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【真题真练】人教版八年级下册期末综合进阶提升卷
数 学
（时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2023八下·临汾期末）依据所标数据，下列图形中一定为平行四边形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2024八下·满城期末）在中，的对边分别是a，b，c，下列条件中，不能判定是直角三角形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2023八下·伊通期末）在某次数学质量监测中，八年一班数学老师随机抽取了10份试卷，成绩表中所显示的分数如下：105，101，109，101，92，102，97，101，99，103，则这组数据的中位数是（　　）
A．101 B． C．97 D．102
4．（2021八下·汽开区期末）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（）
A． B． C． D．
5．（2017八下·西安期末）适合下列条件的△ABC中，直角三角形的个数为（　　）
①a= ，b= ，c= ②a=6，∠A=45°；③∠A=32°，∠B=58°；④a=7，b=24，c=25 ⑤a=2，b=2，c=4．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
6．（2023八下·蒙山期末）下列二次根式的运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
7．（2024八下·奉化期末）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．西山区某中学组织学生参加“我阅读，我成长”为主题的演讲比赛，以下是根据进入决赛的15位选手的比赛成绩制成的统计表：
成绩（分） 88 90 92 95 96 98
人数 1 2 3 4 3 2
这些学生演讲比赛成绩的中位数和众数分别是（　　）
A．92，95 B．95，98 C．95，95 D．96，95
8．（2024八下·开封期末）在平面直角坐标系中，长为2的线段（点D在点C的右侧）在x轴上移动，y轴上的点A、B坐标分别为、，连接，，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．
9．（2022八下·五华期末）实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（　　）
A． B． C． D．0
10．（2023八下·邻水期末）如图，中，，，．以，为直角边，构造；再以，为直角边，构造；……，按照这个规律，在中，点到的距离是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2023八下·万源期末）如图，△ABC中，D，E分别是BC，AC的中点，BF平分∠ABC，交DE于点F.若AB＝10，BC＝8，则EF的长是　 　．
12．（2023八下·徐汇期末）直线：与直线：在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为　 　．
13．（2023八下·岳池期末）古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所得两长方形面积相等”（如图1），问题解决：如图2，点P是矩形的对角线上一点，过点P作分别交，于点E，F，连接，．若，，则图中阴影部分的面积和为　 　．
14．（2023八下·明水月考）在平行四边形ABCD中，若∠B＋∠D＝210°，则∠A度数为　 　．
15．（2023八下·通榆期末）某汽车油箱中原有油量为，每km的耗油量为0.07升，油箱中的余油量（L）与汽车行驶里程数（km）之间的函数关系式是　 　（）．
16．（2023八下·柳州期末）已知一次函数（为常数，，若当时有，则的取值范围是　 　.
三、综合题(本大题有8个小题，每小题9分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2023八下·前郭尔罗斯期末）如图，把一些相同规格的碗整齐地叠放在水平桌面上，这摞碗的高度与碗的数量的关系如下表：
碗的数量（个） 2 3 4 …
高度 10.2 11.4 12.6 …
（1）若把6个这样的碗整齐地叠放在水平桌面上时，这摞碗的高度是　 　cm；
（2）设摞碗的数量为（个），摞碗的高度为，求与之间的函数关系式；
（3）这摞碗的高度是否可以为，如果可以，求这摞碗的数量；如果不可以，请说明理由.
18．（2023八下·新昌期末）如图1，两张纸片正方形与正方形拼在一起，在边上取，沿，分别剪一刀，将拼至，拼至，无缝隙无重叠，如图2．
（1）求证：．
（2）求证：四边形是正方形．
（3）仿照题中的剪拼方法，剪两刀把图3中两个正方形剪拼成一个更大的正方形，在图中作出剪拼线，并完成拼图．
19．（2023八下·东莞期末）如图，已知一次函数，完成下列问题：
（1）图象与x轴的交点坐标是　 　，与y轴的交点坐标是　 　；
（2）在所给直角坐标系中画出此函数的图象；
（3）根据图象回答：当x　 　时，．
20．（2023八下·永善期末） 2023年6月26日是“国际禁毒日”，某中学组织七、八年级全体学生开展了“禁毒知识”网上竞赛活动.为了解竞赛情况，从两个年级各随机抽取了10名同学的成绩(满分为100分)，收集数据为：
七年级90，95，95，80，90，80，85，90，85，100；
八年级85，85，95，80，95，90，90，90，100，90。
整理数据：
80 85 90 95 100
七年级 2 2 3 2 1
八年级 1 2 4 a 1
分析数据：
平均数 中位数 众数 方差
七年级 89 b 90 39
八年级 c 90 d 300
根据以上信息回答下列问题：
（1）请直接写出表格中a，b，c，d的值；
（2）通过数据分析，你认为哪个年级的成绩比较好？请说明理由；
（3）该校七、八年级共有600人，本次竞赛成绩不低于90分的为“优秀”。估计这两个年级共有多少名学生达到“优秀”？
21．（2022八下·大同期末）暑假将至，某游泳馆面向学生推出暑期优惠活动，活动方案如下．
方案一：购买一张学生暑期专享卡，每次游泳的费用按六折优惠．
方案二：不购买学生暑期专享卡，每次游泳的费用按八折优惠．
设李强暑期游泳的次数为，按照方案一所需费用为（元），按照方案二所需费用为（元），其函数图象分别如图所示．
（1）求按方案一所需费用与游泳次数的函数解析式及打折前每次游泳的费用．
（2）求按方案二所需费用与游泳次数的函数解析式．
（3）假设李强计划暑期前往该游泳馆游泳7次，选择哪种方案所需费用较少？请说明理由．
22．（2022八下·交口期末）如图，已知四边形和均是正方形，点K在上，延长到点H，使，连接．
（1）求证：；
（2）求证：四边形是正方形；
（3）若四边形的面积为10，，求点之间的距离．
23．（2023八下·云南期末）如图，矩形的顶点、分别在轴、轴的正半轴上，点的坐标为，一次函数的图象与边、分别交于、两点，点是线段上的一个动点．
（1）求证：；
（2）连结，若三角形的面积为，求点的坐标；
（3）在第问的基础上，设点是轴上一动点，点是平面内的一点，以、、、为顶点的四边形是菱形，直接写出点的坐标．
24．（2023八下·息县期末）在中，，，，设为最长边，当时，是直角三角形；当时，利用代数式和的大小关系，探究的形状按角分类．
（1）当三边分别为6、8、9时，为　 　三角形；当三边分别为6、8、11时，为　 　三角形．
（2）猜想，当　 　时，为锐角三角形；当　 　时，为钝角三角形．
（3）判断当，时，的形状，并求出对应的的取值范围．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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【真题真练】人教版八年级下册期末综合进阶提升卷
数 学
（时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2023八下·临汾期末）依据所标数据，下列图形中一定为平行四边形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：A、可得出上下两边平行，左右两边不平行，不能判定是平行四边形，故不符合题意；
B、只能得出左右两边平行，不能判定是平行四边形，故不符合题意；
C、由两组对边分别相等，则此四边形是平行四边形，故符合题意；
D、可判定上下两边平行，且上下两边不相等，不能判定是平行四边形，故不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据平行四边形的判定定理逐一判断即可.
2．（2024八下·满城期末）在中，的对边分别是a，b，c，下列条件中，不能判定是直角三角形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：A：因为，所以∠C=90°，所以△ABC是直角三角形，所以A不符合题意；
B：因为，可设∠A=3x，则∠B=4x，∠C=5x，所以3x+4x+5x=180°，所以x=15，所以∠A=45°，∠B=60°，∠C=75°，所以△ABC不是直角三角形，所以B符合题意；
C：设a=3x，则b=4x，c=5x，因为a2+b2=25x2，c2=25x2，所以a2+b2=c2，所以△ABC是直角三角形，所以C不符合题意；
D：a2+b2=12+12=2，c2=2，所以a2+b2=c2，所以△ABC是直角三角形，所以D不符合题意； 故答案为：B。
【分析】根据直角三角形的判定方法，对各选项分别进行判断，找出不能判定△ABC是直角三角形的选项即可。
3．（2023八下·伊通期末）在某次数学质量监测中，八年一班数学老师随机抽取了10份试卷，成绩表中所显示的分数如下：105，101，109，101，92，102，97，101，99，103，则这组数据的中位数是（　　）
A．101 B． C．97 D．102
【答案】A
【解析】【解答】解：将数据从小到大排列为：92，97，99，101，101，101，102，103，105，109，
∴中位数为：（101+101）÷2=101，
故答案为：A.
【分析】先将数据从小到大排列，再利用中位数的定义及计算方法求解即可.
4．（2021八下·汽开区期末）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：=2，=2，=2，=3，
所以与是同类二次根式．
故答案为：B．
【分析】根据同类二次根式的定义可得答案。
5．（2017八下·西安期末）适合下列条件的△ABC中，直角三角形的个数为（　　）
①a= ，b= ，c= ②a=6，∠A=45°；③∠A=32°，∠B=58°；④a=7，b=24，c=25 ⑤a=2，b=2，c=4．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】A
【解析】【解答】解：① ，根据勾股定理的逆定理不是直角三角形，故不是；
②a=6，∠A=45不是成为直角三角形的必要条件，故不是；
③∠A=32°，∠B=58°则第三个角度数是90°，故是；
④72+242=252，根据勾股定理的逆定理是直角三角形，故是；
⑤22+22≠42，根据勾股定理的逆定理不是直角三角形，故不是．
故选A．
【分析】计算出三角形的角利用定义判定或在知道边的情况下利用勾股定理的逆定理判定则可．
6．（2023八下·蒙山期末）下列二次根式的运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：A、，故运算错误；
B、，故运算正确；
C、，故运算错误；
D、，故运算错误.
故答案为：B.
【分析】根据二次根式的性质=|a|可判断A；根据二次根式的除法法则可判断B；根据二次根式的加法法则可判断C；根据二次根式的乘法法则可判断D.
7．（2024八下·奉化期末）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．西山区某中学组织学生参加“我阅读，我成长”为主题的演讲比赛，以下是根据进入决赛的15位选手的比赛成绩制成的统计表：
成绩（分） 88 90 92 95 96 98
人数 1 2 3 4 3 2
这些学生演讲比赛成绩的中位数和众数分别是（　　）
A．92，95 B．95，98 C．95，95 D．96，95
【答案】C
【解析】【解答】解：∵95出现的次数最多，4次，
∴众数为95；
∵，
∴中位数是第8个数据：95．
故答案为：C．
【分析】先将数据从大到小从新排列，再根据众数及中位数的定义求解．
8．（2024八下·开封期末）在平面直角坐标系中，长为2的线段（点D在点C的右侧）在x轴上移动，y轴上的点A、B坐标分别为、，连接，，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：作关于轴的对称点，
过作轴且，则，
连接交轴与点，
过作交轴于点，
四边形为平行四边形，
此时最短等于的长，
即
故选：C．
【分析】作关于轴的对称点，再过作轴且，连接交轴于点，过作交轴于点，得到四边形为平行四边形，故可知最短等于的长，再利用勾股定理即可求解．
9．（2022八下·五华期末）实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（　　）
A． B． C． D．0
【答案】A
【解析】【解答】解：由数轴可知：a＜0，b＞0，a－b＜0
∴
=
=-a－b＋a－b
=-2b
故答案为：A．
【分析】根据数轴先求出a＜0，b＞0，a－b＜0，再化简求解即可。
10．（2023八下·邻水期末）如图，中，，，．以，为直角边，构造；再以，为直角边，构造；……，按照这个规律，在中，点到的距离是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：∵，，，
由勾股定理得，
∵CB=1，∠CBO=90°，
由勾股定理得，
同理可得，
设点H到OI的距离为x，
则，
解得x=，
故答案为：B
【分析】先根据已知条件结合勾股定理即可求出BO和CO的长，同理可得，设点H到OI的距离为x，再运用等面积法即可求解。
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2023八下·万源期末）如图，△ABC中，D，E分别是BC，AC的中点，BF平分∠ABC，交DE于点F.若AB＝10，BC＝8，则EF的长是　 　．
【答案】1
【解析】【解答】解：∵△ABC中，D，E分别是BC，AC的中点，AB=10，BC＝8，
∴ DE∥AB，DE==5，BD=4
∴ ∠ABF=∠DFB
∵BF平分∠ABC
∴ ∠ABF= ∠DBF
∴ ∠DFB= ∠DBF
∴ BD=FD=4
∴ EF=DE-DF=1
故答案为：1.
【分析】本题考查角平分线和三角形中位线性质。三角形中位线平行且等于底边的一半。
12．（2023八下·徐汇期末）直线：与直线：在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：∵直线l1：y1=k1x+b与直线l2：y2=k2x的交点的横坐标为-1，
∴当x＜-1时，y2＞y1，
∴关于x的不等式k2x＞k1x+b的解集为x＜-1．
故答案为x＜-1．
【分析】由图像可知，当x=-1时，两个函数的值是相等的，再根据函数的增减性可以得出不等式k2x＞k1x+b的解集。
13．（2023八下·岳池期末）古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所得两长方形面积相等”（如图1），问题解决：如图2，点P是矩形的对角线上一点，过点P作分别交，于点E，F，连接，．若，，则图中阴影部分的面积和为　 　．
【答案】12
【解析】【解答】解：作PM⊥AD于M，交BC于N
依题意，S矩形AEPM=S矩形CFPN ∵，，
∴
∴
∴图中阴影部分的面积和为6+6=12
故答案为：12.
【分析】作PM⊥AD于M，交BC于N，依题意，S矩形AEPM=S矩形CFPN，进而根据三角形的面积公式，即可求解．
14．（2023八下·明水月考）在平行四边形ABCD中，若∠B＋∠D＝210°，则∠A度数为　 　．
【答案】75°
【解析】【解答】解：∵在平行四边形ABCD中，，
∴
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴
∴
故答案为：75°.
【分析】根据四边形内角和为360°，计算出∠A+∠B，根据平行四边形对角相等的性质求出∠A，即可求解.
15．（2023八下·通榆期末）某汽车油箱中原有油量为，每km的耗油量为0.07升，油箱中的余油量（L）与汽车行驶里程数（km）之间的函数关系式是　 　（）．
【答案】
【解析】【解答】解：由题知y=42-0.07x，即y=-0.07x+42
故答案为：y=-0.07x+42.
【分析】根据：邮箱余油量=邮箱原有油量-消耗的油量，消耗的油量= 每km的耗油量 ×汽车行驶里程，建立y与x数量关系即可。
16．（2023八下·柳州期末）已知一次函数（为常数，，若当时有，则的取值范围是　 　.
【答案】-4≤k＜1且k≠0
【解析】【解答】解：分析y1＞y2的两种极端位置，
如图1，当k最小时.把x=1代入y2中，y2=-2，此时两直线的交点为P（1，-2）.把P的坐标代入y1中，得到-2=k+2，所以k=-4.
如图2，当k取最大时，则两直线平行，k=1.
所以k的取值范围为-4综上所述，-4【分析】当k的值变化过程中，y1的直线随之绕着点（0，2）发生转动.分析y1＞y2时，结合图像进行分类讨论作图，画出k取到最大值和最小值两种情况进行求解.
三、综合题(本大题有8个小题，每小题9分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2023八下·前郭尔罗斯期末）如图，把一些相同规格的碗整齐地叠放在水平桌面上，这摞碗的高度与碗的数量的关系如下表：
碗的数量（个） 2 3 4 …
高度 10.2 11.4 12.6 …
（1）若把6个这样的碗整齐地叠放在水平桌面上时，这摞碗的高度是　 　cm；
（2）设摞碗的数量为（个），摞碗的高度为，求与之间的函数关系式；
（3）这摞碗的高度是否可以为，如果可以，求这摞碗的数量；如果不可以，请说明理由.
【答案】（1）15
（2）解：∵每摞1个碗的高度增加1.2cm，∴1个碗时高度为，
∴个碗的高度为，
∴与之间的函数关系式为.
（3）解：可以.当时，，解得，
∴这摞碗的数量是9个.
【解析】【解答】（1） 11.4- 10.2 =1.2，
∴ 6个这样的碗整齐地叠放在水平桌面上时，这摞碗的高度为12.6+2×1.2=15cm；
故答案为：15；
【分析】（1）先求出每摞一个碗增加的高度，再利用4个碗时的高度加上增加两个碗的高度即可；
（2）易求1个碗时高度为， 由个碗的高度=一个碗的高度+（x-1）个增加的高度即得 与之间的函数关系式；
（3）将 代入(2)中解析式，求出x值是否为整数即可判断.
18．（2023八下·新昌期末）如图1，两张纸片正方形与正方形拼在一起，在边上取，沿，分别剪一刀，将拼至，拼至，无缝隙无重叠，如图2．
（1）求证：．
（2）求证：四边形是正方形．
（3）仿照题中的剪拼方法，剪两刀把图3中两个正方形剪拼成一个更大的正方形，在图中作出剪拼线，并完成拼图．
【答案】（1）证明：四边形和是正方形，
，，，
，
，，
在和中，
，
，
（2）证明：拼至，拼至，
，，
由（1）可知，，
，，
，
四边形是菱形，
，
，
，
，
四边形是正方形；
（3）解：如图所示，
取，沿，分别剪一刀，
将拼至，拼至，无缝隙无重叠，
由（1）（2）得证法可知正方形即为所求．
【解析】【分析】（1）由正方形的性质可得BE=EF，AD=AB，∠A=∠E=90°，结合AM=BE可得AM=EF，AD=AB=AM+MB=BE+MB=EM，利用SAS证明△ADM≌△EMF，据此可得结论；
（2）由题意可得DM=DN，MF=FN，由全等三角形的性质可得∠DMA=∠MFE，DM=MF，进而推出四边形DMFN为菱形，由余角的性质可得∠MFE+∠FME=90°，则∠DMA+∠FME=90°，结合平角的概念可得∠DMF=90°，然后根据正方形的判定定理进行证明；
（3）取BM=AE，沿CM、MF分别剪一刀，将△EFM拼至△GFN，△CBM拼至△CDN，无缝隙无重叠，由（1）（2）得证法可知正方形FMCN即为所求.
19．（2023八下·东莞期末）如图，已知一次函数，完成下列问题：
（1）图象与x轴的交点坐标是　 　，与y轴的交点坐标是　 　；
（2）在所给直角坐标系中画出此函数的图象；
（3）根据图象回答：当x　 　时，．
【答案】（1）(-3，0)；(0，2)
（2）解：函数图象如图所示：
（3）
【解析】【解答】（1）∵一次函数 ，
∴当y=0时，.
∴图像与x轴的交点为.
当x=0时，.
∴图像与y轴的交点为.
（3）根据第（2）问中的图像，观察图像可知，
当时，.
【分析】（1）分别令y=0和x=0即可求出图像与x轴和y轴的交点；
（2）根据图像与x轴和y轴的交点坐标，进行描点即可画出图像；
（3）观察图像，即可求出时，x轴的取值范围.
20．（2023八下·永善期末） 2023年6月26日是“国际禁毒日”，某中学组织七、八年级全体学生开展了“禁毒知识”网上竞赛活动.为了解竞赛情况，从两个年级各随机抽取了10名同学的成绩(满分为100分)，收集数据为：
七年级90，95，95，80，90，80，85，90，85，100；
八年级85，85，95，80，95，90，90，90，100，90。
整理数据：
80 85 90 95 100
七年级 2 2 3 2 1
八年级 1 2 4 a 1
分析数据：
平均数 中位数 众数 方差
七年级 89 b 90 39
八年级 c 90 d 300
根据以上信息回答下列问题：
（1）请直接写出表格中a，b，c，d的值；
（2）通过数据分析，你认为哪个年级的成绩比较好？请说明理由；
（3）该校七、八年级共有600人，本次竞赛成绩不低于90分的为“优秀”。估计这两个年级共有多少名学生达到“优秀”？
【答案】（1）解：a=2，b=90，c=90，d=90
（2）解：七、八年级学生成绩的中位数和众数相同，但八年级的平均成绩比七年级高，且从方差看，八年级学生成绩更整齐，综上，八年级的学生成绩好
（3）解：(人)，
∴估计该校七、八年级这次竞赛达到优秀的约有390人.
【解析】【解答】(1)解：观察八年级95分的有2人，故；
七年级的中位数为，故
八年级的平均数为：
，故
八年级中90分的最多，故
【分析】（1）根据平均数、中位数、众数的定义分别求解即可；
（2）从平均数、中位数、众数和方差等方面进行分析即可；
（3）利用样本中成绩不低于90分的人数所占的比例，再乘以600即得结论.
21．（2022八下·大同期末）暑假将至，某游泳馆面向学生推出暑期优惠活动，活动方案如下．
方案一：购买一张学生暑期专享卡，每次游泳的费用按六折优惠．
方案二：不购买学生暑期专享卡，每次游泳的费用按八折优惠．
设李强暑期游泳的次数为，按照方案一所需费用为（元），按照方案二所需费用为（元），其函数图象分别如图所示．
（1）求按方案一所需费用与游泳次数的函数解析式及打折前每次游泳的费用．
（2）求按方案二所需费用与游泳次数的函数解析式．
（3）假设李强计划暑期前往该游泳馆游泳7次，选择哪种方案所需费用较少？请说明理由．
【答案】（1）解：设，根据题意，得
，
解得，
∴所需费用与x之间的关系式为．
打折前的健身费用为15÷0.6=25（元）；
（2）解：设与x的函数关系式为，
∴，
∴；
（3）解：方案一，理由如下：
当时，
；
．
∵，
∴选择方案一费用更少．
【解析】【分析】（1）结合函数图象，利用待定系数法求出直线解析式即可；
（2）根据题意直接求出函数解析式即可；
（3）将x=7分别代入和，再求出y的值并比较大小即可。
22．（2022八下·交口期末）如图，已知四边形和均是正方形，点K在上，延长到点H，使，连接．
（1）求证：；
（2）求证：四边形是正方形；
（3）若四边形的面积为10，，求点之间的距离．
【答案】（1）证明：∵四边形和都是正方形，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）证明：∵，
∴．
∴，
由（1）同理可得：，
∴，
∴四边形是正方形；
（3）解：∵四边形的面积为10，
又由（2）知四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故点之间的距离为5．
【解析】【分析】（1）根据四边形和都是正方形证明，则；
（2）根据 可得则，由（1）同理可得：，则， 四边形是正方形；
（3） 根据四边形的面积为10和四边形是正方形，可得， 根据勾股定理可得，， 由可得， 则， 故点之间的距离为5。
23．（2023八下·云南期末）如图，矩形的顶点、分别在轴、轴的正半轴上，点的坐标为，一次函数的图象与边、分别交于、两点，点是线段上的一个动点．
（1）求证：；
（2）连结，若三角形的面积为，求点的坐标；
（3）在第问的基础上，设点是轴上一动点，点是平面内的一点，以、、、为顶点的四边形是菱形，直接写出点的坐标．
【答案】（1）证明：矩形的顶点、分别在轴、轴的正半轴上，点的坐标为，
，
当时，，
点，
，
对于，令，则，
点，
，
（2）解：点是线段上的一个动点，则设点，
三角形的面积，解得，
故点的坐标为
（3）解：点的坐标为或或或．
【解析】【解答】解：（3）设点，点，由、的坐标知，，
当是边时，
点向右平移个单位向上平移个单位得到点，同样，点向右平移个单位向上平移个单位得到点，
则且，
当且时，，解得或，
故点的坐标为或；
当且时，，
同理可得点的坐标为；
当是对角线时，
由中点公式得：且，
此时，，即，
联立并解得，
故点的坐标为；
综上，点的坐标为或. 或或
【分析】（1）由B的坐标可得AB=21，由 可求出 ， ， 从而求出BE=AB-AE=15，OD=15，继而得解；
（2） 设点 ，根据 三角形的面积 ，据此求出m值，即得结论；
（3）设点，点，由、的坐标，可求， 分两种情况：当是边时， 当是对角线时，利用平行四边形的性质中点坐标公式分别求解即可.
24．（2023八下·息县期末）在中，，，，设为最长边，当时，是直角三角形；当时，利用代数式和的大小关系，探究的形状按角分类．
（1）当三边分别为6、8、9时，为　 　三角形；当三边分别为6、8、11时，为　 　三角形．
（2）猜想，当　 　时，为锐角三角形；当　 　时，为钝角三角形．
（3）判断当，时，的形状，并求出对应的的取值范围．
【答案】（1）锐角；钝角
（2）；
（3）解：为最长边，，
，
，
，即，，
当时，这个三角形是锐角三角形；
，即，，
当时，这个三角形是直角三角形；
，即，，
当时，这个三角形是钝角三角形．
【解析】【解答】解：（1）直角三角形的两直角边分别为6、8时，斜边长为=10，
∴ 当三边分别为6、8、9时，△ABC为锐角三角形；
当三边分别为6、8、11时，△ABC为钝角三角形；
故答案为：锐角、钝角；
（2）猜想： 当＞时，为锐角三角形 ；
当＜时，为钝角三角形 ；
故答案为：＞，＜；
【分析】（1）由勾股定理求出两直角边长为6、8时的斜边的长，再和9比较，即可做出判断即可；
（2）根据（1）结论进行猜想即可；
（3）根据三角形三边关系，求出第三边c的范围，由勾股定理求出两直角边分别为a、b时， ，分三种情况：，，，据此分别求出c的范围即可.
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