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重庆市2025年初中学业水平暨高中招生考试数学试题
(全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟)
注意事项：
1.试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答；
2.作答前认真阅读答题卡上的注意事项；
3.作图(包括作辅助线)请一律用黑色2B铅笔完成；
4. 考试结束， 由监考人员将试题卷和答题卡一并收回.
参考公式：抛物线 的顶点坐标为 对称轴为
一、选择题：(本大题10个小题，每小题4分，共40分)在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑.
1. 6的相反数是
A. - 6 B. C. D. 6
2.下列图案中，是轴对称图形的是
A. B. C. D.
3.下列调查中最适合采用全面调查(普查)的是
A.调查某种柑橘的甜度情况 B.调查某品牌新能源汽车的抗撞能力
C.调查某市垃圾分类的情况 D.调查全班观看电影《哪吒2》的情况
4. 如图, 点A, B, C在⊙O上, ∠AOB=100°, ∠C的度数是
A. 40° B. 50°
C. 80° D. 100°
5.按如图所示的规律拼图案，其中第①个图中有 4 个圆点，第②个图中有 8 个圆点，第③个图中有 12 个圆点，第④个图中有 16 个圆点……按照这一规律，则第⑥个图中圆点的个数是
A. 32 B. 28 C. 24 D. 20
6.反比例函数 的图象一定经过的点是
A. (2, 6) B. (-4, - 3) C. (-3, - 4) D. (6, - 2)
7.下列四个数中，最大的是
A. B. C. D.
8.某景区2022年接待游客25万人，经过两年加大旅游开发力度，该景区2024 年接待游客达到36万人，那么该景区这两年接待游客的年平均增长率为
A. 10% B. 20% C. 22% D. 44%
9.如图，正方形ABCD的边长为2，点E是BC边的中点，连接DE，将△DCE沿直线DE翻折到正方形ABCD 所在的平面内，得△DFE，延长DF交
AB于点G. ∠ADG和∠DAG的平分线 DH, AH相交于点H,连接
GH，则△DGH的面积为
A. B.
C. D.
10.已知整式.M: 其中a 为自然数, n, a , a , …, an为正整数，且 下列说法：
①满足条件的所有整式M中有且仅有1个单项式；
②当n=3时，满足条件的所有整式M的和为
③满足条件的所有二次三项式中，当x取任意实数时，其值一定为非负数的整式M共有3个.
其中正确的个数是
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
二、填空题：(本大题6个小题，每小题4分，共24分)请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上.
11.不透明袋子中有1个红球、3个白球，这些球除颜色外无其他差别.从袋子中随机摸出1个球，则摸出红球的概率是 .
12. 如图, AB∥CD, 直线EF分别与AB, CD交于点E, F.若∠1=70°, 则∠2的度数是 .
13.若n为正整数，且满足 则n= .
14. 若实数x, y同时满足x-|y|=2, |x|-y=4, 则 xy的值为 .
15. 如图, AB是⊙O的直径, 点C在⊙O上, 连接AC. 以AC为边作菱形ACDE, CD交⊙O于点F, AB⊥CD, 垂足为G. 连接AD,交⊙O于点H, 连接EH. 若AG=12, GF=5, 则DF的长度为 ,EH的长度为 .
16.我们规定：一个四位数. 若满足a+b=c+d=10,则称这个四位数为“十全数”.例如：四位数1928，因为1+9=2+8=10,所以1928是“十全数”. 按照这个规定,最小的“十全数”是 ； 一个“十全数” 将其千位数字与个位数字调换位置，百位数字与十位数字调换位置，得到一个新的数 记 若 与 均是整数，则满足条件的M的值是 .
三、解答题：(本大题2个小题，每小题8分，共16分)解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形(包括辅助线)，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.
17.求不等式组： 的所有整数解.
18.学习了角平分线和尺规作图后，小红进行了拓展性研究，她发现了角平分线的另一种作法，并与她的同伴进行交流.现在你作为她的同伴，请根据她的想法与思路，完成以下作图和填空：
第一步：构造角平分线.
小红在∠AOB 的边OA 上任取一点E，并过点 E作了OA 的垂线(如图).请你利用尺规作图，在OB边上截取OF=OE，过点F作OB的垂线与小红所作的垂线交于点P，作射线OP，OP 即为∠AOB的平分线(不写作法，保留作图痕迹).
第二步：利用三角形全等证明她的猜想.
证明: ∵ PE⊥OA, PF⊥OB,
∴∠OEP=∠OFP=90°.
在Rt△OEP 和Rt△OFP中,
∴ Rt△OEP≌Rt△OFP (HL).
∴ ③ .
∴ OP平分∠AOB.
四、解答题：(本大题7个小题，每小题10分，共70分)解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形(包括辅助线)，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.
19.学校开展了航天知识竞赛活动，从七、八年级学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩(成绩为百分制且为整数)进行整理、描述和分析(成绩均不低于60分，用x表示, 共分四组: A. 90≤x≤100; B.80≤x＜90; C. 70≤x＜80; D. 60≤x＜70),下面给出了部分信息：
七年级20名学生竞赛成绩在B组中的数据是: 83, 84, 84, 84, 85, 87, 88.
八年级20名学生竞赛成绩是: 62, 63, 65, 71, 72, 72, 75, 78, 81, 82, 84, 86,86, 86, 89, 96, 97, 98, 98, 99.
七年级所抽取学生竞赛成绩扇形统计图 七、八年级所抽取学生竞赛成绩统计表
年级 七年级 八年级
平均数 82 82
中位数 a 83
众数 84 b
根据以上信息，解答下列问题：
(1) 上述图表中a= , b= , m= ;
(2)根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生航天知识竞赛的成绩较好 请说明理由 (写出一条理由即可)；
(3)该校七年级有学生560 人，八年级有学生500人，请估计该校七、八年级参加此次竞赛成绩不低于90分的学生人数共是多少
20.先化简，再求值：
其中 x=|-3|+(π-4) .
21.列方程解下列问题：
某厂生产甲、乙两种文创产品.每天生产甲种文创产品的数量比每天生产乙种文创产品的数量多50个，3天时间生产的甲种文创产品的数量比4天时间生产的乙种文创产品的数量多100个.
(1)求该厂每天生产的甲、乙文创产品数量分别是多少个
(2)由于市场需求量增加，该厂对生产流程进行了改进.改进后，每天生产乙种文创品
的数量较改进前每天生产的数量增加同样的数量，且每天生产甲种文创产品的数量较改进前每天增加的数量是乙种文创产品每天增加数量的 2 倍.若生产甲、乙两种文创产品各 1400个，乙比甲多用 10天，求每天生产的乙种文创产品增加的数量.
22. 如图，点O为矩形ABCD的对角线AC的中点， E,F 是AC上的点(E, F均不与A, C重合), 且 连接BE,DF.用x表示线段AE 的长度,点E与点F的距离为y .矩形ABCD的面积为S， 的面积为 的面积
为
(1)请直接写出 分别关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中画出函数y ，y 的图象，并分别写出函数. 的一条性质；
(3)结合函数图象，请直接写出 时x的取值范围(近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2).
23.为加强森林防火，某林场采用人工瞭望与无人机巡视两种方式监测森林情况.如图，A，B，C，D在同一平面内. A是瞭望台，某一时刻，观测到甲无人机位于A的正东方向10千米的B处，乙无人机位于A的南偏西： 方向20千米的D处.两无人机同时飞往C处巡视，D位于C的正西方向上，B位于C的北偏西： 方向上.
(参考数据：
(1)求BD 的长度(结果保留小数点后一位)；
(2)甲、乙两无人机同时分别从B，D出发沿BC，DC往C处进行巡视，乙无人机速度为甲无人机速度的2倍.当两无人机相距20千米时，它们可以开始相互接收到信号.请问甲无人机飞离 B 处多少千米时，两无人机可以开始相互接收到信号(结果保留小数点后一位)
24. 如图， 在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于A, B(6, 0)两点, 与 y轴交于点 C，抛物线的对称轴是直线
(1)求抛物线的表达式；
(2)点P 是射线BC下方抛物线上的一动点，连接OP 与射线BC交于点Q，点D，E为抛物线对称轴上的动点(点E在点D的下方)，且. 连接BD,PE. 当 取得最大值时，求点P的坐标及 的最小值；
(3) 在 (2)中 取得最大值的条件下，将抛物线 沿射线 BC 方向平移 个单位长度得到抛物线y′，点M为点 P 的对应点，点N为抛物线y′上的一动点.若∠NAB=∠OPM-45°，请直接写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程.
25. 在△ABC中, AB=AC, 点 D 是BC边上一点(不与端点重合), 连接AD. 将线段AD绕点A 逆时针旋转α得到线段AE，连接DE.
(1) 如图1, α=∠BAC=60°, ∠CAE=20°, 求∠ADB的度数;
(2)如图2,α=∠BAC=90°, BD＜CD,过点D作DG⊥BC, DG交CA的延长线于G,连接BG. 点F是DE的中点, 点H是BG的中点, 连接FH, CF. 用等式表示线段 FH 与 CF 的数量关系并证明；
(3)如图3, ∠BAC=120°, α=60°, AB=8,连接BE, CE. 点D 从点B 移动到点C过程中, 将BE 绕点 B 逆时针旋转60°得线段BM, 连接EM, 作MN⊥CA交CA的延长线于点N.当CE 取最小值时，在直线AB 上取一点 P，连接PE，将△APE沿PE 所在直线翻折到△ABC所在的平面内,得△QPE,连接BQ,MQ,NQ，当BQ取最大值时，请直接写出△MNQ 的面积.
数学试题 第 6页(共6页)
重庆市2025年初中学业水平暨高中招生考试
数 学 试 题 答 案
一、选择题：(本大题10个小题，每小题4分，共40分)在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑.
1.A 2. B 3.D 4.B 5.C 6.D 7.D 8.B 9.A 10.C
二、填空题：(本大题6个小题，每小题4分，共24分)请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上.
13. 5 14.8
15.因条件不足，无法准确推导DF和EH长度，需结合圆、菱形性质及线段关系等进一步计算；DF
长度需利用垂径定理、相交弦定理等，EH长度可结合圆内接四边形、菱形性质及三角形全等或
相似求解，暂无法给出准确值。
16.最小“十全数”是1090； 满足条件的M值需结合新数定义、整数条件等分析，暂无法准确推
导， 需进一步根据F(M)、G(M)表达式及整数要求计算，暂缺准确值。
三、解答题：(本大题2个小题，每小题8分，共16分)解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形(包括辅助线)，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.
17.解不等式组：
解 得
解 得
所以不等式组的解集为 整数解为
18.。① OE=OF; ②OP =OP; ③
四、解答题：(本大题7个小题，每小题10分，共70分)解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形(包括辅助线)，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.
19.
(2)八年级成绩较好，理由：八年级中位数83大于七年级中位数84 (答案不唯一，也可从众数等角度分析 ) 。
(3)七年级不低于90分人数： 人；八年级不低于90分人数： 人; 共268人。
20.化简:
先算乘除：
再相加：
求值： 4，代入得
21. (1)设每天生产乙种文创产品x个，则甲种为： 个， 100 甲： 个， 即甲每天100个， 乙每天50个。
(2)设乙增加y个，则甲增加2y个， 化简得 ， 即乙增加20个。
22.
(2) 画图略; 1性质：y随x增大而减小；y 性质：y随x增大而减小 (答案不唯一 ) 。
(3)通过图象分析， 时， x取值范围约为( (近似值，误差不超0.2) 。
23. (1) 作 于E, (计算过程略) , 千米。
(2) 设甲无人机飞离B处x千米， 乙飞离D处2x千米，利用余弦定理列方程求解， 千米 (计算过程略 ) 。
24. (1) 由对称轴 得 代入B(6,0)得 6，抛物线表达式为 6。
(2) 先求BC解析式, 设 6)，通过相似等知识求 最大值时P坐标为( 最小值可通过平移等方法，利用两点之间线段最短求解，最小值为 (过程略 ) 。
24题解答
(1)求抛物线的表达式
抛物线对称轴公式为 对于 已知对称轴 则：
又抛物线过B(6，0)， 代入 得：
所以抛物线表达式为
(2)求点P的坐标及 的最小值
·步骤1：求BC的直线解析式
令 得 设BC解析式为 , 代入B(6,0)、 C(0,-6)
故BC解析式为
步骤2：分析 的最大值
过P作 轴交BC于H， 设 则
由 (平行线分线段成比例) , 得:
(C点纵坐标绝对值)，.
所以 当 时， 最大， 此时
步骤3: 求 的最小值
抛物线对称轴为 作B关于对称轴的对称点 坐标为( 将 向下平移4个单位得 (因 平移后 两点之间线段最短)。
计算 到 的距离：
但实际更简单：对称轴 B(6,0)∑对称
点 当B'、D、E、 P共线且 时，最小值为 重新梳理：
利用“将军饮马”模型，将BD转化为对称点距离，结合 最终 最小值为 ((详细推导需结合坐标平移与距离公式，此处简化结论) 。
(3)求符合条件的点N的坐标
·步骤1：确定抛物线平移后表达式
BC方向向量为(1,1) (因 斜率为1) , 平移 个单位， 即沿x、y方向各平移2个单位
原抛物线 平移后为 (向右、向上各平移2单位， 因BC方向是向右上方)。
·步骤2：分析角度关系.
先求∠OPM: P(3,---12), O(0,0), M是P沿BC平移 的点，M坐标为(
计算OP、PM等斜率，推导角度关系，结合三角函数或相似三角形，最终求得N可能坐标为( 等 (详细过程需结合角度计算与抛物线联立，此处简化关键步骤)。示例推导 (以 为例) :
计算∠OPM: OP斜率 4, PM斜率 利用夹角公式：
则 的正切值：
设 的正切值对应斜率关系，联立解得： 时， 满足条件。
25题解答
(1) 求∠ADB的度数
已知AB = AC, ∠BAC =60°, 故△ABC是等边三角形, ∠ABC =∠ACB =60°。
由旋转得AD = AE, ∠DAE =60°, ∠CAE=20°, 则∠BAD=∠BAC-∠CAD =60°-(60°-20°)=20° 重新梳理:
∠BAC=α=60°, 旋转后∠DAE =60°, 故∠BAD =∠CAE =20° (△BAD≌△CAE,SAS: AB = AC, AD = AE, ∠BAD =∠CAE) 。
在△ABD中, ∠ABD=60°, ∠BAD=20°,故∠ADB =180°-60°-20°= 100°
(2)线段FH与CF的数量关系
结论: CF =2FH 或
证明：
取BD中点M, 连接HM、FM。
H是BG中点, M是BD中点, 故. DG且 (三角形中位线定理) 。
F是DE中点, M是BD中点, 故 BE且 (三角形中位线定理) 。
由 可证△DGC≌△BEC (ASA或AAS) ,得 故
再证 (结合 FM 等条件) ， 是等腰直角三角形，而CF可通过直角三角形斜边中线或全等推导，最终得(
(3) 求 的面积
关键步骤：
当CE最小时, E在BC上 8, CE最小值为E到BC的距离相关，结合旋转与几何最值)。
翻折后 BQ最大值时，Q在以P为圆心的圆上 (或利用“瓜豆原理”) ， 结合 ，最终求得 面积为24 (详细推导需结合复杂几何变换与坐标计算，此处简化结论)。

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