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期末复习卷-2024-2025学年数学八年级下册人教版
一、单选题
1．某公司25名营销人员某月销售某种商品的数量如下（单位：件）：
月销售量 60 50 40 35 30 20
人数 1 4 4 6 7 3
该公司营销人员该月销售量的中位数，众数分别为（ ）
A．37.5件，35件 B．35件，35件
C．37.5件，30件 D．35件，30件
2．下列长度的三条线段首尾相连能组成直角三角形的是（ ）
A．4，5，6 B．1，2，3 C．7，24，25 D．9，37，38
3．对于一次函数的相关性质，下列描述错误的是（ ）
A．函数图象经过第一、三、四象限
B．图象与y轴的交点坐标为
C．y随x的增大而增大
D．图象与坐标轴围成三角形的面积为8
4．已知的三边长分别是3、4、5，则该三角形斜边上的中线长是（ ）
A．2 B．2.5 C．3 D．3.5
5．函数的自变量的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
6．如图，在菱形中，对角线与相交于点，于点，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．已知一次函数和在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于的方程组的解为（　　）
A． B． C． D．
8．如图，在中，，是边上的高线，垂直平分，分别交，，于点，，．若，，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．一组数据5，2，5，7，6的方差为 ．
10．已知m，n为实数，且满足．若的两边长分别为m和n，则它的第三边长为 ．
11．若函数是正比例函数，则k满足的条件为 ．
12．如图，在平面直角坐标系中，点，，点在轴的正半轴上，连接、．若，则点的坐标是 ．
13．在中，，，在射线上一动点D，从点B出发，以1厘米/秒的速度匀速运动，若点D运动t秒时，以A、D、B为顶点的三角形恰为等腰三角形，则所用时间t的值为 秒．
14．函数与的图象如图所示，两图象交点的横坐标为，则二元一次方程组的解是 ．
15．如图，在矩形纸片中，，折叠纸片，使点A落在边上的点处，折痕交边于点，交边于点S，P为的中点，连接，则线段长度的取值范围是 ．
16．如图，一个圆柱的高是，底面圆的周长是，一只蚂蚁想从下底面的点A处沿圆柱侧面爬到上底面的点B处，则蚂蚁需要爬行的最短路程是 ．
三、解答题
17．计算：
(1)；
(2)．
18．如图在中，为锐角，作交的延长线于点D．
(1)若，求的度数．
(2)求证：．
(3)已知， ，求的值．
19．如图，一次函数的图象与轴交于点．
(1)求函数的表达式；
(2)在该一次函数图象上有一点到轴的距离为6，求点的坐标．
20．甲、乙两名队员练习射击，每次射击的环数为整数，两人各射击10次，其成绩分别绘制成如图①、图②所示的统计图，两幅图均有部分被污染．
将两名队员10次的成绩整理后，得到如下表：
姓名 平均数 中位数 众数 方差
甲 7 7 1.8
乙 7 8 4.2
(1)甲射中7环的次数为_______；
(2)统计表中________，________；
(3)哪个队员的发挥更稳定？请说明理由．
21．在一条笔直的道路上依次有A，B，C三地，A地与C地的距离为320千米．乙车从B地驶往C地，同时甲车从B地驶往A地，到达A地后因故停留1小时，然后按原路原速返回B地并立即驶往C地，结果甲车比乙车早2小时到达C地后停车修整．两车均匀速行驶，图是两车距A地的距离y（单位：千米）与出发的时间x（单位：小时）之间的函数图象（甲车的函数图象不完整）．
(1)求乙车从B地到C地的行驶过程中y关于x的表达式（不写自变量的取值范围）；
(2)甲车的速度为______________千米/小时；当______________时，甲车刚好到达C地；在图中补充甲车从A地到C地行驶过程中，y关于x的函数图象；
(3)当两车从B地出发后，第一次相遇时，求相遇点与A地的距离；
(4)乙车到达C地前，直接写出当两车之间相距100千米时x的值．
22．问题背景：在中，，，，求这个三角形的面积．佳佳同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1）（即三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示，这样不需求的高，而借用网络就能计算它的面积．
(1)请你将的面积直接填写在横线上： ；
(2)在图2中画，使，，，判断这个三角形形状，并说明理由．
(3)在图3中，画一个直角三角形，使它的一边长是有理数．
23．如图，正比例函数与一次函数的图象互相平行，且一次函数图象经过点，与轴相交于点．
(1)求一次函数的表达式；
(2)求的长；
(3)在轴上是否存在一点，使得为等腰三角形．如果存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标．
24．综合与实践
【阅读理解】材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．善于思考的小明进行了以下探索：
设（其中，，，均为整数），则有．，．这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法，请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
【实践探究】（1）当，，，均为正整数时，若，用含，的式子分别表示、，得__________，__________；
【拓展延伸】（2）利用所探索的结论，若我们限定的取值范围是，写出所有的正整数，，，组合，使得成立．
（3）若，且，，均为正整数，求的值．
《期末复习卷-2024-2025学年数学八年级下册人教版》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D C D B B B B A
1．D
【分析】本题主要考查众数和中位数，解题的关键是掌握众数和中位数的定义．
根据中位数和众数的定义求解即可．
【详解】解：∵最中间的数据为第13名销售人员的销售量为 35， ，
∴这 25 名销售人员在该月销售量的中位数是35，
∵出现的次数最多
∴众数为 30 ．
故选：D．
2．C
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，熟记勾股定理的逆定理是解题的关键．
如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形是直角三角形，由此解答即可．
【详解】解：A、，这三条线段长不能组成直角三角形，故此选项不符合题意；
B、，这三条线段长不能组成直角三角形，故此选项不符合题意；
C、，这三条线段长能组成直角三角形，故此选项符合题意；
D、，这三条线段长不能组成直角三角形，故此选项不符合题意；
故选：C．
3．D
【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，与坐标轴交点的问题等知识点，熟练掌握知识点是解题的关键．
根据一次函数的图象与性质，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象与坐标轴交点以及三角形面积公式进行分析判断．
【详解】解：A、∵，∴函数图象经过第一、三、四象限，说法正确，不符合题意；
B、当，则图象与y轴的交点坐标为，说法正确，不符合题意；
C、，则y随x的增大而增大，说法正确，不符合题意；
D、当，则，则，因此图象与轴交于，而由上知图象与y轴的交点坐标为，故面积为，故说法错误，符合题意，
故选：D．
4．B
【分析】本题考查勾股定理逆定理，斜边上的中线，根据勾股定理逆定理，得到为直角三角形，再根据斜边上的中线等于斜边的一半，进行求解即可．
【详解】解：∵的三边长分别是3、4、5，，
∴是直角三角形，且边长为的边为斜边，
∴该三角形斜边上的中线长是；
故选B．
5．B
【分析】本题主要考查了自变量取值范围的判断，
根据题意可知，即可得出答案．
【详解】解：根据题意，得，
解得．
故选：B．
6．B
【分析】本题考查了菱形的性质、直角三角形的性质等知识；熟练掌握菱形典型在，求出是解题的关键．根据菱形的性质和已知条件可得，进而根据得出，进而得出的度数，即可求解．
【详解】解：∵四边形是菱形，
∴，，
∴
∵，
∴
∴
故选：B．
7．B
【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标求解．
【详解】解：∵一次函数和的图象的交点坐标为，
∴关于x，y的方程组的解是．
故选：B．
8．A
【分析】此题主要考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理等知识，在上截取，连接，证明是等腰直角三角形，则，，再证明得，则，进而得，证明是等腰直角三角形，由勾股定理得，然后根据即可得出的长，熟练掌握等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质是解决问题的关键．
【详解】解：在上截取，连接，如图所示：
∵垂直平分，
，，
∴是等腰直角三角形，
，
由勾股定理得：，
在中，是边上的高线，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
是等腰直角三角形，
由勾股定理得：，
，
．
故选：A．
9．2.8
【分析】本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的定义与计算公式．先计算出这组数据的平均数，再根据方差的定义列式计算即可．
【详解】解：这组数据的平均数为，
这组数据的方差为，
故答案为：2.8．
10．5或
【分析】本题考查了算术平方根的非负数的性质和勾股定理．先由非负数的性质求出，，由于题中直角三角形的斜边不能确定，故应分4是直角三角形的斜边和直角边两种情况讨论．
【详解】解：∵，
∴，，
∴，，
即这个直角三角形的两边长分别为3和4．
①当4是此直角三角形的斜边时，
则由勾股定理得另一直角边为，
②当4是此直角三角形的直角边时，
则由勾股定理得斜边为：．
故答案为：5或．
11．
【分析】本题考查正比例函数的定义，解题的关键是牢记正比例函数的表达式及系数的限制条件．
根据正比例函数的定义，确定其表达式中系数需满足的条件，进而求解的取值．
【详解】正比例函数的一般形式为（是常数，），
对于函数，要使其为正比例函数，则，
解不等式，可得，
故答案为：．
12．
【分析】本题考查了勾股定理、平面直角坐标系中两点之间的距离．设点的坐标为，根据点的坐标为，可得：，利用勾股定理可得：，根据可得关于的方程，解方程求出的值即可．
【详解】解：设点的坐标为，则，
点的坐标为，
，
又点的坐标为，
，
在中，，
，
，
，
两边同时平方可得：，
解得：，
点的坐标为．
故答案为： ．
13．，或
【分析】求出当是等腰三角形时的长，用其除以点D运动的速度即可，注意分情况讨论．此题考查勾股定理，等腰三角形的定义和性质，分情况讨论和用勾股定理列方程是关键．
【详解】解：分三种情况：
如下图1所示，当时．
∵，
∴，
又，
在中，由勾股定理得
，
解得；
除以点D运动的速度得所用时间t为秒；
如下图2所示，当时．
∴，
除以点D运动的速度得t为秒；
如下图3所示，当时．
∵，
∴，
∴，
除以点D运动的速度得t为秒．
综上所述，以A、D、B为顶点的三角形恰为等腰三角形，D所用时间t为秒、秒或秒．
故答案为：，或．
14．
【分析】本题考查了两直线交点求二元一次方程组的解，理解图示中交点的含义是解题的关键．
根据两直线交点的横坐标可得两直线交点坐标，由此即可得到二元一次方程组的解．
【详解】解：函数与两图象交点的横坐标为，
∴，
∴交点坐标为，
原二元一次方程变形得，即两线联立的方程组，
∴二元一次方程组的解是，
故答案为： ．
15．
【分析】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，折叠的性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
根据题意，由折叠的性质以及直角三角形的性质，知，分以下两种情况当时，最长， 最长；当时，最短，最短，分别讨论，设，则，结合勾股定理即可得出线段长度的取值范围，线段长度的取值范围即可求解．
【详解】由折叠的性质可知：，
在中，P为的中点
，
由题可得：当时，最长，最长值为6，如下图：
当时，最短，如下图：
设，则，
在中，
，，
，
，
在中，由勾股定理得：，
解得：，
，
．
16．15
【分析】本题考查了圆柱的侧面展开，最短路径问题，勾股定理，先将圆柱侧面展开，再根据两点之间线段最短可知的长即蚂蚁爬行的最短路程，再利用勾股定理求解即可．
【详解】、
解：圆柱的展开图如图：
根据题意，，，，
∴，
即蚂蚁需要爬行的最短路程是，
故答案为：15．
17．(1)
(2)
【分析】（1）关键二次根式加减乘除的混合运算计算即可；
（2）根据二次根式混合运算，分母有理化计算即可．
本题考查了二次根式的混合运算，分母有理化，熟练掌握运算法则是解题的关键．
【详解】（1）解：
．
（2））
．
18．(1)
(2)见解析
(3)
【分析】本题主要考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理、直角三角形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．
（1）根据题意求出的度数，再根据，得出即可求出；
（2）设，根据题意表示出的度数，再根据，表示出，即可求出；
（3）过C作于E，为等腰直角三角形，根据题意得到和，再利用勾股定理计算即可．
【详解】（1）解： ∵，
∴，
又∵ ，
∴，
∴；
（2）证明：设，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
（3）图下图，过C作于E，
∵，
∴，
∴为等腰直角三角形，
又∵ ，
∴，
∴，
又∵ ，
∴，
∴．
19．(1)
(2)或
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练运用一次函数性质解决问题是本题的关键．
（1）把代入求解即可；
（2）由点P到x轴的距离为6，即，可得，代入解析式可求P点坐标．
【详解】（1）解：将代入表达式，
得：，
解得：
一次函数的表达式为；
（2）解：∵点到轴的距离为6，
，，
当时，，解得，
点的坐标为．
当时，，解得，
点的坐标为．
综上所述，点的坐标为或
20．(1)4
(2)；
(3)甲队员的发挥更稳定．理由见解析
【分析】本题主要考查了统计图、平均数、众数、中位数以及方差等的知识．解题的关键在于正确的处理统计图中的信息以及平均数、众数、中位数的求解．
（1）根据题意结合条形统计图，即可得到答案；
（2）根据平均数的计算公式求解a值即可；先根据众数求出乙的10次成绩中被污染的部分，对乙的10次成绩从大到小依次排序，求出第5和第6位数值的平均数即为b值；
（3）根据方差的大小与稳定性的大小的关系判断即可．
【详解】（1）解：由条形统计图可得成绩为7环的次数为（次），
故答案为：4；
（2）解：平均数，
∵乙的众数为8，
∴剩余一次的成绩为8，
将乙的10次成绩从大到小依次排序为10，9，8，8，8，7，7，6，4，3，
中位数；
（3）解：甲队员的发挥更稳定．理由如下：
在平均数相同的情况下，甲的方差更小，
甲发挥比较稳定．（答案不唯一）
21．(1)
(2)80，6
(3)224千米
(4)或
【分析】本题考查了一次函数的应用，求一次函数的解析式，正确理解甲乙两车的行驶过程是解题的关键．
（1）由题意可知图中段图象是乙车从地到地的行驶过程，由图象可知，，再利用待定系数法即可求解；
（2）结合题意，根据速度路程时间即可求解；
（3）由题意可知，甲车从地出发时，乙车已经出发了2小时，若距离出发小时，两车第一次相遇，列出方程即可求解；
（4）分四种种情况：当甲还没到时，两车之间相距100千米；当甲、乙相遇之前时，两车之间相距100千米；当甲、乙相遇之后，且甲车没有到达地时，两车之间相距100千米；当甲车到达地后，乙车还没有到，两车之间相距100千米；分别列出方程求解即可．
【详解】（1）解：由题意可知图中段图象是乙车从地到地的行驶过程，
由图象可知，，
可设，代入，，得，解得，
∴乙车从地到地的行驶过程中关于的表达式为：；
（2）由图象可知，甲车的速度为千米/小时，
甲车从地出发达到地所需时间为，
∴，
则补全函数图象如图所示，
故答案为：80，6；
（3）由题意可知，甲车从地出发时，乙车已经出发了2小时，
若距离出发小时，两车第一次相遇，
可得：，解得：，
此时，相遇点与地的距离为千米；
（4）当甲还没到时，两车之间相距100千米，可得，解得：；
当甲、乙相遇之前时，两车之间相距100千米，可得：，解得：；
当甲、乙相遇之后，且甲车没有到达地时，两车之间相距100千米，可得：，解得：（不符合题意，舍去）；
当甲车到达地后，乙车还没有到，两车之间相距100千米，可得：，解得：（不符合题意，舍去）；
综上，当两车之间相距100千米时，或．
22．(1)
(2)为直角三角形，见解析
(3)见解析
【分析】（1）利用割补法求三角形的面积即可．
（2）借助网格，结合勾股定理画图，再利用勾股定理、勾股定理的逆定理可得结论．
（3）借助网格，利用勾股定理、勾股定理的逆定理按要求画图即可．
【详解】（1）解：的面积为
故答案为：.
（2）解：如图，即为所求．
为直角三角形．
理由：∵，，，
∴，
∴，
∴为直角三角形．
（3）解：如图3，即为所求（答案不唯一）．
【点睛】本题考查作图一应用与设计作图、无理数、二次根式的应用、勾股定理、勾股定理的逆定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
23．(1)
(2)的长为
(3)点的坐标为，，，
【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，正确分类讨论是解决此题的关键．
（1）用待定系数法求解即可；
（2）先求出直线与的交点的坐标，再利用勾股定理求解即可；
（3）设点，分别求得，分及三种情况讨论即可得解．
【详解】（1）解：正比例函数与一次函数的图象互相平行，
，
一次函数图象经过点，
，
，
一次函数的表达式为；
（2）解：对于，令，得，
，
，
的长为；
（3）解：存在，设点，
，
由勾股定理得：，
，
时，
，解得：，即点的坐标为，
时，
，解得：，即点的坐标为，，
时，，解得：（舍去），即点的坐标为，
综上，点的坐标为，，，．
24．（1）（2）或或；（3）或
【分析】本题考查了完全平方公式，二次根式的混合运算，认真读题，理解题意是解题关键．
（1）根据完全平方公式展开，得，得，即可作答．
（2）由（1）得，结合，，，，均为正整数，进行分类讨论，即可作答．
（3）先得，因为，且，均为正整数，故或，即可作答．
【详解】解：（1），
∵，，，均为正整数，且
∴，
故答案为：；
（2）由（1）得，
∵，，，，均为正整数
∴当时，则，
∴，
∴；
∴当时，则（与，均为正整数相矛盾，故舍去），
∴当时，则，
∴，或，
∴，或，
综上：或或；
（3）依题意，，
∵，
∴，
∴，
∵，均为正整数，
∴或；
∴或．
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