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【真题真练】华东师大版八年级下册期末考点集训进阶卷
数 学
（时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2019八下·大名期末）已知一次函数 ，若 随 的增大而增大，则 的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
2．（2024八下·巴中期末）如图，直线与相交于点，则关于的不等式的解集是（　　）
A． B． C． D．
3．（2024八下·雁江期末）如图，点是矩形的对角线上一点，过点作，分别交，于、，连接、．若，，则图中阴影部分的面积为（　　）
A．10 B．12 C．16 D．18
4．（2023八下·台山期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°。若AB=15，则正方形ADEC和正方形BCFG的面积和为（　　）
A．150 B．200 C．225 D．无法计算
5．（2023八下·邕宁期末）八年级某班甲、乙、丙、丁四位同学准备选一人参加学校“跳绳”比赛．经过三轮测试，他们的平均成绩都是每分钟个，方差分别是，你认为派哪一个同学去参赛更合适（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
6．（2021八下·贵港期末）已知点 在第四象限，且点 到 轴的距离是3，到 轴的距离是5，则点 的坐标是（　　）
A． B． C． D．
7．（2022八下·洛江期末）如图，菱形 对角线 ， ，则菱形高 长为（　　）
A． B． C． D．
8．（2023八下·岑溪期末）已知四边形，下列条件中不能确定四边形是平行四边形的是（　　）
A．且 B．且
C．且 D．且
9．（2023八下·泗水期末）已知、两地是一条直路，甲车从地到地，乙车从地到地，两车同时出发，乙先到达目的地，两车之间的距离（）与运动时间（）的函数关系大致如图所示，下列说法错误的是（　　）
A．两车出发后相遇
B．甲车的速度为/
C．乙的速度为/
D．乙车比甲车提前到达目的地
10．（2023八下·安庆期末）已知：如图，在菱形ABCD中，F为边AB的中点，DF与对角线AC交于点G，过G作GE⊥AD于点E，若AB=2，且∠1=∠2，则下列结论正确个数的有（　　）
①DF⊥AB；②CG=2GA；③CG=DF+GE；④S四边形BFGC=-1．
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2019八下·渠县期末）不改变分式的值，使分子、分母的第一项系数都是正数，则 ＝　 　．
12．（2019八下·东阳期末）在 中 ， 平分 交 点E， 平分 交 于点F，且 ，则 的长为　 　.
13．（2023八下·宽城期末）在平面直角坐标系中，一次函数与的图象的交点坐标是，则方程组的解是　 　 ．
14．（2023八下·朝阳期末）在 中，若与的大小的比是：，则的大小为　 　 度
15．（2024八下·广州期末）如图，在矩形中，已知，，点，分别是边，的中点，点是边上的一个动点，连接，将四边形沿折叠，得到四边形，连接，则长度的最小值是　 　．
16．（2021八下·宛城期末）如图，正方形 的边长为1，顶点 是原点，顶点 在第二象限，顶点 、 分别在 、 轴上，把 轴负半轴上的点 绕顶点 顺时针旋转90°后，对应点 恰好落在反比例函数 的图象上，若 ，则 的值是　 　.
三、综合题(本大题有8个小题，每小题9分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2023八下·澄城期末）刚刚举行的九年级体育模拟中，甲、乙两位同学在进行投篮测试，测试共五组，每组投10次，进球的个数统计结果如下：甲：9，9，9，6，7；乙：4，9，8，9，10；
列表进行数据分析：
选手 平均成绩 中位数 众数 方差
甲 8 b 9 d
乙 a 9 c 4.4
（1）　 　，　 　；
（2）试计算乙的平均成绩a和甲的方差d；
（3）如果你是体育老师，请你从平均成绩和成绩的稳定性两个方面分析哪位同学的成绩更好？（请说明理由）
18．（2023八下·普陀期末）在平面直角坐标系 中，已知一次函数 的图像与 轴、 轴分别相交于点 、 ，且与两坐标轴所围成的三角形的面积为6．
（1）直接写出点 与点 的坐标（用含 的代数式表示）；
（2）求 的值；
（3）如果一次函数 的图像经过第二、三、四象限，点C的坐标为（2，m），其中 ，试用含 的代数式表示△ 的面积．
19．（2023八下·和平期末）已知：如图，在矩形ABCD中，M，N分别是边AD，BC的中点，E，F分别是线段BM，CM的中点．
（1）求证：△ABM≌△DCM；
（2）判断四边形MENF是什么特殊四边形，并证明你的结论；
（3）当AD：AB=　 　时，四边形MENF是正方形（只写结论，不需证明）．
20．（2022八下·宁安期末）夏季来临，某商场准备购进甲、乙两种空调，其中甲种空调比乙种空调进价每台少500元，用40000元购进甲种空调数量与用50000元购进乙种空调数量相同．该商场计划一次性从空调生产厂家购进甲、乙两种空调共100台，其中乙种空调的数量不超过甲种空调的2倍．若甲种空调每台售价2400元，乙种空调每台售价3000元．请解答下列问题：
（1）求甲、乙两种空调每台的进价分别是多少元
（2）设购进甲种空调x台，100台空调的销售总利润为y元，该商店购进甲、乙两种空调各多少台才能使销售总利润最大，最大利润是多少？
（3）在（2）的条件下，商场拿出一部分利润购买A、B两种轮椅捐赠给敬老院，已知A种轮椅一台300元，B种轮椅一台400元，最后商场仅剩利润38600元，请直接写出商场有几种购买方案．
21．（2022八下·西双版纳期末）如图，在Rt中，，D是的中点，E是的中点，过点A作AF//BC交延长线于点F．
（1）求证：；
（2）求证：四边形是菱形；
（3）若，菱形的面积为10，求的长．
22．（2022八下·自贡期末）问题：探究函数的图象及其性质．
小华根据学习函数的经验，对函数的图象及其性质进行了探究；下面是小华的探究过程，请补充完整：
（1）在的中，自变量可以是任意实数；下表是与的几组对应值：
x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 …
y … -1 0 1 2 3 2 1 0 m …
则=　 　；若为该函数图象上不同的两点，则=　 　 ．
（2）如图，在平面直角坐标系中，描出上表中各对对应值为坐标的点，并根据描出的点，画出该函数的图象；
（3）根据函数图象可得该函数的最大值为　 　，函数的图象与直线围成的图形面积是　 　．
23．（2023八下·岑溪期末）如图，在平行四边形中，，，，点O是对角线的中点.过点O的直线分别交射线和射线于点E，F，连结.
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）当是以为腰的等腰三角形时，求的长；
（3）当平分时，求的长
24．（2022八下·宁安期末）AM∥BN，ABBN，垂足为B， 点C在直线BN上，ACCD，AC=CD，DEAM，垂足为E．
（1）如图①，求证：DE+BC=AB；
（2）如图②、图③，请分别写出线段DE，BC与AB之间的数量关系，不需要证明；
（3）在（1）、（2）的条件下，AC=100，AB-BC =2，则线段DE=　 　．
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【真题真练】华东师大版八年级下册期末考点集训进阶卷
数 学
（时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2019八下·大名期末）已知一次函数 ，若 随 的增大而增大，则 的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：∵一次函数y＝（k﹣1）x+2，若y随x的增大而增大，
∴k﹣1＞0，
解得 k＞1。
故答案为：A。
【分析】根据一次函数的性质与系数的关系，由y随x的增大而增大，可知自变量的系数应该大于0，从而列出不等式，求解即可。
2．（2024八下·巴中期末）如图，直线与相交于点，则关于的不等式的解集是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：由图象可知：两直线的交点的横坐标为，且当时，函数的图象都在函数图象的下方，
关于的不等式的解集为．
故答案为：B．
【分析】观察函数图象可知：关于的不等式的解集就是直线y=x+b低于直线y=kx-1所对应的x的取值范围．
3．（2024八下·雁江期末）如图，点是矩形的对角线上一点，过点作，分别交，于、，连接、．若，，则图中阴影部分的面积为（　　）
A．10 B．12 C．16 D．18
【答案】B
【解析】【解答】解：作于，交于．
则有四边形，四边形，四边形，四边形都是矩形，
，，，，，
∴，
，
，
，
故答案为：B．
【分析】作于，交于，则有四边形，四边形，四边形，四边形都是矩形，即，，，，，可得，根据矩形性质可得，即可求出答案.
4．（2023八下·台山期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°。若AB=15，则正方形ADEC和正方形BCFG的面积和为（　　）
A．150 B．200 C．225 D．无法计算
【答案】C
【解析】【解答】解：∵正方形ADEC的面积为AC2，正方形BCFG的面积为BC2.
∴正方形ADEC和正方形BCFG的面积和为AC2+BC2=AB2=152=225.
故答案为：C.
【分析】根据正方形的面积等于边长的平方可得正方形ADEC和正方形BCFG的面积和为AC2+BC2
在Rt△ABC中 ，利用勾股定理求出AB ，即为正方形ADEC和正方形BCFG的面积和 .
5．（2023八下·邕宁期末）八年级某班甲、乙、丙、丁四位同学准备选一人参加学校“跳绳”比赛．经过三轮测试，他们的平均成绩都是每分钟个，方差分别是，你认为派哪一个同学去参赛更合适（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】D
【解析】【解答】解： 因为他们的平均成绩都是每分钟个，所以只需看方差.
因为，
所以 ，
所以丁同学跳绳成绩稳定，所以选丁同学去参赛更合适.
故答案为：D.
【分析】平均数相同，要确定哪位同学去参赛更合适，只需选择方差最小的.
6．（2021八下·贵港期末）已知点 在第四象限，且点 到 轴的距离是3，到 轴的距离是5，则点 的坐标是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】∵点 到 轴的距离是3，到 轴的距离是5，
∴ ，
∵点 在第四象限，
∴x>0，y<0，
即：x=3，y=-5，
∴点 的坐标是 ，
故答案为：C.
【分析】由题意可得|x|=3，|y|=5，由点P位于第四象限可得x>0，y<0，据此可得x、y的值，进而得到点P的坐标.
7．（2022八下·洛江期末）如图，菱形 对角线 ， ，则菱形高 长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解： 菱形 对角线 ， ，
，
，
，
根据勾股定理， ，
菱形 的面积 ，
即 ，
解得 .
故答案为：C.
【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分求出 、 ，然后利用勾股定理列式求出 ，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半和底乘以高两种方法列式计算即可得解.
8．（2023八下·岑溪期末）已知四边形，下列条件中不能确定四边形是平行四边形的是（　　）
A．且 B．且
C．且 D．且
【答案】D
【解析】【解答】解：A、 且，两组对边分别平行，据此可判定四边形是平行四边形，故不符合题意；
B、且，一组对边平行且相等，据此可判定四边形是平行四边形，故不符合题意；
C、∵AB∥CD，
∴∠A+∠B=180°，
∵∠A=∠C，
∴∠C+∠B=180°，
∴AD∥BC，
∴四边形是平行四边形，故不符合题意；
D、 由且 不能确定四边形是平行四边形 ，故符合题意；
故答案为：D.
【分析】两组对边分别平行的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形；据此逐项判断即可.
9．（2023八下·泗水期末）已知、两地是一条直路，甲车从地到地，乙车从地到地，两车同时出发，乙先到达目的地，两车之间的距离（）与运动时间（）的函数关系大致如图所示，下列说法错误的是（　　）
A．两车出发后相遇
B．甲车的速度为/
C．乙的速度为/
D．乙车比甲车提前到达目的地
【答案】D
【解析】【解答】
A：当t=2时，y=0，即当两车行驶2小时后，两车间的距离为0，即相遇。A正确；
B：由图可知，甲车从A地到B地共用了5小时，所以甲车的速度为300÷5=60km/h，B正确；
C：两车从出发到相遇用了2小时，所以两车的速度和为300÷2=150km/h，所以乙车的速度为150-60=90km/h，C正确；
D：乙车从B地到A地所用的时间为：300÷90=小时，比甲车提前的时间为：小时。D错误。
故答案为：D
【分析】
两车相遇时，两车间的距离为0，结合图像得出相遇时间，甲的到达时间，从而可计算出甲的速度，甲乙的速度和，乙的速度及乙的到达时间。
10．（2023八下·安庆期末）已知：如图，在菱形ABCD中，F为边AB的中点，DF与对角线AC交于点G，过G作GE⊥AD于点E，若AB=2，且∠1=∠2，则下列结论正确个数的有（　　）
①DF⊥AB；②CG=2GA；③CG=DF+GE；④S四边形BFGC=-1．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】【解答】解：①DF⊥AB；
∵ ABCD是菱形
∴AB=AD=2，
∴AG=DG
∴
∵F为边AB的中点，
∴
∴AF=AE
∴在AGF和AGE中
∴AGF ≌AGE(SAS)
∴
即
故①正确
②CG=2GA；
连接BD交AC于O
由①知
∴AFD ≌BFD(SAS)
∴AB=BD=AD=2
∴
∴
∴
∵ ABCD是菱形
∴
∴在RtAGE中
∴
∴
∴
即CG=2AG
故②正确
③CG=DF+GE；
在RtADF中，
∴
∴
故③正确
④S四边形BFGC=-1
故④不正确
故答案为：C
【分析】①根据菱形性质，由等角找到等腰三角形，根据三线合一，找到全等条件，得到对应角相等，都是90°，垂直得证；②由上一个证明的结论可证ABD是等边三角形，故可由勾股定理先求出对角线AC的一半，再求AC，进而求出CG和AG的长，再求它们的比值即可证明是2倍关系；③计算DF与GE的和，与CG相等；④经过前三个选项的证明，易求三角形ABC和AFG的面积，故求得四边形BFGC的面积。
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2019八下·渠县期末）不改变分式的值，使分子、分母的第一项系数都是正数，则 ＝　 　．
【答案】
【解析】【解答】原式＝ ＝ ，
故答案为：
【分析】根据分式的基本性质即可求出答案．
12．（2019八下·东阳期末）在 中 ， 平分 交 点E， 平分 交 于点F，且 ，则 的长为　 　.
【答案】5或6
【解析】【解答】解：①如图1，在 ABCD中，∵BC＝AD＝8，BC∥AD，CD＝AB，CD∥AB，
∴∠DAE＝∠AEB，∠ADF＝∠DFC，
∵AE平分∠BAD交BC于点E，DF平分∠ADC交BC于点F，
∴∠BAE＝∠DAE，∠ADF＝∠CDF，
∴∠BAE＝∠AEB，∠CFD＝∠CDF，
∴AB＝BE，CF＝CD，
∵EF＝2，
∴BC＝BE＋CF EF＝2AB EF＝8，
∴AB＝5；②在 ABCD中，∵BC＝AD＝8，BC∥AD，CD＝AB，CD∥AB，
∴∠DAE＝∠AEB，∠ADF＝∠DFC，
∵AE平分∠BAD交BC于点E，DF平分∠ADC交BC于点F，
∴∠BAE＝∠DAE，∠ADF＝∠CDF，
∴∠BAE＝∠AEB，∠CFD＝∠CDF，
∴AB＝BE，CF＝CD，
∵EF＝2，
∴BC＝BE＋CF＝2AB＋EF＝8，
∴AB＝3；
综上所述：AB的长为3或5.
故答案为：3或5.
【分析】根据平行线的性质得到∠ADF＝∠DFC，由DF平分∠ADC，得到∠ADF＝∠CDF，等量代换得到∠DFC＝∠FDC，根据等腰三角形的判定得到CF＝CD，同理BE＝AB，根据已知条件得到四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的性质得到AB＝CD，AD＝BC，即可得到结论.
13．（2023八下·宽城期末）在平面直角坐标系中，一次函数与的图象的交点坐标是，则方程组的解是　 　 ．
【答案】
【解析】【解答】解：由题意可得：
方程组的解为：
故答案为：
【分析】两一次函数的交点坐标即为对应方程组的解。
14．（2023八下·朝阳期末）在 中，若与的大小的比是：，则的大小为　 　 度
【答案】
【解析】【解答】解：由题意可得：
故答案为：80
【分析】根据平行四边形的性质，直线平行的性质邻角互补即可求出答案。
15．（2024八下·广州期末）如图，在矩形中，已知，，点，分别是边，的中点，点是边上的一个动点，连接，将四边形沿折叠，得到四边形，连接，则长度的最小值是　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：如图，连接EO、PO、OC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠OAP=90°，
∵点O，P 分别是边AB ，AD 的中点，
∴OB=AO=4，AP=DP=6，
在Rt△OBC中，BC=12，OB=4，
∴OC=，
在Rt△AOP中，OA=4，PA=6，
∴OP=，
由折叠可得OE=OC=，
∵PE≥OE-OP，
∴PE最小值=OE-OP=，
故答案为：．
【分析】连接EO、PO、OC，由矩形的性质可得∠B=∠OAP=90°，在Rt△OBC中，用勾股定理可求得OC的值，在Rt△AOP中，用勾股定理可求得OP的值，由折叠的性质得OE=OC，根据三角形三边关系定理可得PE≥OE-OP，于是PE最小值=OE-OP可求解.
16．（2021八下·宛城期末）如图，正方形 的边长为1，顶点 是原点，顶点 在第二象限，顶点 、 分别在 、 轴上，把 轴负半轴上的点 绕顶点 顺时针旋转90°后，对应点 恰好落在反比例函数 的图象上，若 ，则 的值是　 　.
【答案】－8
【解析】【解答】解：根据题意，由旋转的性质，则
， ，
∴△BDE是等腰直角三角形；
∵ ，
∴ ，
∵正方形 的边长为1，
∴ ，
∴ ，
过点E作y轴的垂线EF，过点B作BG⊥EF于点G，如图
∵ ， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴△BCD≌△EGB（AAS），
∴BG=CD=3，EG=BC=1，
∴EF=2，CG=4，
∵点E在第二象限，
∴点E的坐标为（ ，4），
把点E代入 ，则
；
故答案为：-8.
【分析】由旋转的性质得BD=BE，∠DBE=90°，推出△BDE是等腰直角三角形；根据三角形面积公式可得BD、BE的值，由正方形ABCO的边长为1，结合勾股定理可得CD，过点E作y轴的垂线EF，过点B作BG⊥EF于点G，易证△BCD≌△EGB，得到BG=CD=3，EG=BC=1，进而求出EF、CG的值，结合点E在第二象限，可得点E的坐标，最后将点E的坐标代入反比例函数解析式中可得k的值.
三、综合题(本大题有8个小题，每小题9分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2023八下·澄城期末）刚刚举行的九年级体育模拟中，甲、乙两位同学在进行投篮测试，测试共五组，每组投10次，进球的个数统计结果如下：甲：9，9，9，6，7；乙：4，9，8，9，10；
列表进行数据分析：
选手 平均成绩 中位数 众数 方差
甲 8 b 9 d
乙 a 9 c 4.4
（1）　 　，　 　；
（2）试计算乙的平均成绩a和甲的方差d；
（3）如果你是体育老师，请你从平均成绩和成绩的稳定性两个方面分析哪位同学的成绩更好？（请说明理由）
【答案】（1）9；9
（2）解：乙的平均数为，
甲的方差
（3）解：选择甲选手参加比赛．
理由：∵甲，乙的平均成绩都为8，但甲的方差乙的方差4.4，
∴在平均数相同的情况下，甲的方差比乙小，
故甲比乙稳定，选择甲．
【解析】【解答】解：（1）甲：排序为9，9，9，6，7，
处于最中间的数是9，
∴这组数据的中位数是9；
乙同学：9出现了2次，是出现次数最多的数，
∴这组数据的众数是9；
故答案为：9，9
【分析】（1）求中位数的方法是：把数据先按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，分别求出b，c的值.
（2）利用平均数公式求出a的值，再利用方差公式求出d的值.
（3）利用表中数据，比较两个同学的平均数和方差大小，利用方差越小，成绩越稳定，可得答案.
18．（2023八下·普陀期末）在平面直角坐标系 中，已知一次函数 的图像与 轴、 轴分别相交于点 、 ，且与两坐标轴所围成的三角形的面积为6．
（1）直接写出点 与点 的坐标（用含 的代数式表示）；
（2）求 的值；
（3）如果一次函数 的图像经过第二、三、四象限，点C的坐标为（2，m），其中 ，试用含 的代数式表示△ 的面积．
【答案】（1）解：∵一次函数y= x+b的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B，
∴当y=0时， x+b=0，解得x= b，则A（ b，0），
当x=0时，y=b，则B（0，b）；
故 ；
（2）解： ∵
∴ ，
∴
（3）解：∵函数图象经过二、三、四象限，
∴ ，
∴ .
∴ ， .
设直线AC的解析式为 ，
将A、C坐标代入得
解得
设直线AC与 轴交于点 ，则 .
∴
∵
∴
【解析】【分析】（1）由一次函数 的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B，令y=0求出x，得到A点坐标；令x=0，求出y，得到B点坐标；（2）根据一次函数 的图象与两坐标轴所围成的三角形的面积为6列出方程，即可求出b的值；（3）根据一次函数 的图象经过第二、三、四象限，得出b=-4，确定A（-3，0），B（0，-4）．利用待定系数法求出直线AC的解析式，再求出D（0， m），那么BD= m+4，再根据S△ABC=S△ABD+S△DBC，即可求解．
19．（2023八下·和平期末）已知：如图，在矩形ABCD中，M，N分别是边AD，BC的中点，E，F分别是线段BM，CM的中点．
（1）求证：△ABM≌△DCM；
（2）判断四边形MENF是什么特殊四边形，并证明你的结论；
（3）当AD：AB=　 　时，四边形MENF是正方形（只写结论，不需证明）．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，∠A=∠D=90°，
又∵M是AD的中点，
∴AM=DM．
在△ABM和△DCM中，
，
∴△ABM≌△DCM（SAS）
（2）解：四边形MENF是菱形．
证明如下：
∵E，F，N分别是BM，CM，CB的中点，
∴NE∥MF，NE=MF．
∴四边形MENF是平行四边形．
由（1），得BM=CM，∴ME=MF．
∴四边形MENF是菱形
（3）2：1
【解析】【解答】（3）解：
当AD：AB=2：1时，四边形MENF是正方形．理由：
∵M为AD中点，
∴AD=2AM．
∵AD：AB=2：1，
∴AM=AB．
∵∠A=90，
∴∠ABM=∠AMB=45°．
同理∠DMC=45°，
∴∠EMF=180°﹣45°﹣45°=90°．
∵四边形MENF是菱形，
∴菱形MENF是正方形．
故答案为：2：1．
【分析】（1）根据矩形的性质可得AB=CD，∠A=∠D=90°，再根据M是AD的中点，可得AM=DM，然后再利用SAS证明△ABM≌△DCM；（2）四边形MENF是菱形．首先根据中位线的性质可证明NE∥MF，NE=MF，可得四边形MENF是平行四边形，再根据△ABM≌△DCM可得BM=CM进而得ME=MF，从而得到四边形MENF是菱形；（3）当AD：AB=2：1时，四边形MENF是正方形，证明∠EMF=90°根据有一个角为直角的菱形是正方形得到结论．
20．（2022八下·宁安期末）夏季来临，某商场准备购进甲、乙两种空调，其中甲种空调比乙种空调进价每台少500元，用40000元购进甲种空调数量与用50000元购进乙种空调数量相同．该商场计划一次性从空调生产厂家购进甲、乙两种空调共100台，其中乙种空调的数量不超过甲种空调的2倍．若甲种空调每台售价2400元，乙种空调每台售价3000元．请解答下列问题：
（1）求甲、乙两种空调每台的进价分别是多少元
（2）设购进甲种空调x台，100台空调的销售总利润为y元，该商店购进甲、乙两种空调各多少台才能使销售总利润最大，最大利润是多少？
（3）在（2）的条件下，商场拿出一部分利润购买A、B两种轮椅捐赠给敬老院，已知A种轮椅一台300元，B种轮椅一台400元，最后商场仅剩利润38600元，请直接写出商场有几种购买方案．
【答案】（1）解：设甲种空调每台的进价m元，则乙种空调每台的进价（m+500）元
由题意得：
解得
经检验是原分式方程的解
∴m+500=2500（元）
答：甲、乙两种空调每台的进价分别是2000元和2500元．
（2）解：根据题意，y=400x+500（100-x）=-100x+50000．
∵100-x≤2x，
∴x≥
∵y=-100x+50000中k=-100＜0，
∴y随x的增大而减小，
∵x为正数，
∴x=34时，y取得最大值，最大值为46600．
答：商店购进甲种空调34台，乙种空调66台，才能使总利润最大，最大利润是46600元．
（3）A种轮椅4台，B种轮椅17台；A种轮椅8台，B种轮椅14台；A种轮椅12台，B种轮椅11台；A种轮椅16台，B种轮椅8台；A种轮椅20台，B种轮椅5台；A种轮椅24台，B种轮椅2台．
【解析】【解答】解：(3)设买A种轮椅a台，B种轮椅b台，则最多可用于购买轮椅的钱为46600-38600=8000元，则300a+400b=8000，
∴a=，
∴b≤20，且20-b为3的倍数，
∴20-b为3，6，9，12，15，18，
即b为17，14，11，8，5，2六种方案
∴商场有六种方案：A种轮椅4台，B种轮椅17台；A种轮椅8台，B种轮椅14台；A种轮椅12台，B种轮椅11台；A种轮椅16台，B种轮椅8台；A种轮椅20台，B种轮椅5台；A种轮椅24台，B种轮椅2台．
【分析】（1）根据题意，列出分式方程即可；
（2）结合一次函数的性质和不等式的性质求出答案即可；
（3）根据题意，列出a和b函数关系式，结合a和b为正整数，得到购买方案即可。
21．（2022八下·西双版纳期末）如图，在Rt中，，D是的中点，E是的中点，过点A作AF//BC交延长线于点F．
（1）求证：；
（2）求证：四边形是菱形；
（3）若，菱形的面积为10，求的长．
【答案】（1）证明：∵E是AD的中点，
∴AE=DE，
∵AF∥BC，
∴∠AFE=∠DBE，
在△AEF和△DEB中，
，
∴△AEF≌△DEB（AAS）；
（2）证明：由（1）得：△AEF≌△DEB，
∴AF=DB，
又∵AF∥BC，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵∠BAC=90°，D是BC的中点，
∴AD=BC=CD，
∴四边形ADCF是菱形；
（3）解：∵D是的中点，
∴，
∵，
∴，
∵，即，
∴，
∴；
【解析】【分析】（1）利用全等三角形的判定方法证明即可；
（2）先求出 四边形ADCF是平行四边形， 再求出 AD=BC=CD， 最后证明即可；
（3）先求出 ， 再利用三角形的面积公式和勾股定理计算求解即可。
22．（2022八下·自贡期末）问题：探究函数的图象及其性质．
小华根据学习函数的经验，对函数的图象及其性质进行了探究；下面是小华的探究过程，请补充完整：
（1）在的中，自变量可以是任意实数；下表是与的几组对应值：
x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 …
y … -1 0 1 2 3 2 1 0 m …
则=　 　；若为该函数图象上不同的两点，则=　 　 ．
（2）如图，在平面直角坐标系中，描出上表中各对对应值为坐标的点，并根据描出的点，画出该函数的图象；
（3）根据函数图象可得该函数的最大值为　 　，函数的图象与直线围成的图形面积是　 　．
【答案】（1）－1；－12
（2）解：该函数的图象如图所示；
（3）3；4
【解析】【解答】（1）解：将x=4代入中，得：m=3－4=－1，
将y=－9代入中，得：x=12或x=－12，
∵为该函数图象上不同的两点，
∴n=－12，
故答案为：－1；－12；
（3）解：由（2）中图象知，该函数的最大值为3；
在同一平面直角坐标系中画出直线，如下图，
当x＜0时，由得x=－4，则y=－1，
当x＞0时，由得x=1，则y=2，
∴两函数图象的交点为（－4，－1）和（1，2），
当x=0时，，则直线与y轴的交点坐标为（0，），
∴函数的图象与直线围成的图形面积是=4，
故答案为：3；4．
【分析】（1）分别将x=4、 y=- 9代入函数式，求出m、n值即可；
（2）根据表格数据描点、连线画出该函数图象即可；
（3）根据函数的图象找出最高点的y值，求得最大值；再在同一直角坐标系中画出直线 ，然后联立函数关系式求出两函数图象的交点，最后利用三角形面积公式列式计算即可.
23．（2023八下·岑溪期末）如图，在平行四边形中，，，，点O是对角线的中点.过点O的直线分别交射线和射线于点E，F，连结.
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）当是以为腰的等腰三角形时，求的长；
（3）当平分时，求的长
【答案】（1）证明：在平行四边形中，，
∴，
∵点O是对角线的中点，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形
（2）解：由题意知，当是以为腰的等腰三角形时，分和两种情况求解：
①当时，如图1，过点D作的垂线于点H，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴在中，由勾股定理得，
∴在中，由勾股定理得，
∴；
②当时，如图2，过点D作的垂线于点H，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
综上所述，的长为或16；
（3）解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
如图3，过点D作的垂线于点H ，
由（2）可知，
设为x，则，
在中，由勾股定理得，即，
解得，
∴的长为7.
【解析】【分析】（1）由平行四边形的性质可得∠EBO=∠FDO，∠BEO=∠DFO，由线段的中点的性质可得BO=DO，用角角边可证，由全等三角形的性质可得BE=DF，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可求解；
（2）由题意知，当是以为腰的等腰三角形时，分BD=BE和BD=DE两种情况求解：
①当BD=BE时，在直角三角形CDH中，用勾股定理求得DH的值；在直角三角形BDH中，同理可求得BD的值，然后BE=BD可求解；
②当BD=DE时，如图2，过点D作BC的垂线于点H，根据等腰三角形的三线合一得BE=2BH可求解；
（3）过点D作的垂线于点H ，由题意易证BE=DE，由（2）得DH的值，设BE为x，在直角三角形DEH中，用勾股定理可得关于x的方程，解方程可求解.
24．（2022八下·宁安期末）AM∥BN，ABBN，垂足为B， 点C在直线BN上，ACCD，AC=CD，DEAM，垂足为E．
（1）如图①，求证：DE+BC=AB；
（2）如图②、图③，请分别写出线段DE，BC与AB之间的数量关系，不需要证明；
（3）在（1）、（2）的条件下，AC=100，AB-BC =2，则线段DE=　 　．
【答案】（1）证明：延长ED交BN于点F，如图所示：
∵DEAM， ABBN
∴∠AED=90 ，∠ABC=90
∴∠BAC+∠ACB=90
∵AM∥BN
∴∠DFC=180 -∠AED=90
∵ACCD
∴∠ACB+∠DCF=90
∴∠BAC=∠DCF
∵AC=CD
∴△ABC≌△CFD（AAS）
∴BC=DF
∵∠ABC=∠DFC=∠AED=90
∴四边形ABFE是矩形
∴AB=EF
∵DE+DF=EF
∴DE+BC=AB．
（2）解：图②结论：BC-DE=AB；理由如下：
延长ED交BN于点F，如图所示：
∵DEAM， ABBN
∴∠AED=∠AEF=90 ，∠ABC=90
∴∠BAC+∠ACB=90
∵AM∥BN
∴∠DFC=∠AED=90
∵ACCD
∴∠ACB+∠DCF=90
∴∠BAC=∠DCF
∵AC=CD
∴△ABC≌△CFD（AAS）
∴BC=DF
∵∠ABC=∠DFC=∠AEF=90
∴四边形ABFE是矩形
∴AB=EF
∵DE+EF=DF
∴BC-DE=AB；
图③结论：DE-BC=AB；理由如下：
设DE交CN于点F，如图所示：
∵DEAM， ABBN
∴∠AED=90 ，∠ABC=90 ，
∴∠BAC+∠ACB=90
∵AM∥BN
∴∠DFC=∠AED=90 ，即∠BFE=90°，
∵ACCD
∴∠ACB+∠DCF=90
∴∠BAC=∠DCF
∵AC=CD
∴△ABC≌△CFD（AAS）
∴BC=DF
∵∠ABC=∠BFE=∠AEF=90
∴四边形ABFE是矩形
∴AB=EF
∵DE =DF+EF
∴DE-BC=AB．
（3）2或14
【解析】【解答】解：(3)在中，，
∵AB-BC =2，
∴（AB-BC）2=4，即AB2-2AB×BC+BC2=4，
∴2AB×BC=96，
∴（AB+BC）2= AB2+2AB×BC+BC2=196，
∴AB+BC =14或-14（舍去），
在（1）的条件下，DE=AB-BC=2，
在（2）的条件下，如图②DE= BC-AB=-2，不合题意，舍去；
在（2）的条件下，如图③DE-=AB+ BC=14；
综上所述，线段DE的长为2或14．
故答案为：2或14．
【分析】（1）延长ED交BN于点F，证明△ABC≌△CFD，即可得到BC=DF，继而由四边形ABFE为矩形，求出AB=EF；
（2）分别在图②和图③中证明△ABC≌△CFD，由全等三角形的性质以及矩形的性质，求出答案即可；
（3）根据勾股定理，结合（1）和（2）的结论，求出答案即可。
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