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期末复习--第十章（二元一次方程组）重点知识点强化练 2024-2025学年下期初中数学人教版七年级下册（新教材）
一、单选题
1．若方程3x|m|﹣2＝3yn+1+4是二元一次方程，则m，n的值分别为（　　）
A．2，﹣1 B．﹣3，0 C．3，0 D．±3，0
2．已知是方程组的解，则a＋b＝（　　）
A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4
3．用加减消元法解方程时，最简捷的方法是（ ）
A．②×2+①，消去 B．②×2-①，消去
C．①×4-②×3，消去 D．①×4+②×3，消去
4．已知与都是方程的解，则的值为（ ）
A． B． C．2 D．4
5．二元一次方程（ ）
A．有且只有一解 B．有无数解 C．无解 D．有且只有两解
6．已知方程组的解中x与y的和为2，则m的值是（ ）
A．6 B．4 C．2 D．0
7．如图，小明爷爷有一块长为，宽为的长方形土地，现要沿平行于长方形各边的方向分割出三个完全相同的小长方形土地种植郁金香，设小长方形土地的长为，宽为，则可列方程组为（ ）
A． B． C． D．
8．把一根长的绳子截成和两种规格的绳子，要求每种规格的绳子至少1根，且无浪费，则不同的截法有（ ）
A．3种 B．4种 C．5种 D．6种
9．如图①，现有两个大小相同的小长方形，按照不同的拼接方式可拼成不同的大长方形，拼成如图②所示的长方形时，其周长为；拼成如图③所示的长方形时，其周长为，则小长方形的长、宽分别为（ ）
A．， B．， C．， D．，
10．关于，的方程组，下列说法：①是方程组的解；②不论取什么实数，的值始终不变；③当时， 与相等，正确的个数是（　）
A．3 B．2 C．1 D．0
二、填空题
11．写出一个二元一次方程，使这个方程与所组成的方程组的解为，这个方程可以是 ．
12．甲、乙两人相距50千米，若同向而行，乙10小时可追上甲；若相向而行，2小时两人相遇．设甲、乙两人每小时分别走千米，千米，则可列出方程组 ．
13．若点在第一象限，且到轴的距离为7，到轴的距离为8，则 ， ．
14．对于有理数定义一种新运算：，其中a，b为常数，已知，则 ．
15．若关于，的方程是二元一次方程，则 ．
16．已知关于，，的方程组，则 ．
17．《九章算术》中有一道题的条件是：“今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛．”大致意思是：有大小两种盛米的桶，5大桶加1小桶共盛3斛米，1大桶加5小桶共盛2斛米，依据该条件，1大桶加1小桶共盛＝ 斛米.（注：斛是古代一种容量单位）
18．嘉嘉、祥祥、浩浩三人玩踢球游戏，他们在地面上画了两个圆，圆心重合，然后各自从指定地点踢四次，规定小圆内为区，小圆与大圆之间为区，且在同一区域内的得分相同（若球的最终位置在圆上或大圆外则重踢）．嘉嘉和浩浩的得分情况如图所示（圆内黑点为球的最终位置），则祥祥的得分是 ．
三、解答题
19．解方程组：（1）（用代入消元法）；（2）（用加减消元法）
20．对实数，定义一种新运算，规定（其中，均为常数），例如：，．
(1)求，的值；
(2)求关于，的方程的正整数解．
21．学完二元一次方程组的应用后，老师布置了一项作业：把方程组赋予实际情境．以下是两位同学完成的作业：
小明：把一些书分给几个同学，如果每人分4本，则余5本；如果每人分6本，则差4本，求学生的人数和书的总本数．
小华：小王去买练习本，随身带的钱如果可以买4本练习本，还余5元；如果买6本，则差4元，求每本练习本的单价和小王随身带的钱数．
你认为两人所用的情境正确吗？请判断，并说明理由．
22．小明是一个乐思好学的学生，在解答七年级下册教材中一道拓广探索题时遇到了困难．这道题是这样的:
一个长方形的长减少，宽增加就成为一个正方形，并且这两个图形的面积相等．这个长方形的长、宽各是多少
（1）如图，设长方形的长是，宽是小明绞尽脑汁列出了三个不同的方程组:
① ，②，③，
以上三个方程组中，能正确反映题意的有 （请直接填写序号）﹔
（2）小明列出的方程，根据目前知识不易求解，便请教老师，老师提示这个问题可以列二元一次方程组来解答，并适时点拨，小明终于明白了．请你写出小明列出的二元一次方程组，并写出解答过程.

23．我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有牛五、羊二，直金十两．牛二、羊五直金八两，牛、羊各直金几何？”．意思是：5头牛、2只羊共价值10两“金”，2头牛、5只羊价值8两“金”．求每头牛、每只羊各价值多少两“金”？
24．为防止城市雨水内涝，政府对一段1200米长的管道进行改造，如果乙工程队单独施工了18天，剩余的任务由甲工程队再单独施工8天可以完成；如果甲工程队单独施工了16天，剩余的任务由乙工程队再单独施工6天可以完成．
(1)甲、乙工程队每天各施工多少米？
(2)若甲工程队施工一天的费用为3000元，乙工程队施工一天的费用为2000元，当两队施工天数相同时，求需支付的总费用为多少元？
25．某中学计划举办教职工篮球比赛，因比赛需要，学校为参赛教师购买如图所示的T恤和运动袜．已知购买3件T恤和4双运动袜共需220元，购买2件T恤比购买15双运动袜少30元．
(1)购买一件T恤和一双运动袜各需要多少钱？
(2)此次比赛，学校需准备50件T恤，80双运动袜，某商场针对学校购买的数量，提供了以下两种购买方案：
方案一：每购买一件T恤赠送一双运动袜；
方案二：购买T恤20件以上时，超出20件的部分按原价的八折优惠，但运动袜不打折．针对以上两种方案，学校选择哪种购买方案更划算？请说明理由．
26．又到了一年一度西瓜成熟的时节，水果市场刘老板要将一批西瓜分三次由地运往地，联系了一家运输公司，该公司有中型和小型两种货车可供选择，前两次运送西瓜的情况如下表：
中型货车/辆 小型货车/辆 总运载量/吨
第一次 3 2 9
第二次 5 4 16
(1)求2辆中型货车和1辆小型货车的总运载量；
(2)第三次运送西瓜的重量为19吨，已知每辆中型货车一次的运费是500元，每辆小型货车一次的运费是400元，请你写出所有的运输方案（中型、小型两种货车均满载），并计算哪种运输方案花费最少，最少花费多少钱？
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B B B B A D A C B
1．D
【分析】根据二元一次方程的定义得出|m| 2＝1，n＋1＝1，解之可得答案．
【详解】∵方程3x|m|﹣2＝3yn+1+4是二元一次方程，
∴|m|﹣2＝1，n+1＝1，
解得m＝3或m＝﹣3，n＝0，
故选：D．
【点睛】本题主要考查二元一次方程的定义，解题的关键是掌握含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程．
2．B
【分析】将代入方程组中的两个方程，得到两个关于未知系数的一元一次方程，解答即可．
【详解】解：∵是方程组的解，
∴将代入①，得a＋2＝ 1，
∴a＝ 3．
将代入②，得2 2b＝0，
∴b＝1．
∴a＋b＝ 3＋1＝ 2．
故选B．
【点睛】解答此题，需要对以下问题有一个深刻的认识：
①使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解；
②二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解．
3．B
【分析】把②×2-①，即可消去.
【详解】把②×2-①，得
5x=20，
故选：B.
【点睛】本题运用了加减消元法求解二元一次方程组，需要注意的是运用这种方法需满足其中一个未知数的系数相同或互为相反数，若不具备这种特征，则根据等式的性质将其中一个方程变形或将两个方程都变形，使其具备这种形式．
4．B
【分析】此题考查了二元一次方程的解，把与的两对值代入方程计算，即可求出与的值，再代入式子进行计算即可．
【详解】解：把与代入方程
得，，
解得：，
．
故选：B．
5．B
【分析】对于二元一次方程，可以用其中一个未知数表示另一个未知数，给定其中一个未知数的值，即可求得其对应值．
【详解】解：二元一次方程，
变形为，给定一个值，
则对应得到的值，即该方程有无数个解．
故选：B．
【点睛】本题考查的是二元一次方程的解的意义，解题的关键是当不加限制条件时，一个二元一次方程有无数个解．
6．A
【分析】由①②，可得出，结合，可得出关于的一元一次方程，解之即可求出的值．
【详解】解：，
①②得：．
又，
，
解得：，
的值为6．
故选：A．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组以及解一元一次方程，解二元一次方程组，用含的代数式表示出的值是解题的关键．
7．D
【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，解决本题的关键是根据图形审题，列出方程组．根据图形可知两个小长方形土地加一个小长方形土地的宽即铺满了长方形块空地的长，即，两个小长方形土地的宽加一个小长方形土地的长即铺满了长方形空地的宽，即，解方程组即可．
【详解】解：设小长方形土地的长为，宽为，根据题意得：，
故选：D．
8．A
【分析】此题主要考查了二元一次方程的应用，读懂题意，找出题目中的等量关系，得出x，y的值是解本题的关键，注意x，y只能取正整数．设截成长的绳子根，截成长的绳子根，根据绳子全长为列出方程，得出方程的整数解即可．
【详解】解：设截成长的绳子根，截成长的绳子根，根据题意，得：
，
，均为正整数，
∴，或，
不同的截法有3种．
故选：A．
9．C
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．设小长方形的长、宽分别为和，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解．
【详解】解：设小长方形的长、宽分别为和，
由题意得，
解得，
∴小长方形的长、宽分别为，，
故选：C．
10．B
【分析】①将代入，判断a的值是否相等即可；②将x和y分别用a表示出来，然后求出x+y的值即可判断；③将代入方程组求出方程组的解，代入方程中检验即可判断．
【详解】①将代入方程组得：
，解得
两个方程a的值不相等，所以①错误；
②解方程组，得
，
，
∴x+y的值和a的取值无关，始终为3，所以②正确；
③将代入方程组得，
，
因此③正确；
本题②③正确，故选B．
【点睛】本题考查了含参二元一次方程组中参数的确定，二元一次方程组的解法，逢解必代入式解决本类题的关键，是本章的重要考点．
11．（答案不唯一）
【分析】本题考查二元一次方程的定义及二元一次方程组解的定义．写出一个符合题意的方程即可．
【详解】解： 所组成的方程组的解为的二元一次方程为，
故答案为：（答案不唯一）．
12．
【分析】根据题意直接列出方程组即可．
【详解】解：设甲、乙两人每小时分别走千米、千米，
根据题意得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查二元一次方程组解决行程问题，熟练掌握二元一次方程组的应用是解题的关键．
13． 2 3
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，点到坐标轴的距离，以及象限内点的坐标特征，熟练运用象限内点的坐标特征是解决此题的关键，
根据点到坐标轴的距离可知点P横坐标的绝对值是5，纵坐标的绝对值是2，根据第一象限内的点横纵坐标都为正数得到方程，解方程即可得到答案．
【详解】解：点在第一象限，
∴，
∴点到x轴的距离为，到y轴的距离为，
∵点P到轴的距离为7，到轴的距离为8，
∴，
∴，
故答案为：2，3．
14．13
【分析】本题主要考查了新运算法则、解二元一次方程组、代数式求值等知识点，根据新运算法则将已知等式转换成二元一次方程组成为解题的关键．
先根据新运算法则将已知等式转换成二元一次方程组，再解方程组求得a、b的值，最后代入代数式计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
解得，
∴．
故答案为：13．
15．2或4
【分析】根据二元一次方程的定义，可得x和y的指数分别都为1，列关于m、n的方程，然后求解即可．
【详解】根据二元一次方程的定义：
解得：m=3，，
∴m+n=3+1=4或m+n=3-1=2；
故答案为：2或4．
【点睛】本题考查二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程．
16．8
【分析】方程组两方程相减求出的值，进而求出的值，即可求出所求．
【详解】解：，
②①得：，即，
把代入①得：，
则原式．
故答案为：8．
【点睛】此题考查了解三元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
17．
【分析】设一个大桶盛酒x斛，一个小桶盛酒y斛，根据“5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛，1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛”即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出x、y值，将其相加即可得出结论．
【详解】设一个大桶盛酒x斛，一个小桶盛酒y斛，
根据题意得： ，
解得： .
∴x+y=.
故答案为
【点睛】此题考查二元一次方程组的应用，解题关键在于列出方程
18．分
【分析】设落在区得分，落在区得分，根据嘉嘉和浩浩的得分情况，列出二元一次方程组，解方程组，得出区的得分，结合图形，即可求解．
【详解】设落在区得分，落在区得分，
根据题意，得解得
祥祥的得分是（分）．
故答案为：分．
19．（1）；（2）.
【分析】（1）规定用代入消元法，选择①中两个未知数，用一个未知数来表示另一个未知数x＝4＋y，代入②中求出y＝，最后将y的值代回①中求出x＝，即可求原方程组的解；
（2）规定用加减消元法，观察方程组消去其中的一个未知数y，只需将①×2 ②，可得x＝2，将x＝2代回原方程组中的②得y＝1，即可求出原方程组的解．
【详解】解：（1），
由①得：x＝4+y，③，
把③代入②得：4（4+y）+2y＝﹣1，
解得：y＝；
把y＝代入①得：x＝，
∴二元一次方程组的解为；
（2），
由①×2﹣②得：15x＝30，
解得：x＝2，
把x＝2代入②得：3×2+4y＝10，
解得：y＝1，
∴二元一次方程组的解为.
【点睛】本题考查二元一次方程组的解法，一是代入消元法，二是加减消元法，重点是掌握解方程组的思想是“消元”，两种方法都是将二元一次方程组转化成一元一次方程，然后返代回去解另一个未知数的值；难点是针对不同题型灵活选择二元一次方程组的不同解法，减少计算量．
20．(1)；
(2)．
【分析】本题主要考查了新运算、二元一次方程组的解法、二元一次方程的正整数解，解决本题的关键是把规定的新运算转化为一般的方程组，通过解方程组求出字母的值．
把和分别代入，可得关于、的二元一次方程组，解方程组求出、的值即可；
由可知，可得：、，根据，可得关于、的方程组，整理可得，再根据、为正整数，分情况讨论确定于、的值即可．
【详解】（1）解：根据题意可得：，
，
可得方程组:，
得：，
解得，
把代入得：，
解得：，
方程组的解为：，
的值为，的值为；
（2）解：把，代入，
可得：，
，
，
原方程可化为，
整理得：，
，
当时，，不符合题意，舍去；
当时，，不符合题意，舍去；
当时，；
当时，为负数，不符合题意，舍去；
方程的正整数解为．
21．两人所用的情境正确，理由见解析
【分析】根据二人所用情境，设未知数，列出方程组即可判断．
【详解】解：两人所用的情境正确，理由如下：
小明：设学生的人数为x人，书的总本数为y本，根据题意得：
，
所以小明所用的情境正确；
小华：设每本练习本的单价x元，小王随身带的钱数y元，根据题意得：
，
所以小华所用的情境正确；
综上所述，两人所用的情境正确．
【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，解题的关键是把数学问题与实际生活结合起来．
22．（1）①②③；（2），解答见解析
【分析】根据长-5=宽+2，就成为一个正方形，及两图形的面积相等，可得出方程组；
【详解】解：由题意得，，，
故答案是①②③；
设长方形的长为x，宽为y，依题意，得，
解得，
答：长方形的长，宽．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，准确计算是解题的关键．
23．每头牛价值为两“金”，每只羊价值为两“金”．
【分析】设每头牛价值为x两“金”，每只羊价值为y两“金”，再根据题干大意建立二元一次方程组，解方程组即可求出答案．
【详解】解：设每头牛价值为x两“金”，每只羊价值为y两“金”，根据题意得：，解得：．
答：每头牛价值为两“金”，每只羊价值为两“金”．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，正确建立方程组是解题关键．
24．(1)甲工程队每天施工60米，乙工程队每天施工40米
(2)需支付的总费用为60000元
【分析】本题考查二元一次方程组的应用，以及一元一次方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
（1）设甲工程队每天施工x米，乙工程队每天施工y米，根据题意列出二元一次方程组求解，即可解题；
（2）设甲工程队施工a天，需支付的总费用为w元，则乙工程队施工a天，根据题意列出方程求出a的值，再根据“总费用甲工程队费用乙工程队费用求解”即可解题．
【详解】（1）解：设甲工程队每天施工x米，乙工程队每天施工y米，
根据题意，得，
解得．
答：甲工程队每天施工60米，乙工程队每天施工40米；
（2）设甲工程队施工a天，需支付的总费用为w元，则乙工程队施工a天，
则，
解得，
（元）．
答：需支付的总费用为60000元．
25．(1)购买一件T恤需要60元，一双运动袜需要10元
(2)方案一更划算，理由见解析
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．
（1）设购买一件T恤需要元，一双运动袜需要元，根据“购买3件T恤和4双运动袜共需220元，购买2件T恤比购买15双运动袜少30元”列出方程组求解即可；
（2）根据题意结合优惠方案分别计算总费用进行比较，即可得出结论．
【详解】（1）解：设购买一件T恤需要元，一双运动袜需要元，
由题意，得，
解得，
答：购买一件T恤需要60元，一双运动袜需要10元；
（2）解：方案一更划算．理由如下：
方案一的总费用为（元），
方案二的总费用为（元），
，
学校选择方案一的购买方案更划算．
26．(1)2辆中型货车和1辆小型货车的总运载量是5.5吨
(2)方案一：中型货车8辆，小型货车2辆，方案二：中型货车5辆，小型货车6辆，方案三：中型货车2辆，小型货车10辆，选择中型货车8辆，小型货车2辆，花费最少，最少花费4800元
【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，二元一次方程的正整数解的应用；
（1）设1辆中型货车一次可以运西瓜吨，1辆小型货车一次可以运西瓜吨，再根据表格信息建立方程组解题，进一步的计算即可；
（2）设用中型货车辆，小型货车辆，可得，即．再求解方程的正整数解即可得到答案．
【详解】（1）解：设1辆中型货车一次可以运西瓜吨，1辆小型货车一次可以运西瓜吨，
根据题意，得
解得
（吨）．
答：2辆中型货车和1辆小型货车的总运载量是吨．
（2）解：设用中型货车辆，小型货车辆，
则，即．
∵为正整数，
∴或或；
方案一：中型货车8辆，小型货车2辆，
费用：（元）；
方案二：中型货车5辆，小型货车6辆，
费用：（元）；
方案三：中型货车2辆，小型货车10辆，
费用：（元）．
，
方案一运输费用最少．
即选择中型货车8辆，小型货车2辆，花费最少，最少花费4800元．
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