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期末综合测试卷 2024-2025学年下期
初中数学人教版七年级下册（新教材）
一、单选题
1．下列各点中，在第四象限的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列四个数，，，，是无理数的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列调查中，最适合采用全面调查普查方式的是　　
A．对市辖区水质情况的调查 B．对电视台“商城聚焦”栏目收视率的调查
C．对某小区每天丢弃塑料袋数量的调查 D．对你校某班学生最喜爱的运动项目的调查
4．下列命题中，是真命题的是（ ）
A．同位角相等 B．邻补角一定互补
C．相等的角是对顶角 D．有且只有一条直线与已知直线垂直
5．若，则下列不等式正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．把一根长为7m的钢管截断，从中得到两种不同规格的钢管，已知两种规格的钢管长分别为2m和1m，为了不造成浪费，不同的截法有（　　）
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
7．下列结论不正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．不等式组的解集在数轴上表示正确的是(　　)
A．B．
C．D．
9．如图，，平分交于点，，，，分别是，延长线上的点，和的平分线交于点．下列选项错误的是（ ）
A． B．
C．平分 D．为定值
10．如图，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆组成一条平滑的曲线，点从原点出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，则第2025秒时，点的坐标是（）
A． B． C． D．
二、填空题
11．如图，为得到小明在体育课上进行立定跳远时的成绩，老师只需要测量线段的长度，这样做的数学根据是 ．
12．如图，宽为40的大长方形图案由10个完全相同的小长方形拼成，其中一个小长方形的面积为 ．

13．如图，，点在上，，平分，且平分．下列结论：①；②；③；④．其中正确的是 ．（请填写序号）
14．在平面直角坐标系中，点A（x﹣1，2﹣x）关于y轴对称的对称点在第一象限，则实数x的取值范围是 ．
15．若关于x、y的二元一次方程组的解互为相反数，则a的值是 .
16．已知关于x的不等式组的整数解共有2个，则a的取值范围为 ．
17．小蒲在练习册上看到一道不完整的数学题，拿来和同学们一起讨论．如图，直线两两相交，已知，点，分别是上的点．
同学①：不添加任何条件，就可得出；
同学②：不添加条件，也可以得出；
同学③：若，则；
同学④：若，则．
他们四人中，说法正确的是 ．
三、解答题
18．解下列方程组：
(1)
(2)
19．已知是实数，且与互为相反数，求的平方根．
20．下面是小颖同学解一元一次不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务．
解：去分母，得…第一步 去括号，得______……第二步 移项，得…………第三步 合并同类项，得……第四步 系数化为1，得______……第五步
任务一：
（1）以上解题过程中，第一步“去分母”的变形依据是______；
（2）请将第二步和第五步补充完整，并在数轴上表示不等式的解集．
任务二：
请你根据平时的学习经验，就解不等式时需要注意的事项给其他同学提一条建议．
21．请完成下面的证明及计算．
(1)如图，点分别是三角形的边上的点，，，求证：．
证明：，
（ ），
，
（ ），
．
(2)在（1）的条件下，若平分，求的度数．
22．如图，在平面直角坐标系中，已知直线与坐标轴相交于点A，，点A，的坐标分别为，，且，满足，在平面直角坐标系内还有一点．
(1)________，________；
(2)若点在轴上，则的面积为________；
(3)当点在第三象限时，求出的面积（用含的式子表示）．
23．为响应党的“文化自信”号召，某校开展了古诗词诵读大赛活动，现随机抽取部分同学的成绩进行统计，并绘制成如下的两个不完整的统计图，请结合图中提供的信息，解答下列各题：
（1）直接写出a的值，a=______，并把频数分布直方图补充完整．
（2）求扇形B的圆心角度数．
（3）如果全校有2000名学生参加这次活动，90分以上（含90分）为优秀，那么估计获得优秀奖的学生有多少人？
24．某玩具店销售甲、乙两种型号的玩具汽车，已知卖出甲、乙两种型号的玩具汽车各2辆，收款共88元；卖出3辆甲型号玩具汽车和1辆乙型号玩具汽车，共收款84元．
(1)求每辆甲型号和乙型号玩具汽车的单价；
(2)某人想在该店购买甲、乙两种型号的玩具汽车共6辆，花费不少于130元，且不超过140元，则有哪几种购买方案？
25．如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的关联方程．例如：方程的解为，不等式组的解集为，因为，所以称方程为不等式组的关联方程．
(1)在方程①；②；③中，不等式组的关联方程是______；（填序号）
(2)若不等式组的一个关联方程的解是整数，且这个关联方程是，求常数的值；
(3)①解两个方程：和；②是否存在整数，使得方程和都是关于的不等式组的关联方程？若存在，直接写出所有符合条件的整数的值；若不存在，请说明理由．
26．如图①，在平面直角坐标系中，是坐标原点，点A的坐标为，将向上平移4个单位长度，再向左平移3个单位长度得到对应线段．连接．
(1)点的坐标为_______，点的坐标为_______；
(2)在轴上是否存在一点，使得三角形的面积等于三角形面积的一半？若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由；
(3)如图②，若是直线上的一个动点，连接，当点在直线上运动时，请直接写出，之间的数量关系．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B D B C C C B B C
1．D
【分析】本题考查了各象限点坐标的特征，根据第四象限的点横坐标大于0，纵坐标小于0即可求解．
【详解】解：A．在第三象限，故此选项不符合题意；
B．在第二象限，故此选项不符合题意；
C．在第一象限，故此选项不符合题意；
D．在第四象限，故此选项符合题意．
故选：D．
2．B
【分析】本题考查的是无理数的概念，无理数即无限不循环小数，它的表现形式为：开方开不尽的数，与有关的数，无限不循环小数．根据无理数的定义，即可得出符合题意的选项．
【详解】解：都是有理数，是无理数，
故选：B．
3．D
【分析】由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．
【详解】解：A、对市辖区水质情况的调查适合抽样调查，错误；
B、对电视台“商城聚焦”栏目收视率的调查适合抽样调查，工作量大，不易普查，错误；
C、对某小区每天丢弃塑料袋数量的调查适合抽样调查，工作量大，不易普查，错误；
D、对你校某班学生最喜爱的运动项目的调查适合全面调查，正确；
故选D．
【点睛】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
4．B
【分析】本题考查了命题与定理的知识，利用平行线的性质、对顶角的性质、邻补角的定义，垂线的性质逐项判断解题．
【详解】解：A. 两直线平行，同位角相等，故原命题是假命题；
B. 邻补角一定互补，是真命题；
C. 相等的角不一定是对顶角，故原命题是假命题；
D. 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故原命题是假命题；
故选：B．
5．C
【分析】本题考查了不等式的性质，熟练掌握和灵活运用不等式的性质是解题的关键；根据不等式的基本性质进行判断，即可求解．
【详解】解：A. ∵，∴，故该选项错误；
B. ，若，则，故该选项错误；
C. ∵，∴，故该选项正确；
D. ∵，∴，故该选项错误；
故选：C．
6．C
【分析】设可以截成x根2m长的钢管和y根1m长的钢管，根据题意列出方程，然后找到方程的整数解即可．
【详解】解：设可以截成x根2m长的钢管和y根1m长的钢管，
依题意，得：2x+y＝7，
∴y＝7﹣2x．
∵x，y均为正整数，
∴当x＝1时，y＝5；当x＝2时，y＝3；当x＝3时，y＝1，
∴共有3种不同的截法，截法1：截成1根2m长的钢管和5根1m长的钢管；截法2：截成2根2m长的钢管和3根1m长的钢管；截法3：截成3根2m长的钢管和1根1m长的钢管，
故选：C．
【点睛】本题主要考查二元一次方程，掌握二元一次方程的解是关键．
7．C
【分析】本题考查了求一个数的算术平方根，立方根，绝对值，根据算术平方根，立方根的定义及绝对值的意义逐项分析即可．
【详解】解：A、，正确，本选项不符合题意；
B、，正确，本选项不符合题意；
C、，原计算错误，本选项符合题意；
D、，正确，本选项不符合题意；
故选：C．
8．B
【分析】分别求出不等式组中每个不等式的解集，然后在数轴上表示，再加以对照，即可得出正确选项．
【详解】解：
不等式①的解集为
不等式②的解集为x<3．
∴原不等式组的解集为-1≤x＜3
在数轴上表示为：
故选B
【点睛】本题考查了不等式组的解法和用数轴表示不等式组的解集的知识点，熟知不等式组的解法一般步骤是解题的关键．
9．B
【分析】证明，得，故正确；证，得平分，故正确，利用三角形的外角性质及角平分线定义得，进而得，故正确；，若，则，与事实不相符，故错误．
【详解】解：如图，

∵，，
∴，，，，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，故正确；
∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∴平分，故正确，
∵平分，平分，
∴，
∵，，
∴，
∴，故正确．
∵，
若，
∴，与事实不相符，故错误；
故选∶．
【点睛】本题考查了平行线的性质与判定、三角形内角和定理、三角形的外角性质、直角三角形的性质及角平分线的性质，熟知三角形的内角和等于是解题的关键．
10．C
【分析】本题主要考查了规律型：点的坐标，解题关键是求出运动后的坐标，由题意易知半圆的弧长为，然后可得点每秒走个半圆，即可求解．
【详解】半径为1个单位长度的半圆的弧长为
点从原点出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，
点每秒走个半圆．
当点从原点出发，沿这条曲线向右运动，
运动时间为1秒时，点的坐标为；
运动时间为2秒时，点的坐标为；
运动时间为3秒时，点的坐标为；
运动时间为4秒时，点的坐标为；
运动时间为5秒时，点的坐标为；
运动时间为6秒时，点的坐标为
点的横坐标等于运动时间，纵坐标以四个数为一个循环组循环．
第2025秒时，点的坐标是，
故选C．
11．垂线段最短
【分析】本题考查垂线段最短，根据垂线段最短求解即可得到答案
【详解】解：这样做的数学根据是：垂线段最短，
故答案为：垂线段最短．
12．256
【分析】由题意可知本题存在两个等量关系，即小长方形的长+小长方形的宽=40，小长方形的长+小长方形宽的4倍=小长方形长的2倍，根据这两个等量关系可列出方程组，进而求出小长方形的长与宽，最后求得小长方形的面积．
【详解】解：设一个小长方形的长为x，宽为y，
则可列方程组 ，
解得 ，
则一个小长方形的面积=32×8=256．
故答案为：256．
【点睛】此题考查二元一次方程组的应用，解答本题关键是弄清题意，看懂图示，找出合适的等量关系，列出方程组．并弄清小长方形的长与宽的关系．
13．①②③
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义等知识，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．①根据角平分线的定义得出，，再根据，即可得出，于是推出；②由角平分线的定义结合已知推出，再根据内错角相等，两直线平行即可得出；③由两直线平行，内错角相等得出，结合角平分线的定义得出，结合①的结论即可得出；④根据现有条件无法证明．
【详解】解：平分，
，
平分，
，
，
，
，即，故①正确；
平分，
，
，
，
，故②正确；
平分，
，
，
，
，
由①知，
，故③正确；
根据现有条件，无法证明，故④错误；
其中正确的有：①②③，
故答案为：①②③．
14．x＜1
【分析】首先根据关于y轴对称的对称点所在象限可确定点A在第二象限，再根据第二象限内点的坐标符号可得不等式组，再解不等式组即可．
【详解】解：∵点A（x﹣1，2﹣x）关于y轴对称的对称点在第一象限，
∴点A（x﹣1，2﹣x）在第二象限，
∴，
解得：x＜1，
故答案为：x＜1．
【点睛】此题主要考查了关于y轴对称点的坐标特点，以及解一元一次不等式组，关键是掌握关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变．
15．1
【分析】两方程相加表示出，根据方程组的解互为相反数，得到，即可求出的值．
【详解】解：，
①②得：，
即，
由题意得：，
即，
解得：．
故答案为：1．
【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．
16．
【分析】表示出不等式组的解集，根据不等式组整数解有2个，确定出a的范围即可．
【详解】不等式组整理得：，
解得：a＜x＜3，
由整数解共有2个，得到整数解为1，2，
则a的范围是，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了不等式组的解集，熟练掌握不等式组的解法是解题的关键．
17．同学①和同学③
【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质，两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．平行线的判定方法，内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．根据平行线的判定和性质，逐项进行判断即可．
【详解】解：，
，故同学①说法正确；
题中未说明，故不一定等于，故同学②说法错误；
，
，
若，则，
，故同学③说法正确；
，，
．
若，则，
，无法判断，故同学④说法错误．
综上分析可知：正确的有同学①和同学③．
故答案为：同学①和同学③．
18．(1)
(2)
【分析】本题考查的是二元一次方程组的解法，掌握解方程组的方法是解本题的关键；
（1）由先求解，再求解即可；
（2）把方程组整理为，再利用加减消元法解方程组即可.
【详解】（1）解： ，
，得，
即，
把代入①，得，
则方程组的解为．
（2）解：，
，得，
去分母，得．
去括号，合并同类项，得．
②去括号，得．
合并同类项，得．
联立方程组，得，
③④得：，
解得，
把代入③得：，
解得，
∴方程组的解为．
19．
【详解】本题主要考查了非负数的性质，解二元一次方程组，求平方根．根据非负数的性质可得关于x，y的方程组，求出x，y的值，即可求解．
解：与互为相反数，
，
，
解得，
，
的平方根为．
20．任务一：（1）不等式的基本性质2；（2），，数轴见解析；任务二：见解析
【分析】本题考查的是解一元一次不等式，掌握一元一次不等式的解法是解题关键．
任务一：（1）根据不等式的性质作答即可；
（2）根据不等式的解法补充步骤，再在数轴上表示不等式的解集即可；
任务二：根据不等式的解法作答即可．
【详解】解：任务一：（1）以上解题过程中，第一步“去分母”的变形依据是不等式的性质2，
故答案为：不等式的性质2；
（2）去分母，得…第一步
去括号，得……第二步
移项，得…………第三步
合并同类项，得……第四步
系数化为1，得……第五步
在数轴上表示如图所示：
任务二：不等式两边乘以（或除以）一个负数时，不等号要改变方向等．（答案不唯一）
21．(1)；两直线平行，内错角相等；；两直线平行，同位角相等
(2)
【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）由平行线的性质得出，，即可得证；
（2）根据平行线的性质得出，由角平分线的定义得出，结合得出，再由三角形内角和定理得出，计算即可得出答案．
【详解】（1）证明：，
（两直线平行，内错角相等），
，
（两直线平行，同位角相等），
，
故答案为：；两直线平行，内错角相等；；两直线平行，同位角相等；
（2）解：，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，．
22．(1)6，8
(2)36
(3)
【分析】本题主要考查了非负性的应用、坐标与图形、三角形的面积公式等知识点，正确画出图形成为解题的关键．
（1）利用非负数的性质求得a、b的值即可；
（2）先画出图形，然后根据坐标与图形以及三角形的面积公式列式计算即可；
（3）如图：连接，先说明,再根据图形可得，然后根据坐标与图形以及三角形的面积公式列式计算即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴．
故答案为：6，8．
（2）解：如图：∵点在轴上，
∴，
∴，
∴的面积为．
故答案为：36．
（3）解：如图：连接，
∵点在第三象限，
∴，
∵，
．
23．（1）30，补图见解析；（2）扇形B的圆心角度数为50.4°；（3）估计获得优秀奖的学生有400人．
【分析】（1）先根据E等级人数及其占总人数的比例可得总人数，再用D等级人数除以总人数可得a的值，用总人数减去其他各等级人数求得C等级人数可补全图形；
（2）用360°乘以A等级人数所占比例可得；
（3）用总人数乘以样本中E等级人数所占比例．
【详解】（1）∵被调查的总人数为10÷=50（人），
∴D等级人数所占百分比a%=×100%=30%，即a=30，
C等级人数为50﹣（5+7+15+10）=13人，
补全图形如下：
故答案为：30
（2）扇形B的圆心角度数为360°×=50.4°；
（3）估计获得优秀奖的学生有2000×=400人．
【点睛】本题考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
24．(1)每辆甲型号和乙型号玩具汽车的单价分别是20元和24元
(2)共有三种购买方案，分别为甲型号1辆，乙型号5辆；甲型号2辆，乙型号4辆；甲型号3辆，乙型号3辆
【分析】（1）设每辆甲型号和乙型号玩具汽车的单价分别为元，元．由题意，得，解方程组即可；
（2）设购买甲型号玩具汽车辆，则购买乙型号玩具汽车辆，依题意，得，求整数解即可.
本题主要考查列二元一次方程组解应用题，以及列一元一次不等式组解应用题，并设计方案.
读懂题意，正确的列出方程组和不等式组是解题的关键.
【详解】（1）解：设每辆甲型号和乙型号玩具汽车的单价分别为元，元．
根据题意得,
解得，
答：每辆甲型号和乙型号玩具汽车的单价分别是20元和24元；
（2）解：设购买甲型号玩具汽车辆，则购买乙型号玩具汽车辆，
根据题意得，
解得．
为正整数，
取1、2、3．
答：共有三种购买方案，分别为甲型号1辆，乙型号5辆；甲型号2辆，乙型号4辆；甲型号3辆，乙型号3辆．
25．(1)③
(2)2
(3)①，；②不存在，见解析
【分析】本题考查一元一次方程、一元一次不等式组的解．
（1）分别求出方程①②③的解，再求出不等式组的解集，根据“关联方程”的定义进行判断即可；
（2）先求出不等式组的解集，再根据不等式组的一个关联方程的解是整数，进而求出m的值即可；
（3）①根据一元一次方程的解法解这两个方程即可；
②求出不等式组的解集，根据“关联方程”的定义得出关于m的不等式组，解不等式组即可得出结论．
【详解】（1）解：方程①的解为；
方程②的解为；
方程③的解为；
不等式组的解集为，
∵，
∴不等式组的关联方程是方程③，
故答案为：③；
（2）解：解不等式组，得，
因此不等式组的整数解为．
将代入关联方程0，
得；
（3）解：①，
解得；
，
解得；
②不存在．理由如下：
解不等式组，
得，
假如方程和都是关于的不等式组的关联方程，
则且．
解得：且
∴不等式组无解，
不存在整数，使得方程和都是关于的不等式组的关联方程．
26．(1)；
(2)存在，点的坐标为或
(3)当点在线段上时，；当点在的延长线上时，；当点在的延长线上时，
【分析】本题主要考查了平移变换、坐标与图形、平行线的性质等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键．
（1）直接根据平移规律即可解答；
（2）先求出、，再根据三角形的面积等于三角形面积的一半列方程求得，然后再根据点A的坐标确定点D的坐标即可；
（3）点在线段上、的延长线、的延长线上三种情况，分别做辅助线、构造平行线并运用平行线的性质即可解答．
【详解】（1）解：根据题意可得，点的横坐标为，纵坐标为，即点的坐标为；点的横坐标为，纵坐标为，即点的坐标为．
故答案为：，．
（2）解：存在．由（1）可知，点到轴的距离为4，
．
点到轴的距离为4，
，
，
．
点A的坐标为，
∴点D的横坐标为或
点的坐标为或．
（3）解：①如图①，当点在线段上时，过点作轴，则，
，．
又，
．
②如图②，当点在的延长线上时，过点作轴，则，
．
又，
；
③如图③，当点在的延长线上时，过点作轴，则，
．
又，
．
综上，当点在线段上时，；当点在的延长线上时，；当点在的延长线上时，．
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