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苏教版高一下册数学必修第二册-章末综合检测
(时间：120分钟，满分：150分)
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．sin 160°cos 40°－cos 160°sin 40°＝(　　)
A．　　 B．
C． D．
2．y＝sin x cos x是(　　)
A．最小正周期为2π的偶函数
B．最小正周期为2π的奇函数
C．最小正周期为π的偶函数
D．最小正周期为π的奇函数
3．sin2－cos2的值为(　　)
A．－ B．
C．－ D．
4．cos 15°＋sin 15°的值为(　　)
A． B．－
C．－ D．
5．函数f(x)＝的最小正周期为(　　)
A． B．
C．π D．2π
6．已知α，β均为锐角，若sin α＝，cos β＝，则α＋β的大小为(　　)
A． B．
C． D．
7．若sin ＝，则2cos2－1＝(　　)
A． B．－
C． D．－
8．下列化简正确的是(　　)
A．cos 82°sin 52°－sin 82°cos 52°＝
B．sin 30°sin 45°sin 60°＝
C．＝－
D．cos215°＋sin215°＝－
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知cos＝，则sin ＝(　　)
A．－ B．－
C． D．
10．下列选项中，与sin 的值相等的是(　　)
A．2cos215°－1 B．cos18°cos 42°－sin 18°sin 42°
C．2sin 15°sin 75° D．
11．设函数f(x)＝sin ＋cos ，则f(x)(　　)
A．是偶函数 B．在区间上单调递增
C．最大值为2 D．其图象关于点对称
12．已知0<θ<，若sin 2θ＝m，cos 2θ＝n且m≠n，则下列选项中与tan 恒相等的有(　　)
A． B．
C． D．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．若sin θ＝，<θ<3π，那么sin ＝________．
14.(cos215°－cos275°)＋sin15°cos 15°＝________．
15．设角α，β满足(2tan α＋1)(1－2tan β)＝5，则tan (α－β)的值为________．
16.如图，已知扇形的圆心角为60°，半径为1，则扇形的内接矩形面积的最大值为________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分10分)已知sin α＋cos α＝－.
(1)求sin αcos α的值；
(2)若α∈，求sin α＋cos (π－α)的值．
18．(本小题满分12分)已知sin α＝，α∈，cos β＝－，β是第三象限角．
(1)求cos (α＋β)的值；
(2)求tan (α－β)的值．
19．(本小题满分12分)已知cos (α＋β)＝，tan β＝，且α，β∈.
(1)求cos2β－sin2β＋sinβcos β的值；
(2)求2α＋β的值．
20．(本小题满分12分)甲同学从一个半径为r的半圆形铁板中截取一块矩形ABCD，记其最大面积为S甲，乙同学从一个半径为R的圆形铁板中截取一块矩形EFGH，记其最大面积为S乙，试问r和R满足什么关系时，S甲＝S乙？说明理由．
21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝sin2ωx＋2cosωx sin ωx＋sin sin (ω>0)，且f(x)的最小正周期为π.
(1)求ω的值；
(2)求函数f(x)在区间(0，π)上的单调增区间．
22．(本小题满分12分)如图，考虑点A(1，0)，P1(cos α，sin α)，P2(cos β，－sin β)，P(cos (α＋β)，sin (α＋β))，从这个图出发．
(1)推导公式：cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β；
(2)利用(1)的结果证明：cos αcos β＝[cos (α＋β)＋cos (α－β)]，并计算sin 37.5°·cos 37.5°的值．
参考答案
1．解析：选B．sin 160°cos 40°－cos 160°sin 40°＝sin (160°－40°)＝sin 120°＝sin (180°－60°)＝sin 60°＝，故选B．
2．解析：选D．因为y＝sin x cos x＝sin 2x，所以该函数是奇函数，周期为T＝＝π，故选D．
3．解析：选C．sin2－cos2＝
－＝－cos＝－，故选C．
4．解析：选D．cos 15°＋sin 15°＝2(×cos 15°＋sin 15°×)
＝2(cos 60°cos 15°＋sin 60°·sin 15°)＝2cos (60°－15°)＝2cos 45°＝.
故选D．
5．解析：选C．f(x)＝＝＝＝sinx cos x＝sin 2x，
所以f(x)的最小正周期T＝＝π.故选C．
6．解析：选A．因为α，β均为锐角，若sin α＝，cos β＝，所以0＜α＋β＜π，cos α＝＝，sin β＝＝，则cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝×－×＝－，因为0＜α＋β＜π，所以α＋β＝，故选A．
7．解析：选A．2cos2－1＝cos2＝cos ＝cos
＝sin ＝，故选A．
8．解析：选C．对于选项A：cos82°sin 52°－sin 82°·cos 52°＝sin (52°－82°)＝sin (－30°)＝－，故A不正确；
对于选项B：sin 30°sin 45°sin 60°＝sin 30°cos 30°·sin 45°＝sin 60°·sin 45°＝，故B不正确；
对于选项C：＝tan (48°＋72°)＝tan 120°＝－，故C正确；
对于选项D：cos215°＋sin215°＝1，故D不正确．
故选C．
9．解析：选AD．因为cos ＝，
所以sin ＝±，
sin ＝－sin ＝－2sin cos .
所以sin ＝±.故选AD．
10．解析：选BC．首先sin ＝sin ＝，下面计算选项：
A选项中，2cos215°－1＝cos30°＝，不相等；
B选项中，cos 18°cos 42°－sin 18°sin 42°＝cos (18°＋42°)＝cos 60°＝，相等；
C选项中，2sin 15°sin 75°＝2sin 15°cos 15°＝sin 30°＝，相等；
D选项中，＝tan 45°＝1，不相等；故选BC．
11．解析：选AD．f(x)＝sin ＋cos ＝sin ＝cos 2x.
选项A：f(－x)＝cos (－2x)＝cos (2x)＝f(x)，它是偶函数，正确；
选项B：x∈，所以2x∈，因此f(x)是单调递减，错误；
选项C：f(x)＝cos 2x的最大值为，错误；
选项D：函数的对称中心为(＋，0)，k∈Z，当k＝0，图象关于点对称，正确．
故选AD．
12．解析：选AD．因为sin 2θ＝m，cos 2θ＝n，所以m2＋n2＝1，所以＝，
所以tan ＝＝＝
＝＝＝，故选AD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．解析：若sin θ＝，<θ<3π，所以∈(，)，cos θ＝－＝－，
那么sin＝－＝－.
答案：－
14.解析：(cos215°－cos275°)＋sin15°cos 15°＝cos 30°＋sin 30°＝sin 90°＝1.
答案：1
15．解析：由(2tan α＋1)(1－2tan β)＝5得2tan α－4tan αtan β＋1－2tan β＝5，
即tan α－tan β＝2＋2tan αtan β，所以tan (α－β)＝＝2.
答案：2
16.解析：如图，设∠AOC＝θ，所以θ∈(0，)，AC＝sin θ，BC＝OC－OB＝cos θ－，
扇形的内接矩形面积为sin θ(cos θ－)＝sin 2θ－
＝(sin 2θ＋cos 2θ)－＝sin (2θ＋)－ .
因为θ∈(0，)，所以2θ＋∈(，)，因此当θ＝时，扇形的内接矩形面积取最大值为－＝＝.
答案：
17．解：(1)因为sin α＋cos α＝－，
所以(sin α＋cos α)2＝，即1＋2sin αcos α＝，
所以sin αcos α＝－.
(2)因为(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝，
又因为α∈(，π)，所以sin α>0，cos α<0，
则sin α＋cos (π－α)＝sin α－cos α＝.
18．解：由sin α＝，α∈，得cos α＝－＝－＝－，
由cosβ＝－，β是第三象限角，
得sin β＝－＝－＝－.
(1)cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝×－×＝.
(2)由tan α＝＝－，tan β＝＝2，
得tan (α－β)＝＝＝2.
19．解：(1)原式＝＝＝.
(2)因为cos(α＋β)＝>0且α＋β∈(0，π)，所以α＋β∈，则sin (α＋β)＝，
所以cos [ 2(α＋β)]＝2cos2(α＋β)－1＝2×－1＝，
sin[2(α＋β)]＝2sin (α＋β)cos (α＋β)＝，
因为tan β＝，β∈，所以sin β＝，cos β＝，
所以cos (2α＋β)＝cos [2(α＋β)－β]＝cos [2(α＋β)]cos β＋sin [2(α＋β)]sin β
＝×＋×＝，
又α＋β∈，α∈，所以2α＋β∈(0，π)，
所以2α＋β＝.
20．解：在甲图中，O是半圆圆心，连接OD，设∠COD＝θ，则CD＝r sin θ，则OC＝r cos θ，
S矩形ABCD＝2OC·CD＝2r cos θ·r sin θ＝
r2sin 2θ，当θ＝时S甲＝(S矩形ABCD)max＝r2，
在乙图中，设∠EGF＝α，则EF＝2R sin α，则FG＝2R cos α，
S矩形EFGH＝EF·FG＝2R cos α·2R sin α＝2R2sin 2α，当α＝时，S乙＝(S矩形EFGH)max＝2R2，
若S甲＝S乙，则r2＝2R2，所以r＝R.
21．解：(1)f(x)＝＋sin 2ωx－cos 2ωx　＝2sin ＋，
由题意得＝π，即可得ω＝1.
(2)由(1)知f(x)＝2sin ＋，
则由函数单调性可知：2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，
整理得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，
所以f(x)在(0，π)上的增区间为，.
22．解：(1)由三角函数的定义，可得P1(cos α，sin α)，
P2(cos β，－sin β)，P(cos (α＋β)，sin (α＋β))，
根据图象，可得2＝P1P22，
即|2|＝|P1P22|，
即[cos (α＋β)－1]2＋sin2(α＋β)＝(cosβ－cos α)2＋(sin β＋sin α)2.
即cos (α＋β)＝cos βcos α－sin βsin α.
(2)由(1)可得cos (α＋β)＝cos βcos α－sin β·sin α，①
cos (α－β)＝cos βcos α＋sin βsin α，②
由①＋②可得：2cos βcos α＝cos (α＋β)＋cos (α－β)，
所以cos βcos α＝[cos (α＋β)＋cos (α－β)]，
所以sin 37.5°cos 37.5°＝sin 75°＝cos 15°
＝cos (45°－30°)＝.

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