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湖北省武汉市问津联盟2024-2025学年高二下学期5月月考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．函数在区间上的平均变化率为（ ）
A． B． C． D．
2．已知为各项均为正数的等比数列，和是方程的两个根，则（ ）
A． B．4 C． D．5
3．二项式的展开式中常数项为（ ）
A．160 B． C． D．
4．甲，乙，丙等五位同学站成一排合影留念，在甲和乙相邻的条件下，丙和甲也相邻的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
6．①不能被1000整除；
②若随机变量，且，则；
③如图，现要用5种不同的颜色对某市的4个区县地图进行着色，要求有公共边的两个地区不能用同一种颜色，共有180种不同的着色方法.
以上说法错误的个数为（ ）

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
7．在排列中，任取两个数且如果，则称这两个数为该排列的一个逆序，一个排列中逆序的总数称为这个排列的逆序数.在排列中任取两数，则这组数是逆序的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．抛掷一枚质地均匀的硬币次（其中为不小于2的整数），设事件表示“次中至少有一次正面和一次反面朝上”，事件表示“次中至多有一次正面朝上”，若事件与事件是独立的，则的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
二、多选题
9．下列四个命题正确的为（ ）
A．若，则
B．抛掷两枚质地均匀的骰子，则向上点数之和不小于10的概率为
C．新高考改革实行“”模式，某同学需要从政治 地理 化学 生物四个学科中任选两科参加高考，则在选择化学的条件下，选择生物的概率是
D．在的展开式中含项的系数为
10．2022年10月16日至10月22日，中国共产党第二十次全国代表大会在北京人民大会堂隆重召开，这是在全党全国各族人民迈上全面建设社会主义现代化国家新征程 向第二个百年奋斗目标进军的关键时刻召开的一次十分重要的大会.某单位组织大家深入学习 领会党的二十大精神，并推出了10道有关二十大的测试题供学习者学习和测试.已知甲答对每道题的概率都是，乙能答对其中的8道题，规定每次测试都是从这10道题中随机抽出4道，答对一题加10分，答错一题或不答减5分，总分低于0分记为0分，甲 乙两人答对与否互不影响，则（ ）
A．乙得40分的概率是
B．乙得分的数学期望是28
C．甲得0分的概率是
D．甲 乙的得分都是正数的概率是
11．已知函数，则下列命题中正确的是（ ）
A．是的极大值
B．当时，有且仅有一个零点，且
C．当时，
D．若存在极小值点，且，其中，则
三、填空题
12．已知的分布列如下表，则 .
2 3
13．已知随机变量，则取最小值时， .
14．定义：在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新数列，这样的操作叫作该数列的一次“美好成长” 将数列1，3进行“美好成长”，第一次得到数列；第二次得到数列，设第次“美好成长”后得到数列为，记，则数列的通项公式为 .
四、解答题
15．已知.
(1)求展开式中二项式系数最大的项
(2)求的值.
16．已知是等差数列的前项和，且满足是的等差中项，是的等差中项.
(1)求数列的通项公式
(2)记，求数列的前项和
17．已知是函数的极值点.
(1)求实数的值
(2)过点可作曲线的三条切线，求实数的取值范围
18．为了普及全运知识.某中学举办了一次全运知识闯关比赛.比赛分为初赛与复赛.初赛胜利后才能进入复赛.初赛规定：三人组队参赛.每次只派一个人.且每人只派一次：如果一个人闯关失败.再派下一个人重新闯关：三人中只要有人闯关成功即视作初赛胜利.无需继续闯关.现有甲 乙 丙三人组队参加初赛.他们各自闯关成功的概率分别为.假定互不相等.且每1人能否闯关成功相互独立.
(1)若计划依次派丙 乙 甲进行初赛闯关..求该小组初赛胜利的概率：
(2)已知.现有两种初赛人员派出方案：
方案一：依次派出甲乙丙：方案二：依次派出丙乙甲
设方案一和方案二派出人员数目分别为随机变量.求.并比较它们的大小；
(3)初赛胜利小组的三名成员都可以进入复赛.复赛规定：单人参赛.每个人回答三道题.全部答对获得一等奖：答对两道题获得二等奖：答对一道题获得三等奖：全部答错不获奖.已知某学生进入了复赛.该学生在复赛中前两道题答对的概率均为.第三道题答对的概率为.若该学生获得一等奖的概率为，设该学生获得二等奖的概率为.求的最小值.
19．教育部印发的《进一步加强中小学生体质健康管理工作的通知》中提出，中小学校要保障学生每天校内 校外各1小时体育活动时间，每天统一安排30分钟的大课间体育活动.一学校某体育项目测试有的人满分，而该校有的学生每天运动时间超过两个小时，这些人体育项目测试满分率为.
(1)从该校随机抽取三人，三人中体育项目测试相互独立，求三人中满分人数的分布列和期望；
(2)现从每天运动时间不超过两个小时的学生中任意调查一名学生，求他体育项目测试满分的概率；
(3)体育测试前甲 乙 丙三人传球做热身训练，每次传球，传球者等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，第1次由甲将球传出，求第次传球后球在乙手中的概率.
湖北省武汉市问津联盟2024-2025学年高二下学期5月月考数学试题参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B C A C B D B ACD BCD
题号 11
答案 ABD
1．B
【详解】，
故选：B．
2．B
【详解】由和是方程的两个根，得，
又数列为各项均为正数的等比数列，则，
所以.
故选：B
3．C
【详解】因为二项式的展开式的通项为，令，得，
所以常数项为.
故选：C
4．A
【详解】记事件：甲乙相邻，事件：甲丙相邻，则事件：甲和乙丙都相邻，所求事件为，
甲乙相邻，则将甲乙两人捆绑，与其他三位同学形成四个元素，排法种数为，
由古典概型的概率公式可得.
甲和乙丙都相邻，则将甲乙丙三人捆绑，且甲位置正中间，与其他两位同学形成三个元素，排法种数为，
由古典概型的概率公式可得，
由条件概率公式可得.
故选：A.
5．C
【详解】由，得，
，
曲线在点处的切线方程为，即.
故选：C.
6．B
【详解】对于①，，
为整数，①错误；
对于②，由，且，得，
因此，②正确；
对于③：先涂I有5种，再涂II有4种，然后涂III有3种，最后涂IV有3种，
由分步乘法计数原理得一共有种涂色方法，③正确.
故选：B
7．D
【详解】在排列中任取两数，构成排列的基本事件有：
，
共10个，这组数是逆序包含的基本事件有：，共5个，则这组数是逆序的概率是.
故选：D.
8．B
【详解】抛掷一枚质地均匀的硬币次，所有可能的结果有种.
事件A表示“次中至少有一次正面和一次反面朝上”，
其对立事件为“次都是正面朝上或次都是反面朝上”，
包含的情况有2种，所以.
根据对立事件概率之和为1，可得.
事件表示“次中至多有一次正面朝上”，
即“次中没有正面朝上（全是反面朝上）”或“次中有一次正面朝上”.
“次中没有正面朝上”的情况有1种；“次中有一次正面朝上”，从次中选1次为正面朝上，有种情况.所以事件包含的情况共有种，则.
事件表示“次中既有正面朝上又有反面朝上且至多有一次正面朝上”，
即“次中有一次正面朝上”，有种情况，所以.
因为事件与事件是独立的，所以，即.
可得：.展开得：.即.
当时，，等式不成立；
当时，，等式成立；
当时，，等式不成立；当时，等式不成立..
所以.
故选：B.
9．ACD
【详解】由得：，，，
解得，故A正确；
抛掷两枚质地均匀的骰子，总的基本事件数为种，向上点数之和不小于10的基本事件有，共6种，所以所求事件的概率，故B错误；
记选择化学为事件M，选择生物为事件，则，故C正确；
展开式的通项公式为，
令，得，
展开式的通项公式含项为，
故项的系数为，故D正确；
故选：ACD
10．BCD
【详解】设乙得分为，则的所有可能取值为，且
因此，故A错误，B正确；
记“甲得分为正数”为事件，“乙得分为正数”为事件，
则.
易知，故甲乙得分都是正数的概率为，故CD正确.
故选：BCD
11．ABD
【详解】对于选项，则，
当时，令，得或，
当或时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以是的极大值点，极大值为；
当时，，易知极大值为；
当时，令，得或，
当或时，，当时，，
所以是的极大值点，极大值为，综上，故A正确；
对于选项B，当时，，
由选项A可知，的减区间为，增区间为，
当时，，，，，
由零点存在性原理知，当时，有且仅有一个零点，且，
故，故B正确；
对于选项C，当时，由选项A可知，在区间上单调递减，又，即，故，故C错误；
对于选项D，因为存在极小值点，由选项A可知，且，得到，由，则，整理得，即，因为，化简得，即，即，故，故D正确；
故选：ABD
12．
【详解】由分布列的性质有，得，从而，
故答案为：
13．12
【详解】由，所以，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
此时，
所以，
故答案为:12.
14．
【详解】
由得，，所以数列是以首项为，
公比为3的等比数列，故
故答案为：.
15．(1)
(2)
【详解】（1）展开式的通项公式为，二项式系数最大为
即.
（2）由可知，
令，得
令，得
16．(1)
(2)
【详解】（1）设数列的公差为，由是的等差中项得，即，整理得
是的等差中项得，即，解得
代入，求得，故
（2）由（1）得，
当为偶数时，
当为奇数时，则为偶数，
综上
17．(1)
(2)
【详解】（1）由得，.
是的极值点，故，整理得.
解得，或
经检验，当时，不是的极值点，不合题意，故舍去.
故；
（2）由（1）可知，，
设切点坐标为，切线的斜率为.
则切线方程为，将点代入并整理得.
记，由题意得，直线与曲线有三个不同的交点.
，令，得或，
当或时，单调递减，当时，单调递增且.
故.
18．(1)
(2)，，
(3)
【详解】（1）设事件表示该小组获胜，
则，
所以该小组初赛胜利的概率为.
（2）的可能取值为，
则，
此时.
的可能取值为，
则，
此时.
所以
，
因为，
所以.所以.
（3）由题意可得，
则.
令，
则.
令，
所以当时，为减函数，
当，，时为增函数.
所以.
所以的最小值为.
19．(1)分布列见解析，；
(2)；
(3).
【详解】（1）该校随机抽取三人，每个人满分的概率为，设抽取的三人中满分人数为，
则，则
则的分布列为：
X 0 1 2 3
P
所以数学期望.
（2）用表示事件“抽到每天运动时间超过两个小时的学生”，则，
用表示事件“抽到体育项目测试满分的学生”，则，且，
又，
所以，故，
所以.
（3）记表示事件“经过次传球后，球在乙的手中”，
设次传球后球在乙手中的概率为，则有，
所以，
所以
，
即，
所以，且，
所以数列表示以为首项，为公比的等比数列，
所以，所以，
即第次传球后球在乙手中的概率为.

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