图所示：从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形，然后将剩余部分拼成一个长方形．
(1)上述操作能验证的等式是 ．
A． B． C．
(2)已知，，则 ．
(3)应用所得的公式计算：
(4)应用所得的公式计算：
【答案】(1)B
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查了平方差公式的几何意义，平方差公式的应用，熟练掌握平方差公式是解题的关键．
（1）因为图1的面积，图2的面积，得到，即可得到答案；
（2）根据平方差公式得到，继而得到；
（3）利用平方差公式计算即可；
（4）利用平方差公式计算即可．
【详解】（1）解：图1的面积，图2的面积，
，
故选：B；
（2）解： ，
，
，
，
故答案为：；
（3）解：
；
（4）解：
．
41．阅读理解．
已知，求的值．
解：由，可得．
整理得，
，得．
请仿照上述方法，完成下列问题：
(1)已知，求的值．
(2)已知，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了完全平方公式．记住完全平方公式：是解题的关键．
（1）将变形为，利用完全平方公式得到，然后利用整体代入的方法计算；
（2）将变形为，利用完全平方公式得到，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】（1）解：
整理得
；
（2）解：
．
42．【课本再现】我国南宋数学家杨辉在他年的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”．如图，此图揭示了（为非负整数）、展开式的项数及各项系数的一些相关规律．
如果将（为非负整数）的每一项按字母的次数由大到小排列，就可以得到以下等式：
，它只有一项，系数为；
，它有两项，系数分别为，；
，它有三项，系数分别为，，；
，它有四项，系数分别为，，，；
请你根据以上信息解答下列问题：
【探索发现】你能根据以上数表得到的展开式吗 并利用多项式乘法法则验证你的结果是否正确；
【拓展探究】的展开式共有______项，系数和为______；
【实践应用】请你利用以上规律计算：
【答案】【探索发现】：，证明见解析；【拓展探究】：， ；【实践应用】：
【分析】本题考查了多项式的乘法运算中的规律问题，数字类规律探究，多项式的系数、项数、次数等．
【探索发现】结合多项式乘多项式的运算法则和完全平方公式进行展开计算，即可求解；
【拓展探究】根据已知式子中项数、系数等变化规律，即可求解；
【实践应用】根据杨辉三角的规律，进行计算即可求解．
【详解】【探索发现】解：
证明：左边
=右边；
故．
【拓展探究】解：∵，它只有一项，系数为；系数和为，且；
，它有两项，系数分别为，；系数和为，且；
，它有三项，系数分别为，，；系数和为，且；
，它有四项，系数分别为，，，；系数和为，且；
以此类推，
的展开式有项，系数和；
故答案为：，．
【实践应用】解：
．
43．【阅读理解】
题目：若，求的值．
解：观察发现，与中的与互为相反数， 所以我们不妨设，． ，． ，， ．
我们把这种方法叫做换元法，利用换元法达到简化计算的目的，体现了转化的数学思想．
【理解应用】
（1）若，则__________．
（2）若满足，求的值．
【拓展应用】
如图，在中，，，点是边上的点，在边上取一点，使，设．分别以、为边在外部作正方形和正方形，连结．若，的面积为，直接写出正方形和正方形的面积和．
【答案】 ； ；拓展应用：
【分析】本题考查了换元法、完全平方公式的应用．解决本题的关键是利用完全平方公式把代数式进行变形求值．
【理解应用】设，，从而可得，，根据求出结果；
设，，从而可得，，根据完全平方公式进行变形可得，所以可得，从而可求；
【拓展应用】根据已知可知，，根据的面积为，可得，设，，可得、，利用完全平方公式进行变形可得：．
【详解】【理解应用】解：设，，
则，，
，
，
故答案为：；
设，，
则，
，
，
，
，
，
解得：，
；
【拓展应用】解：，，，
，，
，
，
，
设，，
则，，
．
44．已知．
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求的值
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形求值，因式分解的应用，熟知完全平方公式及其变形是解题的关键．
（1）根据完全平方公式可得，据此计算求解即可；
（2）根据代值计算即可；
（3）根据代值计算即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴；
（3）解：∵，
∴，
∴．
45．【知识呈现】
我们可把中的“”看成一个字母a，使这个代数式简化为，“整体思想”是中学教学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛，在数学中，常常用这样的方法把复杂的问题转化为简单问题．
【解决问题】
（1）上面【知识呈现】中的问题的化简结果为_____；（用含的式子表示）
（2）若代数式的值为4，则代数式的值为______；
【灵活运用】应用【知识呈现】中的方法解答下列问题：
（3）已知，的值为最大的负整数，求的值．
【答案】（1）；（2）；（2）
【分析】本题主要考查了代数式求值，添括号，合并同类项，正确理解并应用整体思想是解题的关键．
（1）根据合并同类项的法则计算出的结果，再把结果中的a用替换即可得到答案；
（2）先求出的结果，再根据求解即可；
（3）先求出的值，再根据求解即可．
【详解】解：（1）
；
（2）∵代数式的值为4，
∴，
∴，
∴；
（3）∵的值为最大的负整数，
∴，
∴
．
46．阅读材料：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法．配方法基本形式是完全平方公式的逆用，即：．例如：．
的最小值为3
请根据阅读材料解决下列问题：
(1)，求的值；
(2)已知，求的值；
(3)仿照材料，当x，y为何值时，代数式取得取小值，最小值为多少？
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查的是非负数的性质、代数式求值，掌握完全平方公式是解决问题的关键．
（1）将配方，根据平方的非负性可得和的值，可解答；
（2）将配方，根据平方的非负性可得和的值，可解答；
（3）首先把已知代数式变为，然后利用完全平方公式进行配方，变为两个非负数和一个正数的和的形式，然后利用非负数的性质即可解决问题．
【详解】（1）解：
∴
解得：
∴
（2）解：
∴
解得
∴
（3）解：
∵
∴代数式取得取小值为，此时
，解得
∴当时，代数式取得取小值，最小值为．
47．为了助力乡村振兴，某乡镇政府计划对一条长3000米的乡村道路进行改造．
(1)该工程原计划由甲队单独施工，工期为160天．刚开始每天施工16米，施工一段时后，甲队改进技术，施工效率提高了25％，刚好按时完工，则技术改造前甲队施工了多少天．
(2)由于工期需要，该工程决定由甲、乙两队共同完成，通过工程招标，甲队获得了1800米的改造工程，乙队获得了1200米的改造工程．甲、乙两队同时开始施工，甲队每天比乙队多施工20％，结果甲队比乙队晚20天完成任务．求乙队平均每天施工的米数．
【答案】(1)50天
(2)15米/天
【分析】本题考查了一元一次方程与分式方程的应用，理解题意，根据等量关系列出方程是解题的关键．
（1）设技术改造前甲队施工了x天，则技术改造后的施工时间为天，根据技术改造前施工的长度与技术改造后施工的长度的和为3000米，列出一元一次方程，求解即可；
（2）设乙队平均每天施工y米，则甲队平均每天施工米/天，根据甲队施工的时间减乙队施工的时间为20，列出分式方程，并求解即可，注意检验．
【详解】（1）解：设技术改造前甲队施工了x天，则技术改造后的施工时间为天，
由题意得：，
解得：；
答：技术改造前甲队施工了50天；
（2）解：设乙队平均每天施工y米，则甲队平均每天施工米/天，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意；
答：乙队平均每天施工15米．
48．宇树公司设计的人形机器人亮相2025年春节联欢晚会后爆火，并带动整个人形机器人行业的畅销．某快递公司采用，两种型号的数控机器人分拣快递．已知型数控机器人每小时分拣快递件数是型数控机器人每小时分拣快递件数的1.5倍．一项分拣600件快递的任务中，一台型数控机器人分拣了420件后，由一台型数控机器人接力分拣，该任务共花费9小时完成．
(1)两种数控机器人每小时分别分拣多少件快递？
(2)“五一”期间，快递公司的业务量猛增，已知两种机器人每天的工作时长均为8小时，若要使其刚好分拣完成5760件快递，且两种机器人都要参与分拣，那么两种机器人分别安排多少台才能分拣完成？
【答案】(1)A型数控机器人每小时分拣90件快递，B型数控机器人每小时分拣60件快递
(2)见解析
【分析】本题考查了分式方程的应用以及二元一次方程的应用．
（1）设B型数控机器人每小时分拣x件快递，则A型数控机器人每小时分拣件快递，利用工作时间工作总量工作效率，结合A，B型数控机器人接力9小时完成分拣任务，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出x的值（即B型数控机器人每小时分拣快递的数量），再将其代入中，即可求出A型数控机器人每小时分拣快递的数量；
（2）设应安排m台A型数控机器人，n台B型数控机器人分拣快递，根据刚好分拣完成5760件快递，可列出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数，即可得出各安排方案．
【详解】（1）解：设B型数控机器人每小时分拣x件快递，则A型数控机器人每小时分拣件快递，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
∴，
答：A型数控机器人每小时分拣90件快递，B型数控机器人每小时分拣60件快递；
（2）解：设应安排m台A型数控机器人，n台B型数控机器人分拣快递，
根据题意得：，
∴，
又∵m，n均为正整数，
∴或或，
∴共有3种安排方案，
方案1：安排2台A型数控机器人，9台B型数控机器人；
方案2：安排4台A型数控机器人，6台B型数控机器人；
方案3：安排6台A型数控机器人，3台B型数控机器人．
49．如果两个分式M与N的和为常数k，且k为正整数，则称M与N互为“和整分式”，常数k称为“和整值”，如分式，，．则M与N互为“和整分式”，“和整值”．
(1)已知分式，，判断A与B是否互为“和整分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“和整值”k；
(2)已知分式，，C与D互为“和整分式”，且“和整值”，求G．
【答案】(1)分式A与分式B是互为“和整分式”，
(2)
【分析】本题考查的是新定义题型，涉及分式的加减运算．理解新定义，熟练掌握分式的加减运算法则是解本题的关键．
（1）把A与B相加，根据同分母的分式的加法运算法则化简，根据化简结果判断即可；
（2）把C与D相加，根据异分母的分式的加法法则化简，再根据C与D互为“和整分式”且“和整值”，求出多项式G．
【详解】（1）解：，
∴分式A与分式B是互为“和整分式”，
“和整值”；
（2）解：①分式，，
C与D互为“和整分式”，且“和整值”，
，
两边都乘以得，，
∴
．
50．“一年一端午，一岁一安康”！端午节，是我国首个入选《人类非物质文化遗产代表作名录》的节日人们在端午节．这一天有吃“粽子”的传统，也寓意“祈福高中”．某班家委会妈妈们准备提前给孩子们预定“牛肉霸王粽”和“蛋黄板栗粽”两款粽子若干个．已知“牛肉霸王粽”的单价比“蛋黄板栗粽”的单价贵5元，2个“牛肉霸王粽”和3个“蛋黄板栗粽”总售价85元．
(1)请计算出“牛肉霸王粽”和“蛋黄板栗粽”单价分别是多少元？
(2)实际购买时，商家正在对这两款粽子进行促销活动，它们的单价都下降了，降价后的“牛肉霸王粽”的单价比“蛋黄板栗粽”的单价贵3元（两款粽子的单价均不低于10元）．妈妈们450元购买的“牛肉霸王粽”数量恰好比240元购买的“蛋黄板栗粽”数量多了10个，那么实际购买“牛肉霸王粽”和“蛋黄板栗粽”各多少个？
【答案】(1)“牛肉霸王粽”和“蛋黄板栗粽”单价分别是元
(2)实际购买“牛肉霸王粽”个，购买“蛋黄板栗粽”个
【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
（1）设每个“蛋黄板栗粽”的进价为x元，则每个“牛肉霸王粽”的进价为元，根据2个“牛肉霸王粽”和3个“蛋黄板栗粽”总售价85元，列方程即可解答；
（2）设“牛肉霸王粽”降价元，根据“牛肉霸王粽”的单价比“蛋黄板栗粽”的单价贵3元，可得“蛋黄板栗粽”的单价，利用450元购买的“牛肉霸王粽”数量恰好比240元购买的“蛋黄板栗粽”数量多了10个，列分式方程即可解答．
【详解】（1）解：设每个“蛋黄板栗粽”的进价为x元，则每个“牛肉霸王粽”的进价为元，
则可得，
解得，
元，
答：“牛肉霸王粽”和“蛋黄板栗粽”单价分别是元；
（2）解：设“牛肉霸王粽”降价元，则“牛肉霸王粽”的单价为元，
“蛋黄板栗粽”的单价为元，
故可得，
化简得，
解得，
经检验，是原方程的解，
两款粽子的单价均不低于10元，
，
实际购买“牛肉霸王粽”个，购买“蛋黄板栗粽”个，
答：实际购买“牛肉霸王粽”个，购买“蛋黄板栗粽”个．
51．2025年4月23日是第30个“世界读书日”，通过倡导阅读习惯和版权意识，支持创造力与多样性，提供平等获取知识的机会，推进科学知识和教育资源的开放获取．“世界读书日”前夕，某书城购进、两种畅销书籍，共花费3700元．已知每本种书籍的进价为25元，每本种书籍的进价为40元，其中购进的种书籍的数量比种书籍数量的2倍多4本．
(1)求、两种书籍分别购进多少本？
(2)该书城在“世界读书日”当天售出、两种书籍共63本，总销售额为2340元，其中种书籍的销售额是1200元，已知每本种书籍的售价是每本种书籍售价的1.6倍，求每本种书籍的售价是多少元？
【答案】(1)种书籍购进本，两种书籍购进本
(2)48元
【分析】本题考查一元一次方程、分式方程的应用，理解题目间的数量关系是解题的关键．
（1）设B种书籍购进本，则A种书籍购进本，根据“购进、两种畅销书籍，共花费3700元”列方程求解；
（2）设每本种书籍售价元，则每本种书籍售价元，根据“当天售出、两种书籍共63本”列分式方程计算求解．
【详解】（1）解：设B种书籍购进本，则A种书籍购进本，由题意可得：
，解得，
（本），
答：种书籍购进本，两种书籍购进本；
（2）解：设每本种书籍售价元，则每本种书籍售价元，由题意可得：
，解得，
经检验，是原方程的解，
∴（元），
答：每本种书籍的售价是48元．
52．某班数学“综合与实践”小组为了解本校名学生的阅读时间，随机抽取部分学生进行了问卷调查，并根据调查结果绘制了两幅统计图，根据统计图解答下列问题：
每周阅读时间的调查表以下问题为单选题，根据实际情况填写． 问题：你每周阅读的时间大约是（ ） ．小时及以上 ．小时 ．小时 ．小时
(1)参与本次问卷调查的学生共有________人，扇形统计图中的值是________；
(2)请将条形统计图补充完整；
(3)根据抽样调查结果，请你估计该校名学生中，每周阅读时间在小时及以上的人数．
【答案】(1)，
(2)补图见解析
(3)名
【分析】（）用组人数除以其百分比可求出参与本次问卷调查的学生人数，进而可求出的值；
（）求出组学生数，再将条形统计图补充完整即可；
（）用乘以每周阅读时间在小时及以上的人数占比即可；
本题考查了条形统计图和扇形统计图，样本估计总体，看懂统计图是解题的关键．
【详解】（1）解：∵，
∴参与本次问卷调查的学生共有人，
∴，
∴，
故答案为：，；
（2）解：组学生数为名，
∴条形统计图补充完整如下：
（3）解：，
答：估计该校名学生中，每周阅读时间在小时及以上的人数为名．
53．自2025年1月15日正式上线以来，全社会不断在加深对的了解，不断在深化与的合作．我校组织七年级学生进行“与对话”知识竞赛，老师随机抽取了部分学生的成绩（得分为整数，满分100分）、整理后绘制成如图所示的不完整的频数分布表、频数分布直方图和扇形统计图：
频数分布表
分组 频数 频率
2 0.05
10 m
12 0.3
合计 1
请根据上述图表提供的信息，完成下列问题：
(1)补全成绩频数分布直方图；
(2)____，扇形统计图中“D”所占的圆心角度数为_____度；
(3)若我校七年级共有1500名学生，请估计竞赛成绩不低于80分的学生有多少人？
【答案】(1)详见解析
(2)，108
(3)估计竞赛成绩不低于80分的学生约为1050人
【分析】本题考查频数分布直方图，扇形统计图，理解两个统计图中数量之间的关系是正确解答的前提，掌握频数、频率、总数之间的关系是解决问题的关键．
（1）根据A等级的频数和频率，可以求得总数，再求的人数后补全统计图；
（2）根据频率=频数除以总数求m的值，用乘以“D”的频率即可求圆心角的度数；
（3）利用1500乘以C和D等级的频率之和即可．
【详解】（1）抽取学生总数：，
的人数：，
补全成绩频数分布直方图如下：
（2），
扇形统计图中“D”所占的圆心角度数为：，
故答案为：，108；
（3）（人）
答：估计竞赛成绩不低于80分的学生约为1050人．
54．某学校从九年级500名学生中随机抽取部分学生进行英语听力测试（测试满分100分，得分x均为不小于60的整数），并将测试成绩分为四个等级：，，制作了如图统计图（部分信息来给出）．
由图中给出的信息解答下列问题：
(1)求测试成绩属C等级的学生人数，并补全频数分布直方图．
(2)求扇形统计图中B等级所对应的扇形圆心角的度数．
(3)如果该校九年级学生都参加测试，请你根据抽样测试的结果，估计该校九年级听力成绩获得D等级的学生有多少人？
【答案】(1)60，图见解析
(2)扇形统计图中B等级所对应的扇形圆心角的度数为
(3)估计该校九年级听力成绩获得D等级的学生有75人
【分析】本题考查直方图和扇形图，从统计图中有效的获取信息，是解题的关键：
（1）求出其它等级的人数之和以及所占的总的百分比，进而求出抽取的总人数，再求出等级的学生人数，补全直方图即可；
（2）360度乘以等级的学生人数所占的比例，求解即可；
（3）利用样本估计总体的思想进行求解即可．
【详解】（1）解：（人）；
等级的学生人数为：（人）；
补全直方图如图：
（2）；
答：扇形统计图中B等级所对应的扇形圆心角的度数为；
（3）（人）；
答：估计该校九年级听力成绩获得D等级的学生有75人．
55．为了强化学生的法律意识，某校开展了“法律伴我行”知识竞赛活动．为了解此次知识竞赛成绩的情况，随机抽取了部分参赛学生的成绩（用表示，满分100分），分成A，B，C，D四组，整理并绘制成如下不完整的统计图表．
组别 成绩x/分 频数
A 6
B m
C 16
D 8
(1)求统计表中的值，并补全频数分布直方图；
(2)求扇形统计图中的度数；
(3)若成绩在80分以上（含80分）的为“优秀”，求这部分参赛学生的优秀率．
【答案】(1)10，见详解
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了频数分布直方图（表）和扇形统计图，从频数分布直方图（表）和扇形统计图获取信息是解题的关键．
（1）根据C组的频数和百分比可得总数，再用总数分别减去各组的频数可得答案；进而可补全统计图；
（2）用乘以B组人数的占比即可得出答案．
（3）用优秀学生的数除以总人数可得答案．
【详解】（1）解：，．
故答案为：10；
补全频数分布直方图如图所示：
（2）解：
（3）解：（名），
答：这部分参赛学生的优秀率为．

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