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期末复习--第八章（实数）重点知识点强化练
2024-2025学年下期初中数学人教版七年级下册（新教材）
一、单选题
1．的立方根是（ ）
A． B．4 C． D．2
2．下列各数：1.414，，﹣，0，其中是无理数的为（ ）
A．1.414 B． C．﹣ D．0
3．若与的和是单项式，则的算术平方根是（ ）
A．2 B． C．4 D．
4．有下列说法：
（1）无理数都是带根号的数；
（2）无理数是无限不循环小数；
（3）无理数包括正无理数、零、负无理数；
（4）无理数都可以用数轴上的点来表示．
其中正确的说法有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
5．已知|a－1|＋|b－4|＝0，则的平方根是（　　）
A． B．± C．± D．
6．已知，则a、b、c的大小关系是( )
A． B． C． D．
7．若2025的两个平方根是和，则的值是（ ）
A．0 B．2025 C． D．4050
8．一个物体自由下落时，它所经过的距离h（米）和时间t（秒）之间的关系我们可以用来估算．假设物体从超过10米的高度自由下落，小明要计算这个物体每经过1米所需要的时间，则经过第5个1米时所需要的时间最接近（ ）
A．1秒 B．0.4秒 C．0.2秒 D．0.1秒
9．已知的平方根是，的立方根是，则的值为（ ）
A．3 B．7 C．3或7 D．1或7
10．如图，网格中小正方形的边长均为1，把阴影部分剪拼成一个正方形，正方形的边长为．若的整数部分和小数部分分别是，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．下列实数中：，0，，0.1010010001…（每两个1之间多一个0），，，，无理数有 个．
12．若的立方根是，则 ．
13．绝对值小于的所有整数有 个．
14．的相反数是 ．
15．已知是的整数部分，是的小数部分，则 ．
16．如图①为一种球形容器，它受力均匀，承载能力高，且制作材料较为节省，在运输各种气体、液体、液化气体时很受欢迎，图②为其示意图，现要生产一种容积为的球形容器，则这种容器的半径是 ．（注：球的体积计算公式为）
17．按如图所示的程序计算，若开始输入的值是64，则输出的值是 ．
三、解答题
18．计算：
(1)；
(2)．
19．求下列各式中的值：
(1)；
(2)．
20．已知x+12的算术平方根是 ，2x+y﹣6的立方根是2．
（1）求x，y的值；
（2）求3xy的平方根．
21．已知实数，在数轴上对应点的位置如图所示：

(1)化简：；
(2)若实数，满足，求的立方根．
22．我们知道a＋b＝0时，a3＋b3＝0也成立，若将a看成a3的立方根，b看成b3的立方根，我们能否得出这样的结论：若两个数的立方根互为相反数，则这两个数也互为相反数．
(1)试举一个例子来判断上述猜测结论是否成立；
(2)若与互为相反数，求1－的值．
23．小明和小红比赛搭积木，小红搭成的正方体，体积是，小明搭成的长方体，体积是，且长方体的宽和小红搭成的正方体的棱长相同，长方体的长和高相同．
(1)求小红所搭积木的棱长；
(2)小明和小红谁搭的积木高？
24．阅读材料，解决问题．
给出定义：一个实数的整数部分是不大于这个实数的最大整数，这个实数的小数部分是这个实数与它的整数部分差的绝对值．例如：2.4的整数部分为2，小数部分为0.4，的整数部分为1，小数部分为，的整数部分为，小数部分为．由此我们得到：如果，其中是整数，且，那么，．请解答：
(1)的整数部分为______，小数部分为______；
(2)如果，其中是整数，且，求的值；
(3)已知，其中是整数，且，求的相反数．
25．（新考向）一个工人师傅在测量如图所示的正方形零件边（）时，测量了好几遍都没有测出一个较为准确的数，取近似值又会影响到零件的使用，十分发愁．小迪过去看了看，发现该零件是由边长为2的正方形沿各边中点连线切去四角得到的，以原点为圆心，的长为半径画弧，交数轴于点，．请根据图形解答：
(1)想到数学课上刚学的实数，小迪很快就知道的长度了，聪明的你知道吗？并说明理由；
(2)点表示的实数是______；
(3)求三角形的面积．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B C B B C C D D A
1．C
【分析】此题考查求算术平方根，求一个数的立方根，根据算术平方根的定义求出算术平方根，再求立方根即可．
【详解】解：，的立方根是，
∴的立方根是，
故选：C．
2．B
【详解】解：根据无理数的定义可得是无理数．
故选：B．
3．C
【分析】利用同类项的定义求得m与n的值，代入计算，再利用算术平方根定义计算即可求出值．
【详解】解：∵与的和是单项式，
∴与是同类项，
∴m＝5,n＝1，
∴＝16，
∴的算术平方根为＝4，
故选：C．
【点睛】此题考查了同类项的定义、算术平方根等知识，熟练掌握同类项的定义及算术平方根的求法是解题的关键．
4．B
【分析】根据无理数的定义以及实数的分类即可作出判断．
【详解】（1）带根号的数不一定是无理数，如，无理数也不一定都带根号，如，故错误，不符合题意；
（2）无理数是无限不循环小数，故正确，符合题意；
（3）零是有理数，故错误，不符合题意；
（4）数轴上的点与实数是一一对应关系，故正确，符合题意；
故选：B
【点睛】本题考查无理数的定义，知道现今学习的无理数有、开方开不尽的数，以及有规律的数是关键．
5．B
【分析】根据非负数的性质列出算式求出a、b的值，根据平方根的概念解答即可．
【详解】解：由题意得：a 1＝0，b 4＝0，
解得a＝1，b＝4，
则的平方根是．
故选：B．
【点睛】本题考查的是非负数的性质和平方根的概念，掌握当几个非负数相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0是解题的关键．
6．C
【分析】由，，进行判断即可．
【详解】解：∵，，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了实数的大小比较，算术平方根．解题的关键在于对知识的熟练掌握．
7．C
【分析】本题考查了平方根的定义，掌握平方根的定义是解题的关键，平方根：如果，则x叫做a的平方根，记作“”．根据平方根的定义即可求解，正数的平方根互为相反数．
【详解】解：∵2025的两个平方根是m和n，
∴
，
故选：C
8．D
【分析】根据第5个1米时所需要的时间等于经过5米所用时间与经过4米所用时间的差计算即可．
【详解】解：经过第5个1米的时间差为：
，
，
，
故选D．
【点睛】本题考查了无理数的估算，熟练掌握估算的基本策略和基本方法是解题的关键．
9．D
【分析】本题考查了平方根和立方根，分情况讨论是解题关键．利用平方根及立方根的定义求出x与y的值，即可确定出的值．
【详解】解：∵，
∴的平方根是，
即，
∵64的立方根是，
∴，
当时，，
当时，．
故选：D．
10．A
【分析】考查了算术平方根和估算无理数的大小，根据三角形面积公式，求阴影部分的面积个三角形面积的和，再求其算术平方根；把a的值代入中，表示出x和y，再代入求值即可．
【详解】解：由题意得：，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴．
故选：A．
11．3
【分析】
本题主要考查了无理数的知识，理解无理数的定义和常见形式是解题关键．无理数是指无限不循环小数，常见的三种形式为：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有的数．据此即可获得答案．
【详解】解：，
∴无理数有0.1010010001…（每两个1之间多一个0），，共3个．
故答案为：3．
12．/
【分析】本题考查了求一个数的立方根．如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根；正数有一个正的立方根，负数有一个负的立方根，0的立方根是0．据此求解即可．
【详解】解：的立方根是，则．
故答案为：．
13．9
【分析】本题考查无理数的估算，先估算，然后写出符合要求的整数即可解题．
【详解】解：∵，
∴，
∴绝对值小于的所有整数有，，，，，共个，
故答案为：9．
14．
【分析】根据只有符号不同的两个数叫做互为相反数进行解答.
【详解】的相反数是，
故答案为：.
【点睛】此题考查相反数，解题关键在于掌握其定义.
15．
【详解】，，．
，，，
．
16．
【分析】本题主要考查了立方根的实际应用，解答本题的关键在于熟练掌握立方根的概念及运算．根据球的体积计算公式，进行求解即可．
【详解】解：设容器的半径是，则
，
解得，
故答案为：．
17．
【分析】本题主要考查实数、平方根与立方根的应用，解题的关键是熟练掌握运算程序；根据题中所给的运算程序可直接进行求解．
【详解】解：由题可得：
64的立方根为4，4的算术平方根为2，2的立方根是；
故答案为．
18．(1)
(2)
【分析】本题考查了实数的混合运算、二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则、立方根，算术平方根，绝对值和有理数的乘方是解题的关键．
（1）先根据乘方的意义、立方根、算术平方根和绝对值化简，再计算即可；
（2）先根据二次根式的乘法、绝对值和立方根化简，再合并同类项即可．
【详解】（1）解：原式，
．
（2）解：原式
．
19．(1)或．
(2)
【分析】本题考查了利用平方根和求立方根解方程，解一元一次方程，熟知求立方根和求平方根的方法解方程是解题的关键．
（1）根据求平方根的方法解方程即可；
（2）根据求立方根的方法解方程即可.．
【详解】（1）解：，
或，
或．
（2）解：，
，
，
，
．
20．（1）x=1，y=12；（2）±6．
【分析】（1）根据算术平方根、立方根的定义解答，由算术平方根的定义，可得x+12=()2，求解可得到x的值；由立方根的定义，得到2x+y-6=23，将x的值代入2x+y=14，即可得到y的值；
（2）先求出3xy的值，再结合平方根的定义即可求出3xy平方根．
【详解】解：（1）∵x+12的算术平方根是 ，2x+y﹣6的立方根是2．
∴x+12= =13，2x+y﹣6=23=8，
∴x=1，y=12
（2）解：当x=1，y=12时，3xy=3×1×12=36，
∵36的平方根是±6，
∴3xy的平方根±6．
【点睛】本题考查了算术平方根、立方根的性质，解决本题的关键是熟记平方根、立方根的定义，能熟练运用它们的逆运算是解本题的关键．
21．(1)
(2)
【分析】本题考查了实数与数轴，绝对值的意义，算术平方根的性质，熟练掌握绝对值的意义和算术平方根的性质是解题的关键．
（1）先根据数轴上点的位置判断出实数、的范围，进一步判断出绝对值和根号里面式子的正负，再利用绝对值和算术平方根的代数意义化简，去括号合并同类项，即可求解；
（2）根据绝对值和算术平方根的非负性，求出实数、的值，再代入求出的值，最后求立方根即可．
【详解】（1）解：根据数轴可得，，，
所以，
即，，
所以原式
；
（2）解：因为，，，
所以，，
所以，，
所以，
故的立方根为：．
22．（1）成立；（2）-1
【试题分析】举例：8和-8的立方根分别为2和-2. 2和-2互为相反数，则8和-8也互为相反数；
（2）根据（1）的结论，1-2x+3x-5=0,解得：x=4,则=1-2=-1.
【试题解析】（1）8和-8的立方根分别为2和-2；2和-2互为相反数，则8和-8也互为相反数（举例符合题意即可），成立.
（2）根据（1）的结论，1-2x+3x-5=0,解得：x=4,则=1-2=-1.故答案为-1.
【方法点睛】本题目是一道关于立方根的拓展题目，根据立方根互为相反数得到这两个数互为相反数；反之也成立.运用了从特殊的到一般的数学思想.
23．(1)小红所搭积木的棱长为
(2)小明搭的积木高
【分析】本题考查了立方根的实际应用，平方根的实际应用．
（1）根据正方体的体积公式，列出方程，根据求立方根的方法解方程，即可求出小红所搭积木的棱长；
（2）根据长方体的体积公式，列出方程，根据求平方根的方法解方程，求出小明所搭积木的高，即可求解．
【详解】（1）解：设小红所搭积木的棱长为，
由题意，得，
解得，
小红所搭积木的棱长为．
（2）解：设小明所搭积木的长和高为，
由题意，得，
可求出（负值已舍去），
小明所搭积木的高为．
，
小明搭的积木高．
24．(1)3，
(2)
(3)
【分析】本题考查了估算无理数的大小，二次根式的加减法、相反数，解题的关键是确定无理数的整数部分．
（1）估算出，即可确定整数部分为，根据定义，即可求出小数部分为；
（2）估算出，即可得出，即可确定和的值，再代入计算即可；
（3）估算出，即可得出，即可确定和的值，再代入计算即可．
【详解】（1）解：，
，
即的整数部分为，
则小数部分为；
故答案为：，．
（2）解：，
，
，
，，
．
（3）解：，
，
．
，其中是整数，且，
，，
，
的相反数为．
25．(1)的长度为，理由见解析
(2)
(3)
【分析】本题考查了实数与数轴，利用平方根求解方程，三角形的面积公式等．
（1）根据正方形的面积公式和三角形的面积公式，即可求出正方形的面积，根据求一个数的平方根的方法即可求解；
（2）根据题意可得，即可得出点表示的数；
（3）根据题意得出，结合图形和三角形的面积公式，即可求解．
【详解】（1）解：的长度为．
理由：根据题意，得，
．
（2）解：∵，
∴，
故点表示的实数是．
故答案为：．
（3）解：，三角形中边上的高为，
．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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