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期末复习--第十章（二元一次方程组）必会知识点提升练
2024-2025学年下期初中数学人教版七年级下册（新教材）
一、单选题
1．下列是二元一次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
2．若一个方程组的解为，则这个方程组可能是（ ）
A． B．
C． D．
3．小明在解关于的二元一次方程组时，解得，则△和？代表的数分别是（ ）
A．和3 B．3和 C．5和1 D．1和5
4．在解关于，的二元一次方程组时，如果①②可直接消去未知数，那么和满足的条件是（ ）
A． B． C． D．
5．已知方程组，那么代数式8x–y–z的值是( )
A．6 B．7 C．8 D．9
6．若关于，的两个方程组与有相同的解，则在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7．（跨学科）声音在某介质中传播的速度随着温度的变化而变化，若用表示声音在该介质中的传播速度，表示温度，则，满足公式：（，为常数）．若时，；时，，则，的值分别为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
8．第二届杭州市月季花展于2024年4月27日在杭州开展，若黄色月季花每支4元，红色月季花每支6元，小明想要花费30元全部用于购买这两个品种的花送给妈妈，那么小明的购买方案有（ ）
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
9．在如图所示的九宫格中，横向、纵向及对角线上的实数之和相等，则，的值分别为（ ）
4 2
7
A．4，2 B．3，3 C．2，4 D．1，5
10．《九章算术》中记载，浮箭漏出现于汉武帝时期．如图，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺刻度计算时间．已知在箭尺有一定读数的情况下，供水2小时，箭尺读数为；供水6小时，箭尺读数为．若开始记录时是上午，则当箭尺读数为时，时间是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．已知方程，用含的式子表示，那么 ．
12．若，则的值为 ．
13．某车间有90名工人，每人每天平均能生产螺栓个或螺帽个，已知一个螺栓和两个螺帽配成一套，则生产螺栓和生产螺帽的工人分别为 时，才能使生产的螺栓和螺帽刚好配套．
14．一个三位数的三个数字的和是17，百位数字与十位数字的和比个位数字大3，如果把个位数字与百位数字的位置对调，那么所得的三位数比原数大495，则原来的三位数是 ．
15．将两块完全相同的长方体木块先按图①的方式放置，再按图②的方式放置，测得的数据如图（单位：）所示，则桌子的高度为 ．
16．《九章算术》中记载：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十，问甲、乙持钱各几何？”译文：“假设有甲乙二人，不知其钱包里有多少钱，若乙把自己一半的钱给甲，则甲的钱数为；而甲把自己的钱给乙，则乙的钱数也能为，问甲、乙各有多少钱？”设甲持钱数为，乙持钱数为，可列方程组为 ．
17．甲、乙两人共同解方程组由于甲看错了方程①中的，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的，得到方程组的解为，则 ．
18．一辆汽车在公路上匀速行驶，看到里程表上是一个两位数，小时后其里程表还是一个两位数，且刚好它的十位数字与个位数字与第一次看到的两位数的十位数字与个位数字颠倒了位置，又过了小时后看到里程表是一个三位数，它是第一次看到的两位数中间加一个，则汽车的速度是 千米小时．
三、解答题
19．解下列方程组：
(1)
(2)
20．解方程组两位同学的解法如下：
解法一： ①＋②，解得．
解法二： 由②，得．③ 把③代入①中，得．
(1)检查两位同学的解题过程是否正确？若有错误，请在错误的步骤后打上“×”；
(2)请选择一种你喜欢的方法完成解答．
21．列二元一次方程组求解应用题．
某商店用2200元购进《青春之歌》和《林海雪原》两种红色文化教育读本共100本，这两种的书籍的进价、标价如表所示：
书名 价格 青春之歌 林海雪原
进价（元∕本） 20 25
标价（元∕本） 30 40
（1）《青春之歌》、《林海雪原》各购进了多少本？
（2）若《青春之歌》按标价的9折出售，《林海雪原》按标价的8折出售，那么这两种书全部售出后，该商店共获利多少元？
22．已知方程组，与方程组的解相同．
(1)求这个相同的解；
(2)求方程的解．
23．定义：在解方程组时，我们可以先①＋②，得，再②－①，得，最后重新组成方程组这种解二元一次方程组的解法我们称为二元一次方程组的轮换对称解法．
(1)用轮换对称解法解方程组：解得______；
(2)如图，小强和小红一起搭积木，小强所搭的“小塔”高度为，小红所搭的“小树”高度为，设每块型积木的高为，每块型积木的高为，求与的值（用轮换对称解法求解）．
24．一艘轮船在相距90千米的甲、乙两地之间匀速航行，从甲地到乙地顺流航行用6小时，逆流航行比顺流航行多用4小时．
（1）求该轮船在静水中的速度和水流速度；
（2）若在甲、乙两地之间建立丙码头，使该轮船从甲地到丙地和从乙地到丙地所用的航行时间相同，问甲、丙两地相距多少千米？
25．“整体代换”是一种常用的数学思想，在解二元一次方程组时也可以运用“整体代换”的思想例如：求解二元一次方程组
将②式变形，得③．
将①式代入③式，得，解得．
将代入①式，得，解得，
该二元一次方程组的解为
(1)类比“整体代换”法解方程组
(2)已知，满足方程组求的值．
26．为奖励优秀学生，某校准备购买一批文具袋和圆规作为奖品，已知购买1个文具袋和2个圆规需21元，购买2个文具袋和3个圆规需39元．
（1）求文具袋和圆规的单价．
（2）学校准备购买文具袋20个，圆规100个，文具店给出两种优惠方案：
方案一：每购买一个文具袋赠送1个圆规．
方案二：购买10个以上圆规时，超出10个的部分按原价的八折优惠，文具袋不打折．学校选择哪种方案更划算？请说明理由．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B C D B A B B B D
1．A
【分析】本题考查了二元一次方程的定义，熟练掌握二元一次方程的定义是解题的关键；
根据含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程，逐项判断即可，
【详解】解： A、含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程，是二元一次方程，符合题意，
B、未知数项的最高次数是2，不是二元一次方程，不符合题意，
C、含有3个未知数，不是二元一次方程，不符合题意，
D、分母中含有未知数，是分式方程，不是二元一次方程，不符合题意，
故选：A．
2．B
【分析】根据二元一次方程解的定义解答即可．
【详解】解：A、x=2，y=1，x+y=3，x-y=2-1=1，不适合方程组中的第二个方程，故本选项不符合题意；
B、x=2，y=1适合方程组中的每一个方程，故本选项符合题意；
C、x=2，y=1，x+2y=4，2x-y=4-1=3，不适合方程组中的第二个方程，故该选项不符合题意．
D、x=2，y=1，4x+5y=4×2+5×1=13，3x-4y=3×2-4×1=2，不适合方程组中的第二个方程，故本选项不符合题意；
故选B．
【点睛】本题主要考查了方程组的解．掌握方程组解的定义是解答本题的关键．
3．C
【分析】把代入①解得，把，代入②得，，即可得到答案．
【详解】解：
把代入①得，，解得，
把，代入②得，，
则△和？代表的数分别是5和1，
故选：C
【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，读懂题意准确计算是解题的关键．
4．D
【分析】根据求和后直接消去，令的系数为即可．
【详解】解：
得，
可直接消去未知数，
故，
故选D．
【点睛】本题考查了加减消元法解方程组，熟练掌握加减消元法是解题关键．
5．B
【分析】根据“3x y 2z＝1”，得到 y z＝1＋z 3x，代入8x y z得：5x＋z＋1，
①＋②得：5x＋z＝6，代入5x＋z＋1，即可得到答案．
【详解】解：∵3x y 2z＝1，
∴ y z＝1＋z 3x，
8x y z＝1＋z 3x＋8x＝5x＋z＋1，
，
①＋②得：
5x＋z＝6，
即8x y z＝6＋1＝7，
故选B．
【点睛】本题考查了解三元一次方程组，正确掌握解三元一次方程组的方法是解题的关键．
6．A
【分析】本题考查了二元一次方程组的解法及象限的点的坐标特点．先由方程组求得，结合，得到，解得，再分别求得x、y的值，即可求得b的值，最后判断点所在的象限．
【详解】解：方程组，
得，
∵，
∴，
解得，
∴，即，
∵，
∴，
解得，
∴，
∵，
∴，
∴点即在第一象限，
故选：A．
7．B
【分析】本题考查了二元一次方程组的运用，理解题意，代入得到二元一次方程组，运用加减消元法计算是解题的关键 ．
根据题意，把时，；时，代入，联立方程组求解即可．
【详解】解：，满足公式：（，为常数）．若时，；时，，
∴，
解得，，
故选：B ．
8．B
【分析】本题主要考查了二元一次方程的应用，解题的关键是根据题意列出方程．设黄色月季花x支，红色月季花y支，根据两种花的花费总共为30元，列出方程，解方程即可．
【详解】解：设黄色月季花x支，红色月季花y支，根据题意得：
，
∵x、y为正整数，
∴，，
∴小明的购买方案有2种，
故选：B．
9．B
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，根据横向、纵向及对角线上的实数之和相等列出方程组，解方程组即可．
【详解】解：根据题意得：，
解得：，
故选：B．
10．D
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找出等量关系是解答本题的关键． 设每小时上升，开始高度为，根据供水2小时和供水6小时箭尺的高度列方程组求解即可．
【详解】设每小时上升，开始高度为，根据题意，得
解得
设当箭尺读数为时，时间为t，则，
解得．
时间是．
故选D．
11．
【分析】本题考查了解二元一次方程，把含有的项和常数移到右边，再把的系数化为即可，掌握等式的性质是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：．
12．
【分析】本题考查的知识点是：某个数的平方与另一数的绝对值的和等于0，那么平方数的底数为0，绝对值里面的代数式的值为0，解二元一次方程组．根据已知等式，利用非负数的性质列出方程组，求出方程组的解得到x与y的值，即可确定出的值．
【详解】解：∵，
∴，
解得
∴．
故答案为：
13．名、名
【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，设分配名工人生产螺栓，名工人生产螺帽时，能使生产的螺栓和螺帽刚好配套．根据题意，列出二元一次方程组，解方程，即可求解．
【详解】解：设分配名工人生产螺栓，名工人生产螺帽时，能使生产的螺栓和螺帽刚好配套．
根据题意，得
解得
生产螺栓和生产螺帽的工人分别为名、名时，才能使生产的螺栓和螺帽刚好配套．
故答案为：名、名．
14．287
【分析】本题考查了三位数的表示方法和三元一次方程的解法，设原来的三位数的百位数字为x、十位数字为y、个位数字为z，则原来的三位数表示为：，新数表示为：，故根据题意列三元一次方程组即可求得．
【详解】解：设原来的三位数的百位数字为，十位数字为，个位数字为，
根据题意，得，
解得，
故原来的三位数是287．
故答案为：287．
15．40
【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，设长方体木块的长为，高为，而桌子的高度为，再根据图形性质可得方程组，再解方程组即可．
【详解】解：设长方体木块的长为，高为，而桌子的高度为，
由题意，得
①－②，得，
解得．
故答案为：
16．
【分析】此题主要考查了二元一次方程组的应用，根据等量关系列出方程组即可，解题的关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系列出方程组．
【详解】解：设甲持钱数为，乙持钱数为，
根据题意得：，
故答案为：．
17．0
【分析】本题考查了二元一次方程组的解．
根据甲看错了方程①中的a，②没有看错，代入②得到一个方程求出b的值，乙看错了方程②中的b，①没有看错，代入①求出a的值，然后再把a、b的值代入代数式计算即可求解．
【详解】解：根据题意得，，
解得，
则
故答案为：0．
18．
【分析】设第一次看到里程表上的里程十位数字为x，个位数字为y，由汽车的速度不变，可得出关于x，y的二元一次方程，解之可得出y=6x，结合x，y均为正整数，且均为一位数，即可得出x，y的值，再将其代入中即可得出结论．
【详解】解：设第一次看到里程表上的里程十位数字为x，个位数字为y，
依题意，得：，
解得：．
，y均为正整数，且均为一位数，
，，
∴汽车的速度为．
故答案为：45．
【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．
19．(1)
(2)
【分析】本题考查了解二元一次方程组，掌握用代入消元法、加减消元法解二元一次方程组是解题的关键．
（1）整理方程组，然后用加减消元法即可解答；
（2）整理方程组，然后用加减消元法即可解答；
【详解】（1）解：
整理，得，
减去得，
即：，
解得：，
把代入③得，
解得：，
则方程组的解为：；
（2）解：
整理，得，
减去得，
即，
解得：，
把代入③得
解得：，
则方程组的解为：；
20．(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查利用加减或者代入法解二元一次方程组，
（1）根据移项法则可知解法二中存在错误；
（2）利用加减法或者代入法求解方程组即可．
【详解】（1）解：如图．
解法一： ①＋②，得．
解法二： 由②，得．③× 把③代入①中，得到．×
（2）解：选择解法一：①＋②，得，解得．
把代入①，得，解得，
该方程组的解为
选择解法二：由②，得 ③．
把③代入①，得，解得．
把代入①，得，
该方程组的解为
21．（1）《青春之歌》购进了60本，《林海雪原》购进了40本；（2）700元
【分析】（1）设《青春之歌》购进了x本，《林海雪原》购进了y本，根据题意列方程组即可得到结论；
（2）根据题意列式计算即可．
【详解】解：（1）设《青春之歌》购进了x本，《林海雪原》购进了y本，
根据题意得，，
解得：，
答：《青春之歌》购进了60本，《林海雪原》购进了40本；
（2）根据题意得，商店共获利：
（30×90%﹣20）×60＋（40×80%﹣25）×40＝700（元），
答：商店共获利700元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意找到等量关系列出方程组是解题的关键．
22．(1)
(2)
【分析】（1）根据两方程组解相同，联立②和③，再用加减消元法求解即可；
（2）将（1）所求的解代入①，④，求得a和b的值，再代入中求解即可．
【详解】（1）解：∵方程组，与方程组的解相同，
∴联立②③可得，
解得；
（2）将代入①，④，
并联立可得方程组，
解得，
代入方程，得，
∴．
【点睛】本题考查同解方程组，解二元一次方程，解一元一次方程．理解同解方程组的定义和掌握解二元一次方程的方法和步骤是解题关键．
23．(1)
(2)
【分析】本题主要考查解二元一次方程组，理解材料提示方法是解题的关键．
（1）根据材料提示方法计算即可；
（2）根据题意列方程组，由材料提示方法计算即可．
【详解】（1）解：，
①②得，，
∴③，
①②得，④，
∴③④得，，
解得，，
把代入③得，
故答案为：；
（2）解：根据题意，得
①＋②，得，
．
②－①，得，
解方程组得．
24．（1）该轮船在静水中的速度是12千米/小时，水流速度是3千米/小时；（2）甲、丙两地相距千米．
【分析】(1)设该轮船在静水中的速度是千米/小时，水流速度是千米/小时，根据路程＝速度×时间，即可得出关于的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(2)设甲、丙两地相距千米，则乙、丙两地相距千米，根据时间＝路程÷速度，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】(1)设该轮船在静水中的速度是千米/小时，水流速度是千米/小时，
依题意，得：，
解得：，
答：该轮船在静水中的速度是12千米/小时，水流速度是3千米/小时；
(2)设甲、丙两地相距千米，则乙、丙两地相距千米，
依题意，得：，
解得：，
答：甲、丙两地相距千米．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)找准等量关系，正确列出一元一次方程．
25．(1)
(2)4
【分析】本题主要考查运用“整体代换”解二元一次方程程组：
（1）把变形为，再用整体代换的方法解题；
（2）把①变形为这样的形式，再利用整体代换的方法解决．
【详解】（1）解： ，
把②变形为③，
把①代入③得，，
解得，
把代入①得，
即方程组的解为；
（2）解：
把①变形为③，
把②代入③可得，，
解得，
．
答：的值是4．
26．（1）文具袋的单价为15元，圆规的单价为3元；（2）选择方案一更划算
【分析】（1）设文具袋的单价为x元，圆规的单价为y元．根据题意列出方程即可求出答案．
（2）分别计算两种方案的总费用即可求出答案．
【详解】（1）设文具袋的单价为元，圆规的单价为元．
依题意，得
解得
答：文具袋的单价为15元，圆规的单价为3元．
（2）选择方案一的总费用为（元，
选择方案二的总费用为（元，
，
选择方案一更划算．
【点睛】本题考查二元一次方程组，解题的关键是正确找出题中的等量关系，本题属于基础题型．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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