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2025年浙江省宁波市中考数学甬真试卷（汐卷）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.实数的相反数是( )
A. B. C. D.
2.某几何体的三视图如图所示，则该几何体是( )
A. 棱柱
B. 圆柱
C. 圆锥
D. 球
3.若二次根式有意义，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
4.下列运算结果正确的是( )
A. B. C. D.
5.甲、乙、丙、丁四名选手参加射击测试，每人射击次，平均成绩均为环，方差如下表所示：
选手 甲 乙 丙 丁
方差
则四名选手中成绩最稳定的是( )
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
6.若，则下列不等式一定成立的是( )
A. B. C. D.
7.如图，在矩形中，的平分线交边于点，恰好平分若，则的面积为( )
A.
B.
C.
D.
8.若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
9.某早餐店每天都要采购豆奶、牛奶和果汁三种饮品，其中豆奶瓶数是牛奶瓶数的倍，豆奶、牛奶的采购价分别为元瓶、元瓶若采购的总费用只与三种饮品的总瓶数有关，与三种饮品的瓶数比例变化无关，则果汁的采购价为( )
A. 元瓶 B. 元瓶 C. 元瓶 D. 元瓶
10.在菱形中，为锐角，点，分别在边，上，连结，，则下列四个命题中，假命题为( )
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.分解因式： ．
12.若分式的值等于，则______．
13.一个不透明的袋子里装有个黄球，个红球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子里随机摸出一个球，则摸到红球的概率为______．
14.如图，，分别与相切于点，，点在上不与点，重合，若，则______
15.关于的一元二次方程的两个非零实数根分别是和，则______．
16.如图，直角三角形纸片叠放在直角三角形纸片上，直角顶点，重合，顶点，，，在同一直线上现将纸片绕点旋转，顶点，旋转后的对应点分别记为，，边与边的交点为若，，，，则______．
三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
计算：．
18.本小题分
解方程组：．
19.本小题分
如图，在中，，，．
尺规作图：在图中作出以为对角线的菱形保留作图痕迹，不用说明作图过程；
求中所作菱形的面积．
20.本小题分
为了解某校九年级学生“一分钟跳绳”成绩，学校随机抽取了若干名九年级学生进行跳绳测试，并将收集的跳绳成绩同时交给甲、乙两兴趣小组进行独立处理，图、图分别是甲、乙两兴趣小组绘制的跳绳成绩频数分布直方图每个分组包含左端点，不含右端点．
根据以上信息，回答下列问题．
补全乙组绘制的跳绳成绩频数分布直方图；
已知该校九年级共有名学生，请估计“一分钟跳绳”成绩为个的学生人数．
21.本小题分
如图，在中，，，在右侧作等边三角形．
求的度数；
若，求的长度．
22.本小题分
已知二次函数是常数．
当时．
求二次函数图象的顶点坐标；
在的范围内，求的取值范围．
当取值为，时，二次函数的最大值相等，此时是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
23.本小题分
如图是钱塘老师和甬真老师相约去农庄参观的路线示意图某日，钱塘老师从学校骑电动车匀速去往农庄，出发后，甬真老师从家里驾驶汽车匀速开往超市，在超市购物后，仍按原速行驶，最后两人同时到达农庄用单位：表示钱塘老师从学校出发后行驶的时间，用单位：表示两位老师距学校的路程图中，线段是钱塘老师距学校的路程关于的函数图象．
求线段表示的函数解析式．
甬真老师从家出发至到达农庄的过程中，驾驶汽车的时长与在超市购物的时长相等．
在图中画出甬真老师距学校的路程关于的函数图象；
当为何值时，两车行驶的路程相等．
24.本小题分
如图，为的直径，四边形内接于，，连结交于点．
设，用含的代数式表示的度数；
若，求的值；
若，求面积的最大值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：实数的相反数是．
故选：．
2.【答案】
【解析】解：由几何体的三视图可得该几何体是圆锥，
故选：．
3.【答案】
【解析】解：由题意得：，
解得：，
故选：．
4.【答案】
【解析】解：、，故该项不正确，不符合题意；
B、，故该项正确，符合题意；
C、，故该项不正确，不符合题意；
D、，故该项不正确，不符合题意；
故选：．
5.【答案】
【解析】解：由，可知最稳定是丁，
故选：．
6.【答案】
【解析】解：，
，故A选项正确，符合题意；
B.，
，故B选项错误，不符合题意；
C.，
当时，，当时，，当时，，故C选项错误，不符合题意；
D.，
当时，，当时，，故D选项错误，不符合题意；
故选：．
7.【答案】
【解析】解：过点作交与点，
则，
四边形是矩形，
，
是的角平分线，
，
，
，，
，
恰好平分，
，
，
，
，
所以的面积为，
故选：．
8.【答案】
【解析】解：由条件可知反比例函数图象经过第一，三象限，且在每个象限内随增大而减小，
，
，
．
故选：．
9.【答案】
【解析】解：根据题意设牛奶买了瓶，果汁买了瓶，果汁的采购价为元瓶，则豆奶买了瓶，
采购的总费用只与三种饮品的总瓶数有关，
则，其中为系数，
，
，
由于采购的总费用与三种饮品的瓶数比例变化无关，
则，，
，
即果汁的采购价为元瓶．
故选：．
10.【答案】
【解析】解：如图，
四边形是菱形，
，，
A、若，
在与中，
，
≌
，正确，不符合题意；
B、若，则，
又，
≌
，正确，不符合题意；
C、若，则不一定成立，
不能得出≌，则不一定成立，错误，符合题意；
D、若，
又，
，
，
又，，
≌，
，正确，不符合题意；
故选：．
11.【答案】
【解析】．
故答案为：．
12.【答案】
【解析】解：分式的值等于，
即，
解得：，
经检验，是原方程的解．
故答案为：．
13.【答案】
【解析】解：一个不透明的袋子里装有个黄球，个红球，
从袋子里随机摸出一个球，摸到红球的概率为：．
故答案为：．
14.【答案】
【解析】解：，分别与相切于点，，点在上不与点，重合连接、，
由题意可得：，
，
，
，
故答案为：．
15.【答案】
【解析】解：由条件可知的一元二次方程为，
展开得，
，．
，
故答案为：．
16.【答案】
【解析】解：如图，作于点，于点，
由题意可得：≌，
，，
，
≌，
，
，，，，
，
，
，
，，
，
．
故答案为：．
17.【答案】解：原式
．
18.【答案】解：
得，
把代入得，解得．
原方程组的解为．
19.【解析】如图，所作菱形即为所求，
连接，交于点，
由条件可知，
，
，
，
，
．
20.【解析】根据题意计算出总人数为，
个跳绳成绩个的频数为，
如图补全图形如下：
由甲频数分布直方图得：跳绳成绩小于个的频数为，
由乙频数分布直方图得：跳绳成绩小于个的频数为，
所以样本中跳绳成绩等于个的频数为，
人，
答：九年级学生中约有人“一分钟跳绳”成绩为个．
21.【解析】，，
．
为等边三角形，
，，
，
，
，
即的度数为；
如图，作于点．
，，，
．
，
，
．
，，，
，
，
即的长度为．
22.【解析】由条件可得：，
，
该二次函数的顶点坐标为；
由可知：，开口向下，
当时，有最大值，最大值为，
当时，则，当时，则，
当时，的取值范围为；
是定值，理由如下：
由可知：开口向下，最大值为，
当时，最大值为，当时，最大值为，
，
，
，
．
23.【解析】设线段为：，
把，代入得：
，
，
线段表示为；
解：钱塘老师从学校骑电动车匀速去往农庄，出发后，甬真老师从家里驾驶汽车匀速开往超市，在超市购物后，仍按原速行驶，最后两人同时到达农庄，
甬真老师用的时间为：，
驾驶汽车的时长与在超市购物的时长相等，
驾驶汽车的时长与在超市购物的时长为：，
甬真老师家到超市和超市到农庄的距离分别为：，，
甬真老师家到超市和超市到农庄的时间分别为：，，
函数图象如图：
因甬真老师家距学校的路程为，故汽车距学校的距离比电动车距学校的路程多，
由图象可得：或时，两车行驶的路程相等．
24.【解析】为的直径，四边形内接于，，
，
，
，
；
连结，如图：
由得：，，
，
，
，，
，，
∽，
，
，
，
，
，
，，
；
作，分别交，于点，，连结，如图，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
面积的最大值为；
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