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湖北省沙市中学2024-2025学年高一下学期5月月考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知，均为锐角，，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知复数，若，则（ ）
A． B． C． D．2
3．在长方体中，若，，则异面直线，所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，点为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中，不满足直线平面的是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知，是平面外的两条直线，在的前提下，是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．设， 是两个非零向量，且， ， 则与的夹角是（ ）
A． B． C． D．
7．在等边三角形中，D、E、F分别在边上，且．则三角形面积的最大值是（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数 ，，对任意恒有，且在区间上有且只有一个使，则的最大值为
A． B． C． D．
二、多选题
9．（多选题）下列四个命题中，真命题是（ ）
A．若是两条直线，是两个平面， 且， 则是异面直线.
B．两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.
C．若直线相交，是平面且，则直线不在平面内.
D．若是平面，直线，直线，则.
10．点在所在平面内，下列说法正确的是（ ）
A．若，则为的重心
B．若，则为锐角三角形
C．若，则
D．若为边长为2的正三角形，点在线段BC上运动，则
11．如图，已知正方体的棱长为2，点为的中点，点为正方形内（包含边界）的动点，则下列说法正确的是（ ）

三、填空题
12．已知平面向量，，则在上的投影向量的坐标为 .
13．中，若，，则的面积的取值范围 .
14．已知函数是定义在上的奇函数，将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的3倍得到的图象，若方程在时有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ．
四、解答题
15．如图，在矩形和四分之一的拼接的平面图形中，，，将该图形绕所在直线旋转一周形成的面所围成的旋转体记为．
(1)求的体积；
(2)求的表面积．
16．如图所示，在四棱锥中，底面为梯形，，，面面，是的中点．
(1)求证：平面.；
(2)若是线段上一动点，则线段上是否存在点，使平面？说明理由．
17．如图，一个半径为米的筒车按逆时针方向每分钟转圈，筒车轴心距水面的高度为米.设筒车上某个盛水桶到水面的距离为（单位：米）（在水面下则为负数），若以盛水桶刚浮出水面时开始计算时间，则与时间（单位：分钟）之间的关系式为.
(1)求与时间（单位：分钟）之间的关系式；
(2)某时刻（单位：分钟）时，盛水桶在过点竖直直线的左侧，到水面的距离为米，再经过分钟后，求盛水桶到水面的距离.
18．在中，，，所对的边分别为，，，已知.
(1)若，求的值；
(2)若是锐角三角形，求的取值范围.
19．已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的伴随向量，同时称函数为向量的伴随函数.
(1)设函数，试求的伴随向量；
(2)记向量的伴随函数为，求当且时，的值；
(3)当向量时，伴随函数为，函数，求在区间上最大值与最小值之差的取值范围.
湖北省沙市中学2024-2025学年高一下学期5月月考数学试题参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B B D B C A C BC AC
题号 11
答案 BD
12．
13．
14．
15．（1）依题意得，旋转体的上方是一个半球体，下方是一个圆柱，如图所示．
，，
，
，
，
所以的体积为．
（2），，
，
，
．
所以的表面积为．
16．（1）证明：取中点，连和，可得且，
因为且，所以且，
所以四边形为平行四边形，所以，
又因为平面，且平面，所以平面.
（2）解：取中点，连接和，
因为和分别为和的中点，所以，
又因为平面，且平面，所以平面，
又由（1）可得∥平面，且，平面，
所以平面平面，
因为是上的动点，且平面，所以平面，
所以，当为中点时，平面．
17．（1）由题意知，，因为，所以；
因为半径为2米，筒车的轴心距水面的高度为1米，可得，
当时，，代入得，
因为，所以，所以；
（2）由题意得，，得，
由题意知，所以，
所以
，
所以，
答：再经过分钟后，盛水桶到水面的距离为米.
18．（1）在中，，据余弦定理可得，
又，故，即，
又，故，得.
（2）在中，据余弦定理可得，
又，故，即，
又，故.
据正弦定理，可得，
所以，
即，
所以，，
因为，所以，或，
即或（舍）.
所以.
因为是锐角三角形，所以得，
所以，故，
，
所以的取值范围是.
19．（1）因为，所以.
（2）依题意，
由得，，所以，
所以.
（3）由题的函数解析式，所以
区间的长度为，函数的周期为，
若的对称轴在区间内，不妨设对称轴在内，最大值为1，
当即时，
函数在区间上的最大值与最小值之差取得最小值为；
其它的对称轴在内时最大值与最小值之均大于，
当或时，最大值与最小值之差取得最大值1.
若的对称轴不在区间内，不妨设即，
则在区间内单调，在两端点处取得最大值与最小值，则最大值与最小值之差为：
，
综上，故函数在区间上的最大值与最小值之差的取值范围为

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