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苏教版高中数学必修第二册-10.1.2两角和与差的正弦
[A　基础达标]
1．sin 135°cos (－15°)＋cos 225°sin 15°＝(　　)
A．－　　 B．－
C． D．
2．已知角α的终边经过点(－3，4)，则sin 的值为(　　)
A．　　　 B．－
C． D．－
3．在△ABC中，若sin A cos C＝sin B，则△ABC的形状为(　　)
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．无法判断
4．已知tan α＝－，且α∈(0，π)，则sin ＝(　　)
A． B．
C． D．
5．已知α∈，β∈，sin β＝－，且cos (α－β)＝，则α的值为(　　)
A． B．
C． D．
6．cos 105°＋sin 195°的值为________．
解析：cos 105°＋sin 195°＝cos 105°＋sin (90°＋105°)　
＝2cos 105°＝2cos (90°＋15°)
＝2sin (－15°)＝2sin (30°－45°)
＝2(sin 30°cos 45°－cos 30°sin 45°)
＝2
＝.
7．已知cos (α－β)＝，sin β＝－，且α∈，β∈，则sin α＝________．
8．《无字证明》就是将数学命题和简单、有创意而且易于理解的几何图形呈现出来．请根据下图写出该图所验证的一个三角恒等变换公式：_____________.
9．化简下列各式：
(1)sin ＋2sin －cos ；
(2)－2cos (α＋β).
10．已知＜β＜α＜，cos (α－β)＝，sin (α＋β)＝－.
(1)求sin (α－β)和cos (α＋β)；
(2)求角α.
[B　能力提升]
11．(多选)下列对等式sin (α＋β)＝sin α＋sin β的描述正确的是(　　)
A．对任意的角α，β都成立
B．α＝β＝0时成立
C．只对有限个α，β的值成立
D．有无限个α，β的值使等式成立
12．对任意锐角α，β，下列不等关系中正确的是(　　)
A．sin (α＋β)＞sin α＋sin β
B．sin (α＋β)＞cos α＋cos β
C．cos (α＋β)＜sin α＋sin β
D．cos (α＋β)＜cos α＋cos β
13．设a＝(sin 56°－cos 56°)，b＝cos 50°cos 128°＋cos 40°cos 38°，c＝cos 80°，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．a＞b＞c B．b＞a＞c
C．c＞a＞b D．a＞c＞b
14．已知α∈，β∈，cos α＝，且cos (α－β)＝，则sin ＝________，cos β＝________．
[C　拓展探究]
15．已知关于x的方程x2＋(sin α＋cos β)x－(cos α＋sin β)2＝0有两个相等的实数根．
(1)求sin (α＋β)的值；
(2)若0＜α＜，π＜β＜，sin α＝，求sin β的值．
参考答案
[A　基础达标]
1．解析：选C．sin 135°cos (－15)°＋cos 225°sin 15°＝sin 45°cos 15°－cos 45°sin 15°＝sin (45°－15°)＝sin 30°＝，故选C．
2．解析：选C．因为角α的终边经过点(－3，4)，则sin α＝，cos α＝－，
所以sin ＝sin αcos ＋cos αsin ＝×－×＝.
3．解析：选C．因为sin A cos C＝sin B＝sin (A＋C)＝sin A cos C＋cos A sin C，
所以cos A sin C＝0，又0＜C＜π，所以sin C≠0，故cos A＝0，
因为0＜A＜π，所以A＝，即△ABC的形状为直角三角形．故选C．
4．解析：选B．因为tan α＝－，且α∈(0，π)，所以θ＝，
则sin θ＝，cos θ＝－，
故sin ＝＝sin α＋cos α＝，故选B．
5．解析：选B．因为β∈，sin β＝－，所以cos β＝，
因为α∈，β∈，所以α－β∈(0，π)，
因为cos (α－β)＝，所以sin (α－β)＝，
因为sin α＝sin [(α－β)＋β]＝sin (α－β)cos β＋cos (α－β)·sin β
＝×＋×＝，又α∈，所以α＝，故选B．
6．解析：cos 105°＋sin 195°＝cos 105°＋sin (90°＋105°)　
＝2cos 105°＝2cos (90°＋15°)
＝2sin (－15°)＝2sin (30°－45°)
＝2(sin 30°cos 45°－cos 30°sin 45°)
＝2
＝.
答案：
7．解析：由α∈，β∈得0＜α－β＜π，所以sin (α－β)＝，cos β＝，
从而sin α＝sin [(α－β)＋β]＝sin (α－β)cos β＋cos (α－β)·sin β
＝×＋×＝.
答案：
8．解析：令AC＝1，∠ACB＝α，∠BCE＝β，则BC＝cos α，AB＝sin α，
所以CE＝cos αcos β，
BE＝cos αsin β，
BF＝sin αcos β，
AF＝sin αsin β，
所以CD＝CE－DE＝CE－AF＝cos αcos β－sin αsin β，
AD＝EF＝BF＋BE＝sin αcos β＋cos αsin β，
在直角三角形ADC中，
CD＝cos (α＋β)·AC＝cos (α＋β)，
AD＝sin (α＋β)·AC＝sin (α＋β)，
所以cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β，
sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β.
答案：cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β(或sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β，答案不唯一，写出一个即可)
9．解：(1)原式＝sin x cos ＋cos x sin ＋2sin x cos －2cos x sin －cos cos x－sin sin x＝sin x＋cos x＋sin x－cos x＋cos x－sin x＝sin x＋cos x＝0.
(2)原式＝
＝
＝＝.
10．解：(1)由＜β＜α＜，得0＜α－β＜，sin (α－β)＞0，
所以sin (α－β)＝＝，
又因为π＜α＋β＜，则cos(α＋β)＜0，
所以cos (α＋β)＝－＝－.
(2)sin2α＝sin [(α＋β)＋(α－β)]＝sin (α＋β)·cos (α－β)＋cos (α＋β)sin (α－β)
＝－×＋×＝
－，因为π＜2α＜，所以2α＝，得α＝.
[B　能力提升]
11．解析：选BD．因为sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos α·sin β＝sin α＋sin β，
所以cos β＝1且cos α＝1可使等式成立，所以α＝β＝2kπ(k∈Z)，
因为k∈Z，所以α，β有无限多个，包含α＝β＝0，故B，D成立．
故选BD．
12．解析：选D．sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β，sin α，sin β，cos α，cos β∈(0，1)，可知A，B不正确；当α＝β＝15°时，cos (α＋β)＞sin α＋sin β可知C不正确，cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＜cos αcos β＜cos α＜cos α＋cos β，所以D正确，故选D．
13．解析：选B．a＝(sin 56°－cos 56°)＝sin (56°－45°)＝sin 11°，
b＝cos (90°－40°)cos (90°＋38°)＋cos 40°·cos 38°＝－sin 40°sin 38°＋cos 40°cos 38°＝cos 78°＝sin 12°，c＝cos 80°＝sin 10°，因为sin 12°＞sin 11°＞sin 10°，所以b＞a＞c，故选B．
14．解析：因为α为第四象限角，cos α＝，
所以sin α＝－＝－.
所以sin ＝sin α＋cos α＝×＋×＝.
因为α∈，β∈，
所以α－β∈(－π，0).
又因为cos (α－β)＝，
所以sin (α－β)＝－＝－.
所以cosβ＝cos [α－(α－β)]＝cos αcos (α－β)＋sin αsin (α－β)
＝×＋×＝.
答案：　
[C　拓展探究]
15．解：(1)因为方程x2＋(sin α＋cos β)x－(cos α＋sin β)2＝0有两个相等的实数根，
所以判别式Δ＝(sin α＋cos β)2＋4×(cos α＋sin β)2＝0，
所以sin2α＋2sinαcos β＋cos2β＋cos2α＋2cosα·sin β＋sin2β＝0，
即2＋2(sinαcos β＋cos αsin β)＝0，
所以sin (α＋β)＝－1.
(2)因为0＜α＜，sin α＝，所以cos α＝＝，
因为sin(α＋β)＝－1，所以cos (α＋β)＝0，
所以sin β＝sin [(α＋β)－α]＝sin (α＋β)cos α－cos (α＋β)sin α＝－.

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