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解决问题专项05-三角形的特性、分类及内角和解决问题-人教版四年级数学下册期末考试专项能力拔高训练
一、解答题
1．王大伯家有一块等腰三角形的菜地，其中两条边的长分别是10米和20米，要在菜地的一周围上篱笆，篱笆长最短多少合适？
2．爷爷给菜地设计篱笆，他想了以下几种方案，哪种方案设计的篱笆最牢固？为什么？
3．如图，李叔叔要估计池塘两岸A、B之间的距离，因为A、B之间有淤泥，不方便直接测量，所以李叔叔在池塘外选取一点O，测得OA＝15米，OB＝10米。根据以上信息，李叔叔说：“A、B之间的距离可能是25米。”你认为李叔叔说得对吗？请写出理由。
4．一个三角形中，最小的角是20°，最大角的度数是最小角的5倍，这个三角形三个内角的度数各是多少度？按角分这是一个什么三角形？
5．一张宽10厘米的长方形纸，折叠后再展开（如图）。这张长方形纸的长是多少厘米？面积是多少平方厘米？
6．“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢。”在古代，风筝又称为“纸鸢”。小明做了一个等腰三角形的风筝，顶角是70°，这个风筝的底角是多少度？
7．植物为人类提供氧气、食物和药材，市政府准备在城市中心规划一个等腰三角形的绿化带。已知它的顶角是，它的一个底角是多少度？
8．佑佑家有一个三角形的小菜园，菜园的最大角是，是最小角的4倍。这个三角形菜园其他角的度数是多少？按角分这个菜园是什么三角形？
9．研究六边形内角和时，小瓯通过分割把六边形变成6个三角形（如下图），求出六边形的内角和是180°×6＝1080°。你同意他的想法吗？请用画图或文字等方法尽可能清楚地说明你的理由。
10．爸爸给小红买了一个等腰三角形的围巾。它的一个底角是40度，顶角是多少度？
11．风筝是由中国古代劳动人民发明的，距今已2000多年，是世界上最早的重于空气的飞行器。古诗“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”中的“纸鸢”就是指风筝。乐乐想做一个形状为等腰三角形的风筝， 风筝的周长是20分米，腰长是底边长的2倍。这个风筝的一条腰长是多少分米？
12．小明想用小木条做一个等腰三角形的风筝框架，其中两条边长分别是52厘米和25厘米，做好这个框架需要多少厘米小木条？
13．爷爷用篱笆围成了一个长是40分米，宽是20分米的长方形菜地，如果改围成一个腰长35分米的等腰三角形菜地（篱笆无剩余），这个等腰三角形菜地的底边长多少分米？
14．黄山市境内名贵古树较多，某村为加强生态资源保护，赋能乡村文旅发展，在林业部门指导下，融合周边环境，给一棵树龄一千多年的银杏树加建一个等腰三角形护栏。已知护栏总长为36米，其中一条边的长度为8米，算一算另两条边分别是多长？
15．五月是育才学校的劳动月，为增强师生热爱生活、热爱劳动的意识，学校举行了“劳动为本，奉献最美”劳动月系列活动。劳动小组为了修整菜园，计划开辟一块等腰三角形菜地，菜地的周长是30米，其中一条边的长是6米，另外两条边分别是多少米？
16．亮亮准备用铁丝围成一个等腰三角形框架，这个等腰三角形框架的两条边分别是7厘米和11厘米。
（1）有几种围法？画图表示出来。
（2）围这样一个等腰三角形框架，至少需要多少厘米长的铁丝？
17．一根小棒长12厘米，把它剪成3段（每段都取整厘米数），首尾相连搭成三角形，可以怎样剪？请写出来。
18．用一根长45厘米的铁丝围成三角形。
（1）如果围成一个等边三角形铁框，它的一条边长是多少厘米？
（2）如果围成一个底边长是19厘米的等腰三角形铁框，它的一条腰长是多少厘米？
（3）能围成一个两条边长分别是25厘米和12厘米的三角形铁框吗？
19．星期天，笑笑从家出发去奶奶家，走哪条路最近？走哪条路最远？最近的路与最远的路相差多少米？
20．下边是一根长10厘米的吸管。
(1)如果第一剪从3厘米处剪开，那么第二剪可以从( )厘米处剪开，也可以从( )厘米处剪开，剪成3小段，正好可以围成一个三角形。
(2)如果第一剪从5厘米处剪开，那么( )剪成3小段围成一个三角形。（填“可以”或“不可以”）
21．小瑜邀请你玩三角形拼组游戏，在规定时间内成功拼出不同规格的三角形，以多者胜。现有2、4、6、8厘米长的小棒各3根，小瑜已成功拼出4种不同的三角形。为了获胜，请你至少写出5种三角形拼组方案。可以用“（a，b，c）”来表示，如三条边长度都2厘米的，可以记作“（2，2，2）”。
22．把一根30厘米长的细铁丝按下列要求折三角形。
（1）若折成一个等边三角形铁框，它的边长是多少？
（2）若折成一个底边长8厘米的等腰三角形铁框，它的一条腰的长是多少？
（3）能折成一个一条边长为16厘米、一条边长为9厘米的三角形铁框吗？
23．小熊把“海底世界”的景点示意图弄烂了，已知每相邻两个景点之间的距离如下。
24．李老师用三根小棒（长度为整厘米数）摆三角形（如图），则被遮住的一条边的长可能是几厘米？
25．下图中∠6＋∠7＋∠8＋∠9＋∠10的度数是多少？
参考答案
1．50米
【分析】三角形的三边关系为三角形的两边之和大于第三边，三角形的两边之差一定小于第三边。等腰三角形的两条腰相等，则第三条边可能长10米或20米。若选10米为腰，10＋10＝20（米），20＝20，不满足三角形的三边关系，只能20米为腰长。再将三条边的长度相加，求出篱笆长度。
【详解】10＋20×2
＝10＋40
＝50（米）
答：篱笆长最短是50米。
2．②；理由见详解
【分析】三角形具有稳定性，有着稳固、坚定、耐压的特点，埃及金字塔、钢轨、三角形框架、起重机、三角形吊臂、屋顶、三角形钢架、钢架桥和埃菲尔铁塔都以三角形形状建造；四边形具有易变形的特性，即不稳定性，升降机、晾衣架等都利用了平行四边形的这种特性。据此解答。
【详解】答：方案②设计的篱笆最牢靠。方案①和方案③篱笆中间的形状是长方形或者平行四边形，它们都易变形。而方案②篱笆中间的形状是三角形，三角形具有稳定性，所以方案②设计的篱笆最牢靠。
3．不对；理由见详解
【分析】根据题意，连接O、A、B这三点围成一个三角形，三角形任意两边的和大于第三条边。据此解答即可。
【详解】李叔叔说得不对。因为三角形任意两边的和大于第三边，所以OA＋OB的长度应该大于AB的长度，15＋10＝25（米），A、B之间的距离应该比25米小，不可能是25米。
4．20°、60°、100°；钝角三角形
【分析】最小角的度数乘5等于最大角的度数，180°减最小角和最大角的度数等于第三个角的度数，三个角都是锐角的三角形是锐角三角形，有一个角是直角的三角形是直角三角形，有一个角是钝角的三角形是钝角三角形，据此即可解答。
【详解】20°×5＝100°
180°－20°－100°
＝160°－100°
＝60°
三角形中最大角等于100°，是钝角，所以三角形是钝角三角形。
答：三角形角三个内角分别是20°、60°、100°，按角分这是一个钝角三角形。
5．60厘米；600平方厘米
【分析】由题意得，折叠后放大部分的三角形的顶角是60°，且它是一个等腰三角形。等腰三角形的两个底角相等，底角的度数为：（180°－60°）÷2＝120°÷2＝60°，所以这个三角形是一个等边三角形。这个长方形折叠后，与桌面上形成了10个等边三角形。折叠后的长方形的长由10个同样的等边三角形的边长组成，可以用除法算出一个等边三角形的边长。由图可知，这张长方形纸折叠前的长一共有20个等边三角形的边长，用乘法即可算出长方形的长。长方形的面积＝长×宽，再用乘法即可算出长方形的面积。
【详解】（180°－60°）÷2
＝120°÷2
＝60°，即折叠后形成的每个小三角形都是等边三角形。
30÷10＝3（厘米）
3×20＝60（厘米）
60×10＝600（平方厘米）
答：这张长方形纸的长是60厘米，面积是600平方厘米。
6．55度
【分析】等腰三角形的两腰相等，两个底角也相等，三角形的内角和为180°，因此用180°减去顶角的度数后，再除以2即可，依此计算。
【详解】（180°－70°）÷2
＝110°÷2
＝55°
答：这个风筝的底角是55度。
7．36°
【分析】等腰三角形的两条腰相等，两个底角相等。根据三角形的内角和为180°可知，用180°减去顶角的度数，求出两个底角的度数和，再除以2，即可求出一个底角的度数。
【详解】（180°－108°）÷2
＝72°÷2
＝36°
答：它的一个底角是36°。
8．30°、30°；钝角
【分析】根据题意，用120°÷4＝30°，求出三角形菜园最小角的度数，再根据三角形内角和等于180°，用180°－30°－120°＝30°，即可求出三角形菜园其他角的度数是多少；三个角都是锐角的三角形是锐角三角形，有一个角是直角的三角形是直角三角形，有一个角是钝角的三角形是钝角三角形，据此解答即可。
【详解】120°÷4＝30°
180°－30°－120°
＝150°－120°
＝30°
答：这个三角形菜园其他角的度数都是30°，按角分这个菜园是钝角三角形。
9．不同意；理由见详解
【分析】求多边形的内角和，可以看这个多边形可以分成几个三角形，三角形的内角和为180°，直接用180°乘可以分成三角形的个数即可算出多边形的内角和。由题意得，小瓯把六边形变成6个三角形。这样分割时把中间的周角也分给了6个三角形，这个周角原本不是六边形的内角，所以最后算出来的结果会比正确的结果多一个周角的度数。
【详解】答：不同意小瓯的方法。因为这样分割把中间6个角的度数和也算进去了，也就是多算了一个周角的度数，正确的度数应该等于1080°减去360°。
10．100度
【分析】三角形的内角和为180度。在等腰三角形中，两个底角相等。由题意得，爸爸给小红买了一个等腰三角形的围巾。它的一个底角是40度，那么另一个底角的度数也是40度，直接用180度减去两个底角的度数即可算出顶角的度数。
【详解】180－40－40
＝140－40
＝100（度）
答：顶角是100度。
11．8分米
【分析】等腰三角形两条腰相等，腰长是底边长的2倍，则两条腰长是底边长的（2×2）倍，周长是20分米，则用20÷（2×2＋1）即可求出底边长是多少分米，用底边长乘2即可求出这个风筝的一条腰长是多少分米。
【详解】20÷（2×2＋1）
＝20÷（4＋1）
＝20÷5
＝4（分米）
4×2＝8（分米）
答：这个风筝的一条腰长是8分米。
12．129厘米
【分析】等腰三角形的两个腰长相等，分别将52厘米和25厘米当作腰，结合“三角形任意两边之和大于第三边”，判断能否形成一个三角形即可，若可以形成这个等腰三角形，则将三边的长度相加，即可得到做好这个框架需要多少厘米小木条。
【详解】①若腰长为25厘米。
52＋25＝77（厘米）＞25厘米，52＋25＝77（厘米）＞25厘米，25＋25＝50（厘米）＜52厘米
有两边之和小于第三边，因此无法形成三角形，不符合题意。
②若腰长为52厘米。
52＋25＝77（厘米）＞52厘米，52＋25＝77（厘米）＞52厘米，52＋52＝104（厘米）＞25厘米
任意两边之和大于第三边，因此可形成三角形，符合题意。
52＋52＋25
＝104＋25
＝129（厘米）
答：做好这个框架需要129厘米小木条。
13．50分米
【分析】根据题意可知：篱笆的长度就是长方形菜地和等腰三角形菜地的周长；先根据长方形的周长＝（长＋宽）×2，求出长方形菜地的周长，也就是等腰三角形菜地的周长，因为等腰三角形两腰相等，所以有两条边的长度是35分米 ，再用周长减去2个35分米，即得到等腰三角形菜地的底边长。据此解答。
【详解】长方形的周长：（40＋20）×2
＝60×2
＝120（分米）
三角形的底：120－35×2
＝120－70
＝50（分米）
答：这个等腰三角形菜地的底边长50分米。
14．14米；14米
【分析】等腰三角形的两条边相等。由题意得，等腰三角形护栏的总长为36米，其中一条边的长度为8米，可以假设这条边为腰或底边，然后算出剩下的边的长度。最后再根据三角形三边的关系：任意两边之和大于第三边（较短两边之和大于第三边）来验证该假设是否成立即可。
【详解】假设8米的边为腰，那么另一条腰的长度也为8米。
36－8×2
＝36－16
＝20（米）
8＋8＝16（米），16米＜20米，即这三边无法围成三角形。
假设8米的边为底
（36－8）÷2
＝28÷2
＝14（米），即两条腰的长度都是14米。
8＋14＝22（米），22米＞14米，即这三边可以围成三角形。
答：剩下的两条边都是14米。
15．12米、12米
【分析】等腰三角形有两条边长度相等，这两条相等的边叫做腰，另一条边叫做底边。
三角形三边的关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
若底为6米：（等腰三角形周长一底）÷2＝腰；
若腰为6米：等腰三角形周长一腰×2＝底，再根据三角形两边之和一定大于第三边，去掉不可能的情况，得出另外两条边分别是多少米。
【详解】若底为6米，则腰为：
（30－6）÷ 2
＝24÷2
＝ 12（米）
若腰为6米，则底为：
30－6×2
＝30－12
＝ 18（米）
6＋6＝12＜18，根据三角形两边之和一定大于第三边可知，三角形的腰不可能是6米。
所以底为6米，其他两边长都是12米。
答：另外两条边分别是12米、12米。
16．（1）有两种围法；见详解
（2）25厘米
【分析】（1）已知这个等腰三角形框架的两条边分别是7厘米和11厘米，根据等腰三角形有两条相等的边和一条底边，我们需要考虑两种情况：①两条相等的边为7厘米，底边为11厘米。②两条相等的边为11厘米，底边为7厘米。再根据三角形的三边关系：三角形三边之和大于第三边，进行判断即可。
（2）把三角形的三条边相加，分别求出两种围法三角形的周长，然后取较小的值即可。
【详解】（1）两种情况：
①两条相等的边为7厘米，底边为11厘米。
7＋7＝14（厘米）；14厘米＞11厘米
7＋11＝18（厘米）；18厘米＞7厘米
因此两条相等的边为7厘米，底边为11厘米可以围成一个三角形。
②两条相等的边为11厘米，底边为7厘米。
11＋11＝22（厘米），22厘米＞7厘米
7＋11＝18（厘米）；18厘米＞11厘米
因此两条相等的边为7厘米，底边为11厘米可以围成一个三角形。
综上可知，有两种围法。
画图如下：
（2）11＋11＋7＝29（厘米）
7＋7＋11＝25（厘米）
25＜29
答：至少需要25厘米长的铁丝。
17．5厘米，3厘米和4厘米；5厘米，5厘米和2厘米；4厘米，4厘米和4厘米
【分析】三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；三角形中三边和等于12厘米， 据此写出所以情况即可解题。
【详解】12＝5＋3＋4；5＋3＝8（厘米）；8厘米＞4厘米；
12＝5＋2＋5；5＋2＝7（厘米）；7厘米＞5厘米；
12＝4＋4＋4；4＋4＝8（厘米）；8厘米＞4厘米；
答：可以剪成三角形的边长分别是5厘米，3厘米和4厘米；5厘米，5厘米和2厘米；4厘米，4厘米和4厘米。
18．（1）15厘米；
（2）13厘米；
（3）不能
【分析】（1）等边三角形的三条边的长度相等，用45除以3就是它的一条边长。
（2）等腰三角形的两腰相等，用45厘米减去底边19厘米等于两条腰的长度，再除以2就是一条腰的长度。
（3）用45厘米减去25厘米再减去12厘米，算出第三条边的长度。再根据三角形任意两边之和大于第三条边，判断能否围成三角形即可。
【详解】（1）45÷3＝15（厘米）
答：它的一条边长是15厘米。
（2）45－19＝26（厘米）
26÷2＝13（厘米）
答：它的一条腰长是13厘米。
（3）45－25－12
＝20－12
＝8（厘米）
8＋12＜25
答：不能围成一个两条边长分别是25厘米和12厘米的三角形铁框。
19．走直接去奶奶家那条路最近；走经过学校的那条路最远；相差1100米
【分析】根据题意可以发现笑笑从家到奶奶家有3条路，分别是直接去奶奶家；或者先经过商场再去奶奶家以及先经过学校再去奶奶家。可以看出图中3条路分别围成了两个三角形，根据三角形两边之和大于第三边，可知走直接去奶奶家那条路最近；分别计算剩下2条路的距离后，进行比较，得出最远的路；然后用最远的减去最近的即可解此题。
【详解】根据三角形两边之和大于第三边可知走直接去奶奶家那条路最近，1100米。
经过商场去奶奶家：1200＋700＝1900（米）
经过学校去奶奶家：900＋1300＝2200（米）
1900＜2200
所以走直接去奶奶家那条路最近，走经过学校的那条路最远。
2200－1100＝1100（米）
答：所以走直接去奶奶家那条路最近，走经过学校的那条路最远，最近的路与最远的路相差1100米。
20．(1) 6 7
(2)不可以
【分析】根据题意可知，第一段长3厘米，三角形任意两边的长度之和大于第三边，任意两边的长度之差小于第三边，依此解答。
根据题意可知，第一段长5厘米，依此再根据三角形三边关系进行解答。
【详解】（1）10厘米＝3厘米＋3厘米＋4厘米；
3厘米＋3厘米＞4厘米；4厘米－3厘米＜3厘米
3＋3＝6（厘米）
3＋4＝7（厘米）
如果第一剪从3厘米处剪开，那么第二剪可以从6厘米处剪开，也可以从7厘米处剪开，剪成3小段，正好可以围成一个三角形。
（2）10厘米＝5厘米＋3厘米＋2厘米；10厘米＝5厘米＋1厘米＋4厘米
由此可知，剩下两段的和是5厘米，因此如果第一剪从5厘米处剪开，那么不可以剪成3小段围成一个三角形。
21．见详解
【分析】三角形任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边；较短的两根小棒长度和大于最长小棒长度即可。
【详解】4＋4＞4，所以三角形可以是（4，4，4）；
4＋6＞8，所以三角形可以是（4，6，8）；
6＋6＞6，所以三角形可以是（6，6，6）；
8＋8＞8，所以三角形可以是（8，8，8）；
6＋6＞8，所以三角形可以是（6，6，8）；
6＋8＞8，所以三角形可以是（6，8，8）；
（答案不唯一）
22．（1）10厘米
（2）11厘米
（3）不能
【分析】用一根30厘米长的细铁丝围成三角形，即三角形的周长是30厘米，据此解答。
（1）等边三角形的三条边长度相等；
（2）等腰三角形的两个腰相等，根据三边之和为30厘米可解答；
（3）根据三边之和是30厘米，计算出第三条边的长度，再根据三边关系进行判断。
【详解】（1）30÷3＝10（厘米）
答：它的边长是10厘米。
（2）（30－8）÷2
＝22÷2
＝11（厘米）
答：它的一条腰长是11厘米。
（3）30－16－9
＝14－9
＝5（厘米）
5＋9＝14（厘米）
14＜16，所以不能。
答：不能折成一个一条边长为16厘米、一条边长为9厘米的三角形铁框。
23．见详解；从景点①直接到景点③最近；见详解
【分析】三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；根据每相邻两个景点之间的距离以及三角形三边关系，摆出四个景点的大致位置。根据摆出的四个景点的位置图，从景点①到景点③有3条路，分别是由景点①经过景点④到景点③，由景点①经过景点②到景点③，由景点①直接到景点③；三条线路分别近似围成了两个三角形，再根据三角形中，任意两边之和大于第三边，可知从景点①直接到景点③最近。据此解答。
【详解】根据分析可知：
40m＋70m＝110m
110m＞90m
90m－70m＝20m
20m＜40m
因此按从景点①→景点④→景点③→从景点①的顺序连接近似围成一个三角形。
30m＋70m＝100m
100m＞90m
90m－70m＝20m
20m＜30m
因此按从景点①→景点②→景点③→从景点①的顺序连接近似围成一个三角形。
摆放四个景点的大概位置图如下：
从景点①直接到景点③最近，也就是中间加粗线段表示的那条路比较近；理由是：三角形中，任意两边之和大于第三边，所以中间加粗线段表示的那条路比较近。
24．可能是3厘米、4厘米、5厘米、6厘米、7厘米、8厘米、9厘米、10厘米、11厘米、12厘米、13厘米。
【分析】根据三角形的三边关系：两边之和大于第三边，三角形的两边的差一定小于第三边；进行分析进而得出结论。
【详解】8－6＝2（厘米）
8＋6＝14（厘米）
2厘米＜被遮住的一条边的长＜14厘米
答：被遮住的一条边的长可能是3厘米、4厘米、5厘米、6厘米、7厘米、8厘米、9厘米、10厘米、11厘米、12厘米、13厘米。
25．360°
【分析】由图可知：∠1＋∠6＝∠2＋∠7＝∠3＋∠8＝∠4＋∠9＝∠5＋∠10＝180°，且五边形内角和为（52）×180°，也就是∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＝540°，再用180°×5540°即可算出正确答案。
【详解】由图可知：∠1＋∠6＝∠2＋∠7＝∠3＋∠8＝∠4＋∠9＝∠5＋∠10＝180°
∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5
＝（5 2）×180°
＝3×180°
＝540°
那么∠6＋∠7＋∠8＋∠9＋∠10
＝（180°∠1）＋（180°∠2）＋（180°∠3）＋（180°∠4）＋（180°∠5）
＝180°×5（∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5）
＝900°540°
＝360°
答：∠6＋∠7＋∠8＋∠9＋∠10的度数是360°。
【点睛】要计算这5个角的度数，必须认真观察，从中找出规律，经过观察发现∠1、∠6组成一个平角，同理，∠2、∠7等相邻的两个角也都是组成一个平角，其中∠1、∠2、∠3、∠4和∠5是一个五边形的内角，再经过转化后就可以计算出这些角度数的和。
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