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期末押题卷-2024-2025学年数学八年级下册北师大版
一、单选题
1．关于的分式方程的解为，则的值是（ ）
A． B．1 C． D．
2．下列航天领域的图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，中，，平分，交于点，连接，点，分别是和的中点，若的长为2.5，则的长为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．7
4．如图，点A点的横坐标为a，根据图像，判断下列说法正确的是（ ）
A．当时， B．当时，
C．当时，y随x的增大而减小 D．当时，
5．如图，在中，，点D为的中点，点E为边上一点，将沿翻折，点A的对应点为A'，当点A'落在内部（不包括边上）时，的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，把长方形纸片沿对角线折叠，设重叠部分为，那么下列说法错误的是（　　）
A．是等腰三角形，
B．和一定是全等三角形
C．折叠后得到的图形是轴对称图形
D．折叠后和一定相等
7．以下条件，能画出唯一确定的三角形的是（ ）
A． B．
C．，， D．，，
8．如图，四边形中，对角线平分，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．用不等式表示“x加上y小于6”为 ．
10．因式分解：= ．
11．如图，在等边中，点D是边上固定一点，点P是边上一动点，连接．当时，，当时，有最小值．则线段的长为 ．
12．如图，在中，，，平分，点D在射线上，连接．当是等腰三角形时，的度数是 ．
13．如图，在中，，，垂足为点，若，，则和的面积之比为 ．
14．已知，且，求的值为 ．
15．如图，在中，，的垂直平分线分别交和于点D和点M，的垂直平分线分别交和于点E和点N，连接，则的度数为 ．
16．若关于x的不等式组有且只有两个奇数解，且关于y的分式方程，则所有满足条件的整数m的积是 ．
三、解答题
17．（1）解不等式组：；
（2）解方程：．
18．先化简，再从1，中选一个合适的数作为x的值代入求值．
19．已知实数a，b满足．
(1)求代数式的值；
(2)求代数式的值．
20．如图，在中，，点D、E在边BC上，且．
(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
21．近年来光伏建筑一体化广受关注．某社区拟修建，两种光伏车棚．已知修建个A种光伏车棚需投资万元，个种光伏车棚需投资万元，若修建，两种光伏车棚共个，要求修建的种光伏车棚的数量不少于修建的种光伏车棚数量的倍．设修建种光伏车棚个，修建车棚总费用为万元．
(1)求出（万元）关于（个）的函数关系式，并求出自变量的取值范围；
(2)修建多少个种光伏车棚时，可使投资总额最少？最少投资总额为多少万元？
22．在中，，，是线段上任一点（不与重合），作交于，是延长线上一点，连结交于，．
(1)求证：；
(2)过作，若，
①证明：；
②求的长（结果不化简）．
23．【阅读材料】把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题中都有着广泛的应用．
例如：①用配方法因式分解：．②求的最小值．
解：原式
；
解：原式
；
，
，
即的最小值为2．
请根据上述材料解决下列问题：
(1)当为何值时，多项式有最小值？请求出这个最小值；
(2)若，求的值；
(3)证明：关于的二次三项式在实数范围内不能因式分解．
24．劳动课上，老师要将一块平行四边形的试验田均分给甲乙两组进行花卉栽培，且试验田中的灌溉点O在分界线上，以满足甲乙两组共同使用灌溉点．
(1)如图1，在中，老师决定把相对的两块三角形试验田（与）分给甲组，剩下的部分分给乙组．方案公布后，两个小组的同学议论纷纷，有的认为这样不公平．在学习平行四边形的性质之后，你认为这种方案公平吗？请说明理由．
(2)如图2，你能否找到一种仅借助直尺将试验田（）分成两块的方法，使两个小组分得的试验田一样大，并且共用灌溉点？请在图2上画出来．
《期末押题卷-2024-2025学年数学八年级下册北师大版》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A B B D A D C B
1．A
【分析】本题主要考查分式方程的解，解题的关键是掌握分式方程的解的概念．
依据题意，把分式方程转化为整式方程，再将代入求解可得．
【详解】方程两边都乘以，得：，
将代入，得：，
．
故选：A．
2．B
【分析】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
【详解】解∶A．原图不是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B．原图既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
C．原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D．原图不是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：B．
3．B
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、三角形中位线的性质、等腰三角形的判定与性质．首先根据平行四边形的性质可得，，再结合角平分线的定义和平行线的性质证明为等腰三角形，易得，然后结合点，分别是和的中点，易得是的中位线，结合三角形中位线的性质可得，即可获得答案．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵点，分别是和的中点，
∴是的中位线，
∴．
∴，
故选：B．
4．D
【分析】本题考查了一次函数的图像与性质，一次函数与不等式的关系，熟练掌握知识点，利用数形结合思想是解题的关键．
根据一次函数与不等式的关系即可判断A、B、D，根据一次函数的性质即可判断C．
【详解】解：A、当时，，故A错误，不符合题意；
B、当时，，故B错误，不符合题意；
C、当时，y随x的增大而增大，故C错误，不符合题意；
D、当时，，正确，符合题意，
故选：D．
5．A
【分析】当点落在上时，连接，，根据等腰三角形的性质得，再根据勾股定理得，然后根据三角形面积相等求出,最后根据勾股定理求出此时的；当点落在上时，连接，先说明，可得，再结合等腰三角形的性质得，然后根据“等角的余角相等”得，即可求出此时的，结合两个值得出范围即可．
【详解】解：当点落在上时，连接，可知，
∵，点D是的中点，
∴，
∴．
∵，
解得,
∴．
如图，当点落在上时，连接，
∵，
∴，
∴
∴，
∴．
∵点关于对称，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，，
∴，
∴，
∴当点落在内部（不包括边上）时，的取值范围是．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，直角三角形的性质，平行线的性质和判定，折叠的性质，等腰三角形的性质和判定，确定两个临界值是解题的关键．
6．D
【分析】本题考查了长方形的折叠问题、等腰三角形的判定、三角形全等的判定、轴对称图形等知识，熟练掌握折叠的性质是解题关键．先根据长方形的性质可得，，，，根据平行线的性质可得，再根据折叠的性质可得，从而可得，，，然后根据等腰三角形的判定即可得选项A正确；根据定理即可判断选项B正确；根据轴对称图形的定义即可判断选项C正确；假设，则，根据已知条件不能得出这个结论，所以假设不成立，由此即可判断选项D错误．
【详解】解：∵四边形是长方形，
∴，，，，
∴，
由折叠的性质得：，
∴，，，
∴，
∴是等腰三角形，则选项A正确；
在和中，
，
∴，则选项B正确；
∴如图，折叠后得到的图形是轴对称图形，则选项C正确；
假设，
∴，由已知条件不能得出这个结论，所以假设不成立，选项D错误；
故选：D．
7．C
【分析】本题考查了等腰三角形的定义、三角形内角和定理、全等三角形的判定定理等知识．根据相关知识进行判断即可．
【详解】解：A、∵，则
∴是直角三角形，但不能画出唯一确定的三角形，故选项不符合题意；
B、∵，
∴可设，
∴是等腰三角形，但不能画出唯一确定的三角形，故选项不符合题意；
C、根据，，，已知两角和夹边，能画出唯一确定的三角形，符合题意；
D、根据，，，已知两边和一边的对角，不能画出唯一确定的三角形，不符合题意；
故选：C．
8．B
【分析】本题考查了角平分线的定义、角平分线的性质和判定、三角形外角的定义及性质，熟练掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等是解此题的关键．作于，于，于，根据角平分线的性质可得，再由三角形外角的性质及角平分线的定义可得，即可得到答案．
【详解】解：如图，作于，于，于，
平分，，，
，
，
∴
∵
∴
，，
，
平分，
，，
，
，
平分，
，
平分，
，
，
故选：B．
9．
【分析】本题主要考查列不等式，解决本题的关键是要正确理解题意确定关系用含x和y的式子表示．根据题意列出不等式即可．
【详解】解：根据题意，，
故答案为：．
10．
【分析】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解的知识．一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，注意因式分解要彻底．
先提取公因式b，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
【详解】解：，
故答案为：．
11．
【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，勾股定理．证明是等边三角形，求得，由条件当时，有最小值，得到，求得，再利用勾股定理结合直角三角形的性质即可求解．
【详解】解：作于点，如图，
∵等边，
∴，，
∵当时，，
∴是等边三角形，
∴，，
∵当时，有最小值，此时，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：．
12．或或
【分析】本题考查等腰三角形的性质，角平分线有关计算，三角形内角和定理．能根据等腰三角形两个底角相等，用其中一个角求出另外两个角是解题关键．注意分类讨论．
先根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求得的度数，再分①当时，②当时，③当时，三种情况讨论继续运用等腰三角形的性质和三角形内角和定理求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
①当，即D点在处时，
此时
；
②当时，即D点在处时，
此时，
③当时，即D点在处时，
此时，
综上所述的度数是或或．
故答案为：或或．
13．
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，中线与面积的关系，等腰三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．运用等腰三角形的性质，且通过证明，，因为，再类比中线与面积的关系，推出，即可作答．
【详解】解：∵，，
∴，，
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴，
∴
∴和的面积之比为
故答案为：
14．
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，灵活运用对已知条件进行变形是解题的关键．
由可得，再根据可得，再结合可得，整理得，则即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，即，
∵，
∴，
整理得：，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
15．
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，
根据线段垂直平分线的性质得，再根据等边对等角得，然后根据三角形内角和定理得，进而得出，即可得出答案．
【详解】解：∵分别是的垂直平分线，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
16．42
【分析】本题考查解分式方程和一元一次不等式组，熟练掌握分式方程和一元一次不等式组的解法是解题的关键．
先求解不等式组，根据不等式组有且只有两个奇数解，求出m的一个取值范围；再根据分式方程有解的条件，求出m的取值范围，最后确定m值并求积．
【详解】解：解不等式组，
由①得，
由②得，
∴不等式组的解集为，
∵不等式组有且只有两个奇数解，
∴，
解得，
解分式方程，
去分母，得，
解得，
∵分式方程有解，
∴且
即且，
∴满足条件的整数m值为6，7，
∴所有满足条件的整数m的积是，
故答案为：42．
17．（1）；（2）
【分析】本题主要考查解不等式组，分式方程，熟练计算是解题的关键．
（1）分别求出每一个不等式的解集，确定不等式组的解集．
（2）根据解分式方程的步骤计算可得；
【详解】解：（1）解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为；
（2）两边都乘以，得：，
解得，
检验：时，，
分式方程的解为；
18．，
【分析】本题考查了分式的化简求值，分式有意义的条件，先根据分式的运算法则把所给代数式化简，再从1，中选一个使原式有意义的数代入计算即可．
【详解】解：
，
∵，
∴当时，原式．
19．(1)34
(2)
【分析】本题考查了完全平方公式，因式分解，代数式求值，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
（1）先将变形为，然后把已知条件代入计算即可；
（2）先将变形为，然后代入计算即可．
【详解】（1）解：∵，
∴
；
（2）解：∵，，
∴
．
20．(1)证明见解析
(2)
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握各知识点是解题的关键．
（1）先由等边对等角得到，再证明即可；
（2）由，得，由得到，那么，再由三角形内角和定理求解．
【详解】（1）证明：，
，
在和中，
，
，
；
（2）解：由（1）得：，
，
，
，
，
．
21．(1)（万元）关于（个）的函数关系式是（且为整数）
(2)修建个种光伏车棚时，可使投资总额最少，最少投资总额为万元
【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数解析式，利用一次函数的性质求最值．
（1）根据题意和题目中的数据，可以写出（万元）关于（个）的函数关系式，然后根据要求修建的种光伏车棚的数量不少于修建的种光伏车棚数量的倍．可以得到的取值范围；
（2）根据（1）中的结果和一次函数的性质，可以求得的最小值，以及此时的值．
【详解】（1）解：由题意可得，，
∵要求修建的种光伏车棚的数量不少于修建的种光伏车棚数量的倍．
∴，
解得：，
即（万元）关于（个）的函数关系式是（且为整数）；
（2）解：由（1）知：，
∴随的增大而增大，
∵且为整数，
∴当时，取得最小值，此时，
故修建个种光伏车棚时，可使投资总额最少，最少投资总额为万元．
22．(1)证明见解析；
(2)①证明见解析；②
【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等，添加辅助线，构造全等三角形是解题的关键．
（1）根据同位角相等，直线平行可得：，根据两直线平行，内错角相等得出，，根据等腰直角三角形的判定和性质得出，推得，根据全等三角形的判定和性质即可证明；
（2）①如图2，连接，根据全等三角形的判定和性质得出，，根据垂直平分线的判定和性质得出，根据等边对等角得出，即可求解；
②设，根据直角三角形的性质得出，根据勾股定理求出，根据，列出方程，解方程的值，即可解答．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
在与中，
∴，
∴．
（2）①证明：连接，如图：
∵，
∴，
在与，
，
∴，
∴，，
∵，，
∴是的垂直平分线，
∴，
∴，
∵，
∴；
②解：设，
在中，，
故，
∴，
即，
∵，
∴，
∴，
∵，
即，
解得，
∴．
23．(1)时多项式有最小值；
(2)
(3)见详解
【分析】本题主要考查了因式分解的应用、非负数的性质——偶次方、实数范围内分解因式、分式的化简求值，熟知完全平方公式、正确计算是解题的关键．
（1）利用题中所给配方法进行计算即可；
（2）利用整体思想进行计算即可；
（3）证明多项式不能通过配凑得到的形式即可．
【详解】（1）解：，
又，
，
故当时，
多项式有最小值，最小值为；
（2）解：由题知，
原式，
，
，，
则原式
；
（3）证明：，
而的形式不能分解因式，
关于的二次三项式在实数范围内不能因式分解．
24．(1)公平，理由见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形的面积的应用，关键是根据题意求出阴影部分的面积等于平行四边形的面积的一半，题目较好，主要培养了学生运用所学的数学知识解决实际问题的能力．
（1）是公平的，过作交于，交于，根据三角形的面积公式求出和的面积之和等于，再根据平行四边形的面积即可求出答案；
（2）作出平行四边形的两条对角线，过对角线的交点和O点的直线能将平行四边形平分．
【详解】（1）解：公平．
理由是：过作交于，交于，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
．
和的面积之和等于平行四边形的面积的一半；
方案公平．
（2）如图，作出平行四边形的两条对角线，过对角线的交点和O点的直线能将平行四边形平分．．
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