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【真题真练】华东师大版七年级下册期末模拟练透考点卷
数 学
（时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2021七下·曾都期末）请阅读下面的诗句：“栖树一群鸦，鸦树不知数.三只栖一树，五只没处去.五只栖一树，闲了一棵树.请你仔细数，鸦树各几何？”若设鸦有 只，树有 棵，则可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
2．（2022七下·南关期末）已知．当时，；当时，．则方程的解可能是（　　）
A．1.45 B．1.64 C．1.92 D．2.05
3．（2019七下·南平期末）如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1＝35°，则∠2等于（　　）
A．35° B．45° C．55° D．65°
4．（2024七下·揭阳期末）如图的2×4的正方形网格中，△ABC的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，在网格中与△ABC成轴对称的格点三角形一共有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
5．（2024七下·张北期末）小红每分钟踢毽子的次数正常范围为少于80次，但不少于50次，用不等式表示为（　　）
A．506．（2023七下·辛集期末）关于的不等式的解集是（　　）
A． B． C． D．
7．（2023七下·正定期末）如图，在中，，分别是，的中点，点在上，且，若，则（　　）
A． B． C． D．
8．（2023七下·正定期末）运行程序如图所示，规定：从“输入一个值 ”到“结果是否 ”为一次程序操作，如果程序操作进行了1次后就停止，则 最小整数值取多少（　　）
A．7 B．8 C．9 D．10
9．（2022七下·乐亭期末）如图，在△ABC中，延长CA至点F，使得AF＝CA，延长AB至点D，使得BD＝2AB，延长BC至点E，使得CE＝3CB，连接EF、FD、DE，若S△DEF＝36，则S△ABC为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
10．（2021七下·高平期末）某超市为了回馈顾客，若一次性购物不超过300元不优惠，超过300元时按全额9折优惠．一位顾客第一次购物付款180元，第二次购物付款288元，若这两次购物付款合并一次性付款可节省（　　）
A．18元 B．16元 C．18或46.8元 D．46.8元
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2017七下·惠山期末）若二元一次方程组 的解 ， 的值恰好是一个等腰三角形两边的长， 且这个等腰三角形的周长为7，则 的值为　 　．
12．（2022七下·台江期末）在中，，，点D在边上，连接，若为直角三角形，则的度数为　 　.
13．（2023七下·农安期末）如图，绕点O顺时针旋转30°后与重合.若，则　 　.
14．（2023七下·韩城期末）某文具店一款笔记本的进价为每本6元，售价为每本9元.该店老板“6.18”准备对这款笔记本打折销售，为使得利润率不低于5%，该笔记本最多可以打　 　折.
15．（2023七下·武昌期末）若不等式解集中x的每一个值，都能使关于x的不等式成立，则m的取值范围是　 　．
16．（2021七下·北仑期末）在一副三角尺中∠BPA=45°，∠CPD=60°，∠B=∠C=90°，将它们按如图所示摆放在量角器上，边PD与量角器的0°刻度线重合，边AP与量角器的180°刻度线重合.将三角尺PCD绕点P以每秒3°的速度逆时针旋转，同时三角尺ABP绕点P以每秒2°的速度顺时针旋转，当三角尺PCD的PC边与180°刻度线重合时两块三角尺都停止运动，则当运动时间t =　 　秒时，两块三角尺有一组边平行.
三、综合题(本大题有8个小题，每小题9分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2022七下·巴中期末）
（1）解方程：
（2）解方程组
（3）解不等式组 ，并把解集在数轴上表示出来．
18．（2022七下·抚州期末）如图1，在四边形ABDC中，，，点E是AC上一点，点F是AB的延长线上一点，且．
（1）试说明：．
（2）如图2，若点G在AB上，且，试猜想CE，EG，BG之间的数量关系，并加以说明．
（3）如图3，若题目中的改成，，点G在AB上，则满足什么条件时，（2）中的结论仍然成立？（直接写出条件即可）（提示：四边形的内角和等于360°）
19．（2021七下·遵化期末）如图所示，在△ABC中，BO、CO是角平分线．
（1）∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，求∠BOC的度数，并说明理由．
（2）题（1）中，如将“∠ABC＝50°，∠ACB＝60°”改为“∠A＝70°”，求∠BOC的度数．
（3）若∠A＝n°，求∠BOC的度数．
20．（2023七下·晋安期末）某校为推进五育并举，增强学生身体素质，拟开设篮球、足球校本选修课程，现需要购进一批篮球和足球.已知购买2个篮球和1个足球共需费用330元；购买5个篮球和2个足球共需费用780元.
（1）求篮球和足球的单价各是多少元
（2）在开设选修课程前，学校拟用810元购买若干个篮球和足球进行教学评估，且两种球均要购买，有哪几种购买方案
（3）若正式开设选修课程需要采购篮球、足球共60个，并要求篮球不少于19个，且总费用不超过6050元，试根据不同的购买方案，确定如何购买，才能使总费用最少，并求出费用的最小值.
21．（2023七下·惠安期末）已知关于的二元一次方程，其中为常数，且．
（1）若是该方程的一个解，求的值；
（2）当每取一个不为－1的值时，都可得到一个方程，且这些方程有一个公共解，试求出这个公共解；
（3）当时，；当时，．若，求整数．
22．（2020七下·四子王旗期末）随着人们生活质量的提高，净水器已经慢慢进入了普通百姓家庭．某电器公司销售每台进价分别为2000元，1700元的A，B两种型号的净水器，下表是近两周的销售情况：
销售时段 销售数量 销售收入
A型号 B型号
第一周 3台 5台 18000元
第二周 4台 10台 31000元
（1）求A，B两种型号的净水器的销售单价；
（2）若电器公司准备用不多于54000元的金额再采购这两种型号的净水器共30台，问A型号净水器最多能采购多少台
（3）在（2）的条件下，公司销售完这30台净水器能否实现利润为12800元的目标 若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由．
23．（2022七下·南安期末）在中，，点D在线段BC上
（1）如图1，点E在线段AC上，，若，则　 　°；
（2）如图2，AH平分，点F在线段BD上，交AD的延长线于点G，与的角平分线交于点P，问是否为定值，请说明理由；
（3）如图3，在（2）的条件下，点F在线段CD上，时，求的度数（用的代数式表示）.
24．（2023七下·长沙期末）对于不等式：（且），当时，；当时，，请根据以上信息，解答以下问题：
（1）解关于x的不等式：；
（2）若关于x的不等式：，其解集中无正整数解，求k的取值范围；
（3）若关于x的不等式：，当且时，在上总存在x的值使得其成立，求k的取值范围．
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【真题真练】华东师大版七年级下册期末模拟练透考点卷
数 学
（时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2021七下·曾都期末）请阅读下面的诗句：“栖树一群鸦，鸦树不知数.三只栖一树，五只没处去.五只栖一树，闲了一棵树.请你仔细数，鸦树各几何？”若设鸦有 只，树有 棵，则可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：设诗句中谈到的鸦为x只，树为y棵，则可列出方程组为：
故答案为：D.
【分析】设诗句中谈到的鸦为x只，树为y棵，利用“三只栖一树，五只没处去.五只栖一树，闲了一棵树”列出方程组即可.
2．（2022七下·南关期末）已知．当时，；当时，．则方程的解可能是（　　）
A．1.45 B．1.64 C．1.92 D．2.05
【答案】B
【解析】【解答】∵当时，；当时， ，
∴的解应该在1.5和1.8之间，
∴1.64符合题意。
故答案为：B
【分析】先求出方程的解的取值范围，再求解即可。
3．（2019七下·南平期末）如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1＝35°，则∠2等于（　　）
A．35° B．45° C．55° D．65°
【答案】C
【解析】【解答】解：如图，∵∠1+∠3＝90°，∠1＝35°，
∴∠3＝90°﹣∠1＝90°﹣35°＝55°，
又∵直尺的两边平行，
∴∠2＝∠3，
∴∠2＝55°．
故答案为：C．
【分析】根据余角的性质可得∠3＝90°﹣∠1＝55°，根据两直线平行，同位角相等可得∠2＝∠3=55°．
4．（2024七下·揭阳期末）如图的2×4的正方形网格中，△ABC的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，在网格中与△ABC成轴对称的格点三角形一共有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【解析】【解答】如图：共3个，
故选B．
【分析】本题考查了轴对称图形，根据题意，画出图形，找出对称轴及相应的三角形，即可得到答案．
5．（2024七下·张北期末）小红每分钟踢毽子的次数正常范围为少于80次，但不少于50次，用不等式表示为（　　）
A．50【答案】C
【解析】【解答】解：由题意正常范围为少于80次，但不少于50次，即大于等于50，小于80，
∴50≤x＜80，
故答案为：C.
【分析】根据题干中关键词少于、不少于，即可列出不等式.
6．（2023七下·辛集期末）关于的不等式的解集是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】∵，
∴，
故答案为：D.
【分析】利用不等式的性质及不等式的解法求出解集即可。
7．（2023七下·正定期末）如图，在中，，分别是，的中点，点在上，且，若，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】∵，，
∴，
∵是的中点，
∴，
故选：D.
【分析】根据三角形面积和线段长度求出，根据中线和三角形面积求出 .
8．（2023七下·正定期末）运行程序如图所示，规定：从“输入一个值 ”到“结果是否 ”为一次程序操作，如果程序操作进行了1次后就停止，则 最小整数值取多少（　　）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】D
【解析】【解答】依题意，得： ，
解得： ．
∵ 为整数，
∴ 的最小值为10．
故答案为：D．
【分析】先求出 ，再解不等式得，最后求解即可。
9．（2022七下·乐亭期末）如图，在△ABC中，延长CA至点F，使得AF＝CA，延长AB至点D，使得BD＝2AB，延长BC至点E，使得CE＝3CB，连接EF、FD、DE，若S△DEF＝36，则S△ABC为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【解析】【解答】如图，连接AE，CD，设△ABC的面积为m，
BD= 2AB，
S△BCD=2S△ABC =2m，
S△ACD= S△BCD + S△ABC =3m，
AC= AF，
S△ADF= S△ACD=3m，
EC=3BC，
S△ECA==3S△ABC =3m，
S△EDC= 3S△BCD =6m，
AC= AF，
S△AEF= S△EAC= 3m，
S△DEF= S△ABC+ S△BCD + S△EDC + S△ECA + S△AEF + S△ADF
=m + 2m +6m+3m+3m+3m
= 18m = 36，
m= 2，
△ABC的面积为2，
故答案为：A．
【分析】连接AE，CD，设△ABC的面积为m，利用割补法可得S△DEF= S△ABC+ S△BCD + S△EDC + S△ECA + S△AEF + S△ADF，再将数据代入计算即可。
10．（2021七下·高平期末）某超市为了回馈顾客，若一次性购物不超过300元不优惠，超过300元时按全额9折优惠．一位顾客第一次购物付款180元，第二次购物付款288元，若这两次购物付款合并一次性付款可节省（　　）
A．18元 B．16元 C．18或46.8元 D．46.8元
【答案】C
【解析】【解答】（1）若第二次购物超过300元，
设此时所购物品价值为x元，则
90%x=288，
解得x=320，
两次所购物价值为180+320=500>300，
所以享受9折优惠，因此应付
500×90%=450（元），
这两次购物付款合并一次性付款可节省：
180+288-450=18（元），
（2）若第二次购物没有超过300元，
两次所购物价值为180+288=468（元），
这两次购物付款合并一次性付款可节省：
468×10%=46.8（元），
故答案为：C．
【分析】此题的难度较大，原因在于第二次购物的钱数并未指明是否超过300元，故应分类讨论，所以答案有两种情况。
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2017七下·惠山期末）若二元一次方程组 的解 ， 的值恰好是一个等腰三角形两边的长， 且这个等腰三角形的周长为7，则 的值为　 　．
【答案】2
【解析】【解答】解方程组 ，得 ，
因为x与y为三角形的边长，所以 ，∴1＜m＜3，
若x为腰，则有2x+y=7，即6m-6+3-m=7，解得：m=2；
若x为底，则有x+2y=3m-3+6-2m=7，解得：m=4，不合题意，舍去，
则m的值为2.
【分析】根据题意求出x、y含m的代数式，由x、y是一个等腰三角形两边的长，等腰三角形的周长为7，得到方程，求出m的值.
12．（2022七下·台江期末）在中，，，点D在边上，连接，若为直角三角形，则的度数为　 　.
【答案】或
【解析】【解答】解：分两种情况： ①如图1，当∠ADC=90°时，
∵∠B=20°，∠B+∠BCD=90°，
∴∠BCD=90°－∠B=90°－20°=70°；
②如图2，当∠ACD=90°时，
∵∠A=60°，∠B=20°，∠A+∠B+∠ACB=180°，
∴∠ACB=180°－∠B－∠A=180°－20°－60°=100°，
∴∠BCD=∠ACB－∠ACD=100°－90°=10°，
综上，∠BCD的度数为70°或10°.
故答案为：70°或10°.
【分析】当∠ADC=90°时，根据余角的性质可得∠BCD=90°-∠B，据此计算； 当∠ACD=90°时， 根据内角和定理可得∠ACB=100°， 然后根据∠BCD=∠ACB-∠ACD进行计算.
13．（2023七下·农安期末）如图，绕点O顺时针旋转30°后与重合.若，则　 　.
【答案】70°
【解析】【解答】解：∵绕点O顺时针旋转30°后与重合，
∴∠AOC=∠BOD=30°，
∵∠AOD=130°，
∴∠COB=∠AOD-∠AOC-∠BOD=130°-30°-30°=70°，
故答案为：70°.
【分析】利用旋转的性质可得∠AOC=∠BOD=30°，再利用角的运算求出∠COB的度数即可.
14．（2023七下·韩城期末）某文具店一款笔记本的进价为每本6元，售价为每本9元.该店老板“6.18”准备对这款笔记本打折销售，为使得利润率不低于5%，该笔记本最多可以打　 　折.
【答案】7
【解析】【解答】解：设笔记本可以打x折，由题意得，
，
∴.
故答案为：7.
【分析】依据题意找出不等式关系，列一元一次不等式，求出x取值范围即可求出答案.
15．（2023七下·武昌期末）若不等式解集中x的每一个值，都能使关于x的不等式成立，则m的取值范围是　 　．
【答案】
【解析】
【解答】
解得：
解关于x的不等式 ；
3x-3+5>5x+2m+2x
3x-5x-2x>2m+3-5
-4x>2m-2
解得：
∵不等式解集中x的每一个值，都能使关于x的不等式成立；
故答案为：
【分析】本题首先要求出不等式 解集， 解得，再求出 ，解得 ，根据题目的意思列出符合条件的含有m的不等式，解出的取值范围即可。
16．（2021七下·北仑期末）在一副三角尺中∠BPA=45°，∠CPD=60°，∠B=∠C=90°，将它们按如图所示摆放在量角器上，边PD与量角器的0°刻度线重合，边AP与量角器的180°刻度线重合.将三角尺PCD绕点P以每秒3°的速度逆时针旋转，同时三角尺ABP绕点P以每秒2°的速度顺时针旋转，当三角尺PCD的PC边与180°刻度线重合时两块三角尺都停止运动，则当运动时间t =　 　秒时，两块三角尺有一组边平行.
【答案】6或9或15或33
【解析】【解答】解：根据题意，∠MPA=2t，∠NPD=3t，
当三角尺PCD的PC边与180°刻度线重合时两块三角尺都停止运动，
则运动时间为t= （秒）；
当PA∥CD时，即∠APC=∠C=90°，∠CPD=60°，
∴∠MPA+∠APC+∠CPD+∠NPD=180°，即2t+90+60+3t =180，
解得：t =6（秒）；
当PD∥AB时，即∠B=∠BPD=90°，∠BPA=45°，
∴∠MPA+∠BPA+∠BPD+∠NPD=180°，即2t+45+90+3t =180，
解得：t =9（秒）；
当CD∥AB时，即PB与PC重合，∠BPA=45°，∠CPD=60°，
∴∠MPA+∠BPA+∠BPD+∠NPD=180°，即2t+45+60+3t =180，
解得：t =15（秒）；
当CP∥AB时，则四边形BECP为长方形，∠CPB=90°，
∴∠D=∠BPD=30°，
∴∠APD=∠APB-∠BPD =45°-30°=15°，
∴∠MPA+∠APD+∠NPD=180°，即2t+15+3t =180，
解得：t =33（秒）；
当CD∥PA时，则∠D=∠APD=30°，
∴∠MPA +∠NPD-∠APD =180°，即2t+3t-30 =180，
解得：t =42>40，不符合题意；
综上，当运动时间t 为6或9或15或33秒时，两块三角尺有一组边平行.
故答案为：6或9或15或33.
【分析】根据题意可得到∠MPA=2t，∠NPD=3t，当三角尺PCD的PC边与180°刻度线重合时两块三角尺都停止运动可求出运动时间t的值；再分情况讨论：当PA∥CD时，即∠APC=∠C=90°，∠CPD=60°， 利用平角的定义建立关于t的方程，解方程求出t的值；当PD∥AB时，即∠B=∠BPD=90°，∠BPA=45°，利用∠MPA+∠BPA+∠BPD+∠NPD=180°，建立关于t的方程，解方程求出t的值；当CD∥AB时，即PB与PC重合，∠BPA=45°，∠CPD=60°，根据∠MPA+∠BPA+∠BPD+∠NPD=180°，建立关于t的方程，解方程求出t的值；当CP∥AB时，则四边形BECP为长方形，∠CPB=90°，可求出∠BPD的度数，由此可求出∠APD的度数；然后根据∠MPA+∠APD+∠NPD=180°，建立关于t的方程，解方程求出t的值；当CD∥PA时，则∠D=∠APD=30°，根据∠MPA +∠NPD-∠APD =180°，建立关于t的方程，求出t的值不符合题意；
综上所述可得到符合题意的t的值.
三、综合题(本大题有8个小题，每小题9分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2022七下·巴中期末）
（1）解方程：
（2）解方程组
（3）解不等式组 ，并把解集在数轴上表示出来．
【答案】（1）解：，
，
，
，
；
（2）解：，
解：把①代入②得：
，
解得：．
将代入①中，解得．
原方程组的解为
．
（3）解：，
解：由①式解得，，
由②式解得，，
原不等式组的解集为，
在数轴上表示如下：
【解析】【分析】（1）给方程两边同时乘以15可得5(x-2)-15=3(x+1)，然后根据去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤进行求解；
（2）将第一个方程代入第二个方程中可求出x的值，将x的值代入第一个方程中求出y的值，据此可得方程组的解；
（3）分别求出两个不等式的解集，根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了，取其公共部分可得不等式组的解集，然后根据解集的表示方法：大向右，小向左，实心等于，空心不等，将解集表示在数轴上.
18．（2022七下·抚州期末）如图1，在四边形ABDC中，，，点E是AC上一点，点F是AB的延长线上一点，且．
（1）试说明：．
（2）如图2，若点G在AB上，且，试猜想CE，EG，BG之间的数量关系，并加以说明．
（3）如图3，若题目中的改成，，点G在AB上，则满足什么条件时，（2）中的结论仍然成立？（直接写出条件即可）（提示：四边形的内角和等于360°）
【答案】（1）证明：∵ 四边形ABDC的内角和等于360°，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：．理由如下：
由（1）知，
∴，
∵，，
∴，
∴，
即，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：时，（2）中结论仍然成立．
理由如下：
∵，，
∴，
同（1）可证，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
即，
同（2）可证，在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
【解析】【分析】（1）SAS的应用；
（2）利用全等的性质可将CE、EG、BG转化到同一条线段FG上，可证EG＝CE+BG。
19．（2021七下·遵化期末）如图所示，在△ABC中，BO、CO是角平分线．
（1）∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，求∠BOC的度数，并说明理由．
（2）题（1）中，如将“∠ABC＝50°，∠ACB＝60°”改为“∠A＝70°”，求∠BOC的度数．
（3）若∠A＝n°，求∠BOC的度数．
【答案】（1）解：如图，
∵BO、CO是角平分线，
∴∠ABC=2∠1，∠ACB=2∠2，
∵∠ABC+∠ACB+∠A=180°，
∴2∠1+2∠2+∠A=180°，
∵∠1+∠2+∠BOC=180°，
∴2∠1+2∠2+2∠BOC=360°，
∴2∠BOC﹣∠A=180°，
∴∠BOC=90°+∠A，
∵∠ABC=50°，∠ACB=60°，
∴∠A=180°﹣50°﹣60°=70°，
∴∠BOC=90°+×70°=125°；
（2）解：∠BOC=90°+∠A=125°；
（3）解：∠BOC=90°+n°．
【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠ABC=2∠1，∠ACB=2∠2，再利用三角形的内角和可得2∠1+2∠2+∠A=180°，从而可得∠A=180°﹣50°﹣60°=70°，∠BOC=90°+×70°=125°；
（2）根据（1）的计算方法可得∠BOC=90°+∠A=125°；
（3）根据（1）的计算方法可得∠BOC=90°+n°。
20．（2023七下·晋安期末）某校为推进五育并举，增强学生身体素质，拟开设篮球、足球校本选修课程，现需要购进一批篮球和足球.已知购买2个篮球和1个足球共需费用330元；购买5个篮球和2个足球共需费用780元.
（1）求篮球和足球的单价各是多少元
（2）在开设选修课程前，学校拟用810元购买若干个篮球和足球进行教学评估，且两种球均要购买，有哪几种购买方案
（3）若正式开设选修课程需要采购篮球、足球共60个，并要求篮球不少于19个，且总费用不超过6050元，试根据不同的购买方案，确定如何购买，才能使总费用最少，并求出费用的最小值.
【答案】（1）解：设篮球的单价为x元/个，足球的单价为y元/个，依题意得
解得，经检验，符合题意.
答：篮球和足球的单价分别是120元/个、90元/个.
（2）解：设购买m个篮球，n个足球，依题意得
，整理得，
m、n都是正整数，
或
共有2种购买方案，分别是：
方案1：购买3个篮球，5个足球；
方案2：购买6个篮球，1个足球.
（3）解：设购买篮球a个，则购买足球个，依题意得，
解得
又，
，
a是正整数，
或20或21，
相应的或40或39.
共有3种购买方案，分别是：
方案l：购买19个篮球，41个足球，总费用为：（元）；
方案2：购买20个篮球，40个足球；总费用为：（元）；
方案3：购买21个篮球，39个足球；总费用为：（元）；
，
方案1的费用最少，最少费用为5970元.
【解析】【分析】（1）设篮球的单价为x元/个，足球的单价为y元/个，根据购买2个篮球和1个足球共需费用330元可得2x+y=330；根据购买5个篮球和2个足球共需费用780元可得5x+2y=780，联立求解即可；
（2）设购买m个篮球，n个足球，根据篮球的单价×个数+足球的单价×个数=总价结合题意可得关于m、n的方程，表示出n，结合m、n为正整数可得m、n的值，据此可得购买方案；
（3）设购买篮球a个，则购买足球(60-a)个，根据篮球的单价×个数+足球的单价×个数=总价结合题意可得关于a的不等式，结合篮球不少于19个可确定出a的范围，进而得到a的值，然后求出每种方案对应的总费用，再进行比较即可.
21．（2023七下·惠安期末）已知关于的二元一次方程，其中为常数，且．
（1）若是该方程的一个解，求的值；
（2）当每取一个不为－1的值时，都可得到一个方程，且这些方程有一个公共解，试求出这个公共解；
（3）当时，；当时，．若，求整数．
【答案】（1）解：依题意，得，解得
（2）解：依题意，不妨取的两个不同数值，如，，
则有
解得
故这个公共解是
（3）解：根据题意，得，解得
∵，∴，解得
又是整数，∴．
【解析】【分析】（1）将x，y的值代入即可得到一个关于k的方程，解出方程即得到k值；
（2）首先先随便取两个不为-1的值，代入方程中，联立方程组，解方程组即可得到这两个方差的公共解；
（3）将题目所给的两组x，y的值代入方程，得到关于a，b，k的方程组，解出k，又因为 k满足，将解出的k代入即可得到一组关于b的一元一次不等式方程组，解出解集，又b是整数，所以b=7.
22．（2020七下·四子王旗期末）随着人们生活质量的提高，净水器已经慢慢进入了普通百姓家庭．某电器公司销售每台进价分别为2000元，1700元的A，B两种型号的净水器，下表是近两周的销售情况：
销售时段 销售数量 销售收入
A型号 B型号
第一周 3台 5台 18000元
第二周 4台 10台 31000元
（1）求A，B两种型号的净水器的销售单价；
（2）若电器公司准备用不多于54000元的金额再采购这两种型号的净水器共30台，问A型号净水器最多能采购多少台
（3）在（2）的条件下，公司销售完这30台净水器能否实现利润为12800元的目标 若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由．
【答案】（1）解：可设A种型号净水器的销售单价是x元/台，B种型号净水器的销售单价是y元/台，
，
解得 ，
∴A种型号净水器的销售单价是2500元/台，B种型号净水器的销售单价是2100元/台；
（2）解：可设A种型号净水器采购a台，则B种型号净水器采购（30-a）台，
2000a+1700（30-a）≤54000
解得a≤10
∴A种型号净水器最多能采购10台；
（3）解：A种型号净水器每台利润2500-2000=500元，B种型号每台利润2100-1700=400元
500×10+400×20=13000(元) 12800元
能实现利润为12800元的目标．
设采购A型号净水器采购a台，则B种型号净水器采购（30-a）台
500a+400（30-a）=12800
解得a=8
因此方案：采购A型号净水器8、B型号净水器22台．
【解析】【分析】（1）设A、B两种型号净水器的销售单价分别为x元、y元，根据3台A型号5台B型号的净水器收入18000元，4台A型号10台B型号的净水器收入31000元，列方程组求解即可；
（2）设采购A种型号净水器a台，则采购B种型号净水器（30-a）台，根据金额不多余54000元，列不等式求解；
（3）设利润为12800元，列方程求出a的值，符合（2）的条件，可知能实现目标。
23．（2022七下·南安期末）在中，，点D在线段BC上
（1）如图1，点E在线段AC上，，若，则　 　°；
（2）如图2，AH平分，点F在线段BD上，交AD的延长线于点G，与的角平分线交于点P，问是否为定值，请说明理由；
（3）如图3，在（2）的条件下，点F在线段CD上，时，求的度数（用的代数式表示）.
【答案】（1）50
（2）解：，理由如下：
如图，延长GF交AB于K.设∠P=x，∠CFG=y.
∵AH⊥GK，AH平分∠BAD，
∴∠GAH+∠AGH=90°，∠KAH+∠AKG=90°，∠KAH=∠GAH，
∴∠AGK=∠AKG，
∵PD平分∠AGF，
∴∠AGK=2∠PGK，
∵∠AKQ=∠B+∠KFB，
∴2∠PGK=∠KFB+∠B=∠ACB+∠CFG，
∵CP平分∠ACB，
∴∠ACB=2∠PCB，
∴2∠PGK=2∠PCB+y
∴
由三角形的外角性质得∠P+∠PCB=∠PGK+∠CFG，
∴，
∴x-y=，即x=，
∴
（3）解：如图，延长GH交AB于K，延长PG交BC于N.设∠BFG=y.
同法可证：∠AGK=∠AKG，
∴∠AGK=∠AKG=∠B+∠BFK，
∴∠AGF=180°-∠AGK=180°-∠B-∠BFK，
∵PG平分∠AGF，
∴，
∵CP平分∠ACB，
∴∠ACB=2∠PCB，
又∵∠B=∠ACB，
∴∠B=2∠PCB，
∴，
∴，
由三角形外角的性质可知，
∴，
∴，
∴
∴；
【解析】【解答】解：（1）解：∵∠ADC=∠B+∠BAD，∠AED=∠C+∠CDE，
∴∠B+∠BAD=∠ADE+∠CDE，
∵∠ADE=∠AED，∠C=∠B，
∴∠ADE=∠C+∠CDE=∠B+∠CDE，
∴∠B+∠BAD=∠B+∠CDE+∠CDE，
∴∠BAD=2∠CDE=50°，
故答案为：50；
【分析】（1）由三角形外角的性质可得∠ADC=∠B+∠BAD，∠AED=∠C+∠CDE，结合已知得∠BAD=2∠CDE可求解；
（2）延长GF交AB于K.设∠P=x，∠CFG=y，由等角的余角相等可得∠AGK=∠AKG，结合角平分线定义可得∠AGK=2∠PGK，∠ACB=2∠PCB，根据三角形外角的性质“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”得∠AKQ=∠B+∠KFB，于是2∠PGK=2∠PCB+y，由三角形外角的性质“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”得∠P+∠PCB=∠PGK+∠CFG，整理可求解；
（3）延长GH交AB于K，延长PG交BC于N.设∠BFG=y，同理可求解.
24．（2023七下·长沙期末）对于不等式：（且），当时，；当时，，请根据以上信息，解答以下问题：
（1）解关于x的不等式：；
（2）若关于x的不等式：，其解集中无正整数解，求k的取值范围；
（3）若关于x的不等式：，当且时，在上总存在x的值使得其成立，求k的取值范围．
【答案】（1）解：∵，
∴，
解得；
（2）解：∵，
∴，
∴，
当时，则，此时任意的实数x都满足条件，
又∵不等式解集中无正整数解，
∴此种情况不符合题意；
当时，则，
∵不等式解集中无正整数解，
∴，
∴；
当时，则，
又∵不等式解集中无正整数解，
∴此种情况不符合题意；
综上所述，；
（3）解：当时，
∵，
∴，
∴，
∵在上总存在x的值使得成立，
∴，
∴；
当时，
∵，
∴，
∴，
∵在上总存在x的值使得成立，
∴，
∴；
综上所述，当时，；当时，．
【解析】【分析】本题考查新定义下的解不等式。结合题目定义，分类讨论情况是解题关键。
（1）根据定义的不等式：（且），当时，；则由可得，解得；
（2）根据 （且），当时，和 可得，整理得，分类讨论5-k情况：或或，可得k的范围；
（3） 根据题意，对a的范围分类讨论：当时，得，有，得；当时，有，有，得；综上所述，当时，；当时，．
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