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期末复习--第七章（相交线与平行线）必会知识点提升练
2024-2025学年下期初中数学人教版七年级下册（新教材）
1．已知∶ 平分
(1)如图①，试判断与的位置关系，并说明理由．
(2)如图②，当时，求的度数；
(3)如图②，请你直接写出之间满足什么关系时，．
2．定义：若、是同旁内角，并且，满足，则称是的内联角．
(1)如图1，已知是的内联角．
①当时，________°；
②当直线时，求的度数．
(2)如图2，已知是的内联角，点O是线段上一定点．是的内联角吗？请说明理由．
3．数学活动课上，老师带领学生们进行了折纸的系列综合实践活动：
〖活动素材〗如图，长方形纸片．
〖活动1〗如图1，将长方形纸片 进行折叠，第1次折叠，折叠后与交于点G，在探究过程中，同学们通过测量发现与的度数总是相等的；
〖活动2〗如图2，在活动1的基础上，将长方形纸片进一步折叠，第 2次沿折叠，且，同学们通过研究发现与之间也存在一定的数量关系；
〖活动3〗如图3，在活动2的基础上，作的平分线，并反向延长与的平分线交于点Q，与之间是否也存在确定的数量关系呢
〖任务1〗求证：；
〖任务2〗若，求的度数；
〖任务3〗请画出点 Q，并直接写出与之间的数量关系．
4．如图是一种躺椅及其侧面简化结构示意图，扶手与底座都平行于地面，靠背与支架平行，前支架与后支架分别与交于点和点，与交于点，当时，人躺着最舒服，求此时和的度数．请补充求解过程，并在括号内添上相应的理由．
解：因为扶手与底座都平行于地面，即，
因为（已知）．
所以（ ）．
因为______（平角的定义），
又因为（已知），
所以______（等式的基本性质）．
因为（已知），
所以______（ ）．
所以______（平角的定义）．
5．如图，在四边形中，是延长线的一点，连接交于点，若．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
6．已知：直线EF分别交直线AB，CD于点G，H，且，
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，点M，N分别在射线GE，HF上，点P，Q分别在射线CA，HC上，连接MP，NQ，且，分别延长MP，NQ交于点K，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接KH，KH平分，且HE平分，若，求的度数．
7．补全下面推理过程：
已知：如图，，E是直线AB上的一点，CE平分，射线，与互余．
求证：
证明：，
______
平分，
______=______角平分线定义，
______等量代换，
______，
垂直的定义，
，
______，
与互余，
______互余的定义，
______，
______
8．【探索发现】
（1）已知：如图1，，点M在，之间，连接，．证明：．
【深入思考】
（2）如图2，点E，F分别是射线，上一点，点G是线段上一点，连接并延长，交直线于点M，连接，，若，求证：；
【拓展延伸】
（3）如图3，在（2）的条件下，，平分，平分，与交点N，若，，．求的度数．
9．【模型发现】某校七年级数学兴趣小组的同学在活动中发现：如图1的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是大家就把这个图形形象的称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系．
(1)如图1，，是、之间的一点，连接，，则有．请你证明这个结论．
(2)【运用】如图2，，、是、之间的两点，且，请你利用（1）中“猪蹄模型”的结论，找出、、三者之间的数量关系，并说明理由．
(3)【延伸】如图3，，点、分别在、上，、分别平分和，且．如果，那么等于多少？（用含的代数式表示，请直接写出结论，无需证明）
10．（1）如图1，，则 度．
如图2，，则 度．
如图3，，则 度．
请在图2中，证明你所填写结论的正确性．
（2）如图4，，则 度．
（3）利用上述结论解决问题：如图5，已知AB//CD．∠ABE和∠CDE平分线相交于F．∠E＝m°（0＜m＜180），用含m代数式表示∠BFD度数，并判断∠BFD是钝角、锐角还是直角？
11．【问题初探】
（1）数学活动课上，李老师和同学们共同探究平行线的作用．李老师给出如下问题：
，点为下方一点，连接，得到，试探究与的数量关系．
（1）小红的做法是：如图2，过点作．
（2）小明的做法是：如图3，设交于点，过点作．
请你选择一名同学的做法，写出证明过程．
【归纳总结】
（2）李老师和同学们发现，在解决题目的过程中，都运用了作平行线的方法，平行线起到了构造等角的作用．为了帮助学生更好的体会平行线的作用，李老师提出了下面问题，请你解答．
如图4，直线，点在之间，点在下方，连．延长至和的角平分线相交于点．探究与的数量关系；
【学以致用】
（3）如图5，和的角平分线相交于点．作平分交的延长线于点，若，求的度数．
12．【阅读理解】
我们经常过某个点作已知直线的平行线，以便利用平行线的性质来解决问题．
例如：如图1，，点、分别在直线、上，点在直线、之间，设，，求证：．
证明：如图2，过点作，
，
，，
，
，
．
即．
可以运用以上结论解答下列问题：
(1)【类比应用】
①如图3，已知，已知，，求的度数；
②如图4，已知，点在直线上，点在直线上方，连接、．设、，则、、之间有何数量关系？请说明理由；
(2)【拓展应用】
如图5，已知，点在直线上，点在直线上方，连接、，的角平分线与的角平分线所在直线交于点，求的度数
参考答案
1．(1)，理由见解析
(2)
(3)，理由见解析
【分析】（1）根据推出，进而得出，再根据角的和差关系、角平分线的定义推出，可证；
（2）仿照（1）求出，再根据，推出，根据即可求解；
（3）根据推出，根据平行线的性质可得，再根据角平分线的定义可得，再根据平行线的性质即可得．
【详解】（1）解：，理由如下：
，
，
，
，
平分，
，
，
，
；
（2）解：，
，
，
，
，
平分，
，
，
，，
，
，
；
（3）解：当时，，理由如下：
，
，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
当时，，
，
，
．
【点睛】本题考查平行线的综合问题，掌握平行线的性质以及判定定理、角平分线的定义、角的和差关系是解题的关键．
2．(1)①80；②
(2)是，理由见解析
【分析】本题考查了平行线的性质，同旁内角等知识点，握平行线的性质及同旁内角是解决本题的关键．
（1）①已知，；②因为，、是同旁内角，所以，则，可得的度数．
（2）因为，，，可得，即是的内联角．
【详解】（1）解：①是的内联角，
，
，
；
故答案为：80．
②是的内联角，
，
，
，
，
，
．
（2）解：是，理由如下：
是的内联角，
，
，，
，
，
又是同旁内角，
是的内联角．
3．〖任务1〗 〖任务2〗 〖任务3〗
【分析】本题考查平行线的判定和性质，折叠的性质，角平分线的定义，作辅助线构造平行线是解题的关键．
（1）根据折叠的性质和平行线的性质解题即可；
（2）根据平行线的性质得到，然后根据角的和差得到，然后根据解题即可；
（3）根据任务的结论计算，然后过点作，则，然后根据平行线的性质得到，，然后根据即可得到结论．
【详解】解：〖任务1〗如图1，则，
又∵
∴，
∴；
〖任务2〗解：由折叠可得，
∵
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴
∴，
∴，
∴；
〖任务3〗由折叠可得，
∵
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴
∴，
∴，
∴；
∵平分，平分，
∴，，
∴，
过点作，
∵，
∴，
∴，，
∴．
4．两直线平行，同位角相等；；；；两直线平行，同位角相等；
【分析】本题考查了平行线的性质，根据平行线的性质完成证明过程，即可求解．
【详解】解：因为扶手与底座都平行于地面，即，
因为（已知）．
所以（两直线平行，同位角相等）．
因为（平角的定义），
又因为（已知），
所以（等式的基本性质）．
因为（已知），
所以（两直线平行，同位角相等）．
所以（平角的定义）．
故答案为：两直线平行，同位角相等；；；；两直线平行，同位角相等；．
5．(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，补角的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）根据，，得出，再根据平行线的判定方法进行求解即可；
（2）由平行线的性质可得，根据，得出，根据平行线的判定得出，根据平行线的性质求出结果即可．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
∴．
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
6．(1)见详解
(2)见详解
(3)
【分析】（1）利用，再利用等量代换，即可解决；
（2）过作，因为，所以，则，，代入即可解决．
（3）过作，过作，可以得到，设，利用平行线的性质，用表示出角，即可解决．
【详解】（1），，
，
，
（2）过作，如图，
，
，
，，
，
（3）如图，过作，过作，
，
，
平分
∴可设，
∵平分
,
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是过拐点作平行线，利用平行线的性质进行导角．
7．两直线平行，内错角相等；；；；；90；90；同角的余角相等；同位角相等，两直线平行
【分析】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．根据平行线的判定与性质求解即可．
【详解】证明：，
（两直线平行，内错角相等），
平分，
（角平分线定义），
（等量代换），
，
（垂直的定义），
，
，
与互余，
（互余的定义），
（同角的余角相等），
（同位角相等，两直线平行）．
故答案为：两直线平行，内错角相等；；；；；90；90；同角的余角相等；同位角相等，两直线平行
8．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）
【分析】（1）过点作，证明，则，．即可得到结论；
（2）由邻补角、三角形内角和定理和（1）中的结论求出，即可证明；
（3）利用平行线的性质和（2）中的条件列方程，进行解答即可．
【详解】（1）解：过点作，
，
．
，．
．
即；
（2）证明：在三角形中，
，
，
．
∵，
．
∴；
（3）解：平分，，
．
设，
．
在（2）的条件下，
．
在（2）的条件下，，
，
解得：，
．
设，
平分，
．
，
．
．
，
在（2）的条件下，，
同理可得：．
即，
解得：，
．
【点睛】此题主要考查了平行线的判定和性质，角的计算，角平分线的定义，准确识图，熟练掌握平行线的判定和性质是解决问题的关键．
9．(1)见解析
(2)，理由见解析
(3)等于
【分析】本题考查了平行线的性质，利用“猪蹄模型”是解题关键．
（1）如图，过作．得，故，，因此．
（2）过作．由（1）①．再得出②，由①②得，即，再求解即可．
（3）由角平分线得，，由“猪蹄模型”得，再利用平行线和三角形内角和计算即可．
【详解】（1）证明：如图，过作．
，
，
，，
．
（2）解：、、三者之间的数量关系：．
理由如下：
如图：过作．
由（1）①．
，
，
②，
①②得，
即，
，
，
．
答：、、三者之间的数量关系：．
（3）证明：、分别平分和，
，，
由（1）结论得：，
，
．
，
，
，
由三角形内角和得：
．
答：等于．
10．（1）①180，②360，③540；（2）（n-1）180°；（3）180°-m°，∠BFD是钝角
【分析】（1）根据平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补，可得结论．根据平行于同一条直线的两条直线平行，把此问题转化为上题形式，可得结论．在上题的基础上，多加一个180°，思路不变，可得结论．
（2）通过观察图形，寻找规律：两个A点时，结论是1×180°，三个A点时，结论是2×180°，四个A点时，结论是3×180°，所以n个A点时，即可得结论．
（3）运用上述结论和角平分线定义可得结论．
【详解】解：∵MA1∥NA2，
∴∠A1+∠A2=180°（两直线平行，同旁内角互补）．
过点A2 作A2B∥A1M，
∴∠MA1A2+∠A1A2B=180°（两直线平行，同旁内角互补）．
又∵MA1∥NA3，
∴A2B∥NA3（平行于同一条直线的两条直线平行）．
∴∠BA2A3+∠A2A3N=180°（两直线平行，同旁内角互补）．
∴∠MA1A2+∠A1A2B+∠BA2A3+∠A2A3N=180°+180°=360° ，
即∠A1+∠A2+∠A3=360°；
分别过点A2、A3作A2B∥A1M、A3C∥A1M，
同上题可得180°+180°+180°=540°，
即∠A1+∠A2+∠A3+∠A4=540°，
故答案为：180，360，540．
（2）∵∠A1+∠A2=180°=1×180°，
∠A1+∠A2+∠A3=360°=2×180°，
∠A1+∠A2+∠A3+∠A4=540°=3×180°，
∴∠A1+∠A2+∠A3+…+∠An=（n-1）180°．
故答案为：（n-1）180°．
（3）根据上述结论得：
∠BFD=∠ABF+∠CDF，
∠ABE+∠E+∠CDE=360°，
又∵∠ABE和∠CDE的平分线相交于F，
∴2∠ABF+∠E+2∠CDF=360°，
即2（∠ABF+∠CDF）+∠E=360°，
∴2（∠ABF+∠CDF）=360°-∠E=360°-m°，
∴∠ABF+∠CDF=180°-m°，
即∠BFD=180°-m°，
又∵0＜m＜180，
∴0＜m＜90，
∴90°＜180°-m°＜180°，
∴∠BFD是钝角．
【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，解题时注意：平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系；还要注意规律性问题的探究过程．
11．（1）①；②；（2）；（3）
【分析】本题考查了平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质与判定是解答本题的关键．；
（1）①过点作，根据平行线的性质得出；
②设交于点，过点作．根据平行线的性质可得，，进而可得；
（2）根据角平分线的定义可得，根据平行线的性质可得由（1）可得，即可求解．
（3）过点H作，利用（1）中结论，利用平行线的性质、角平分线定义、邻补角和为，角与角之间的基本运算、等量代换等得出，进而用等量代换得出．过点H作，由①的结论得．利用平行线性质得，由角平分线定义及邻补角可得．继续使用等量代换可得度数．
【详解】解：（1）①小红的做法是：如图2，过点作．
∵
∴
∴
∵；
②小明的做法是：如图3，设交于点，过点作．
∴，
∵
∴
∴
（2）如图所示，过点作
∵和的角平分线相交于点．
∴
∵
∴
∴
由（1）可得
∴
（3）过点H作，如图，
由（1）可得，
由图可知，
∵，
∴，
∵，
∴．
∴．
∴．
又∵，
∴．
即．
∵，
∴．
∴．
过点H作．
∵，
∴．
∴，
∵平分，
∴．
∵．
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
12．(1)①；②，理由见解析
(2)
【分析】（1）①过点作，先根据平行线的性质可得，再根据平行公理推论可得，根据平行线的性质可得，然后根据角的和差即可得；
②过点作，先根据平行线的性质可得，再根据平行公理推论可得，根据平行线的性质可得，然后根据角的和差即可得；
（2）设，，先根据角平分线的定义可得，，再根据（1）的结论可得，根据材料的结论可得，然后代入计算即可得．
本题考查了平行线的性质、平行公理推论、角平分线的定义等知识点，添加辅助线，熟练掌握平行线的性质是解题关键．
【详解】（1）解：①如图，过点作，
，
，，
，
，
，
即．
解：②，理由如下：
如图，过点作，
，
，
，
，，
，
，
，
即．
（2）解：设，，
平分，平分，
，，
，
由（1）可知，，
由材料的结论可知，，
．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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