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(共30张PPT)
第2课时　正弦定理
预 学 案
正弦定理
文字语言 在一个三角形中，各边和它所对角的________的比相等
符号语言
＝_______＝_______＝2R(R为△ABC外接圆的半径)
常见变形 a＝2R sin A，b＝________，c＝________，
sin A＝，sin B＝________，sin C＝________，
a∶b∶c＝____________________，＝2R
正弦
　
　
2R sin B
2R sin C
　
　
sin A∶sin B∶sin C
练习　
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)在△ABC中必有a sin A＝b sin B．(　　)
(2)在△ABC中，若a＞b，则必有sin A>sin B．(　　)
(3)在△ABC中，若sin A＝sin B，则必有A＝B.(　　)
×
√
√
2．在△ABC中，A＝，a＝2，b＝2，则B为(　　)
A． B． C．或 D．
答案：D
解析：由正弦定理得＝，＝，sin B＝1，
由于03．在△ABC中，已知b＝6，A＝45°，C＝75°，则a＝________．
2
解析：因为A＝45°，C＝75°，
所以B＝180°－45°－75°＝60°，
因此由正弦定理可知：＝ ＝ a＝2.
微点拨
(1)正弦定理对任意三角形都适用．
(2)正弦定理中的比值是一个定值，它的几何意义为三角形外接圆的直径．
(3)正弦定理是直角三角形对角关系的一个推广，正弦定理对任意三角形都成立，它的主要功能是实现三角形中边角关系的互化．
共 学 案
【学习目标】　
(1)了解正弦定理的推导过程．
(2)掌握正弦定理并会解三角形、判断三角形解的个数问题．
【问题探究】如图，在Rt△ABC中，A＝30°，斜边c＝2.
(1)试求△ABC其他的边和角，计算的值，从中你能发现什么结论吗？
(2)对于其他的直角三角形，此结论是否成立呢？是否能够猜测，此结论对于锐角和钝角三角形是否都成立呢？
提示：(1)C＝90°，B＝60°，a＝1，b＝；＝＝＝2；
(2)成立；成立．
题型 1 已知两角及一边解三角形
例1　在△ABC中，已知B＝30°，C＝105°，b＝4，解三角形．

解析：因为B＝30°，C＝105°，
所以A＝180°－(B＋C)＝180°－(30°＋105°)＝45°，
由正弦定理，得＝＝，
解得a＝＝4，c＝＝2()．
笔记
已知三角形的两角和任意一边解三角形时，可以先由三角形的内角和定理，计算出三角形的第三角，然后由正弦定理求出另外两边．
训练1　在△ABC中，内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若a＝2，A＝，B＝，则实数b的值等于(　　)
A． B．2
C．2 D．4
答案：C
解析：因为a＝2，A＝，B＝，由正弦定理＝可得b＝＝＝2.故选C.
题型 2 已知两边及其中一边的对角解三角形
例2　在△ABC中，已知B＝30°，b＝，c＝2，解这个三角形．
解析：由正弦定理，得sin C＝＝＝，
因为c＞b，B＝30°，所以30°＜C＜180°.
于是C＝45°，或C＝135°.
(1)当C＝45°时，A＝105°
此时a＝＝＝＝＝＝＋1.
(2)当C＝135°时，A＝15°，
此时a＝＝＝＝＝＝－1.
已知三角形的两边和其中一边的对角，
利用正弦定理解三角形的步骤
训练2　在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a＝4，b＝12，B＝60°，则A＝(　　)
A．30° B．30°或150°
C．60° D．60°或120°
答案：A
解析：因为a＝4，b＝12，B＝60°，所以由正弦定理可得sin A＝＝＝，因为在△ABC中，0°a，所以B>A，所以A＝30°.故选A.
题型 3 三角形解的个数的判断
例3　不解三角形，判断下列三角形解的个数．
(1)a＝5，b＝4，A＝120°；
(2)a＝9，b＝10，A＝60°；
(3)b＝72，c＝50，C＝135°.

解析：(1)由正弦定理＝，∴sin B＝sin A＝<，
∵A＝120°，∴B＝180°－(A＋C)＝60°－C<60°，
∴B只有一解，三角形解的个数为一解．
(2)由正弦定理＝，∴sin B＝sin A＝＝，
∴∵A＝60°，a∴B有两解，三角形解的个数为两解．
(3)∵b>c，∴B>C＝135°，∴B＋C>270°，
∴B无解，三角形无解．
笔记：
已知两边及其中一边的对角判断三角形解的个数的方法
(1)应用三角形中大边对大角的性质以及正弦函数的值域判断解的个数；
(2)在△ABC中，已知a，b和A，以点C为圆心，以边长a为半径画弧，此弧与除去顶点A的射线AB的公共点的个数即为三角形解的个数，解的个数见下表：
A为钝角 A为直角 A为锐角
a>b 一解 一解 一解
a＝b 无解 无解 一解
ab sin A 两解
a＝b sin A 一解
a训练3　(多选)记△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，则下列说法正确的是(　　)
A．若A＝60°，a＝9，b＝8，则△ABC有一解
B．若A＝30°，a＝3，b＝4，则△ABC有一解
C．若A＝60°，a＝15，b＝16，则△ABC有两解
D．若A＝45°，a＝，b＝，则△ABC有两解
答案：ACD
解析：因为sin B＝＝<1，又b因为sin B＝sin A＝>1，所以△ABC无解，B错误；
因为sin B＝sin A＝<1，又b>a，所以B可能为锐角，也可能为钝角，所以△ABC有两解，C正确；
因为sin B＝sin A＝，所以A＝60°或120°，所以△ABC有两解，D正确．故选ACD.
题型 4 判断三角形的形状
例4　在△ABC中，已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且＝，试判断△ABC的形状．
解析：由＝，及正弦定理，
得＝，即＝，
∴sin A cos A＝sin B cos B，
即sin 2A＝sin 2B.
∴2A＝2B或2A＋2B＝180°.
∴A＝B或A＋B＝90°.
∴△ABC是等腰三角形或直角三角形．
笔记：
判断三角形形状的方法
(1)判断三角形的形状，可以从考查三边的关系入手，也可以从三个内角的关系入手，从条件出发，利用正弦定理进行代换、转化，呈现出边与边的关系或求出角与角的关系或大小，从而作出准确判断．
(2)利用正弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论．在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．
(3)判断三角形的形状，主要看是否是正三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形或锐角三角形，要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别．
训练4　在△ABC中，若a cos B＝c，则△ABC的形状是(　　)
A．等边三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等腰直角三角形

答案：B
解析：因为a cos B＝c，所以sin A cos B＝sin C＝sin (A＋B)＝sin A cos B＋cos A sin B，所以cos A sin B＝0.因为sin B>0，所以cos A＝0.又因为0°随堂练习
1．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b＝，A＝45°，B＝60°，则a＝(　　)
A．1　　　 B．2 C．2　　　 D．
答案：D
解析：由正弦定理得＝，∴a＝＝＝.故选D.
2．在△ABC中，a＝，A＝45°，则△ABC外接圆的半径R等于(　　)
A．1　　　 B．2 C．4　　　 D．无法确定
答案：A
解析：在△ABC中，由正弦定理＝＝＝2R，∵a＝，A＝45°，∴＝＝2R，解得R＝1，故选A.
3．在△ABC中，若AB＝3，BC＝4，C＝30°，则此三角形解的情况是(　　)
A．有一解 B．有两解
C．无解 D．有解但解的个数不确定
答案：B
解析：∵BC sin C＝4sin 30°＝2，∴BC sin C4．在△ABC中，2BC·sin B cos B＝AC·sin A，则B＝________．
解析：在△ABC中，因为2BC·sin B cos B＝AC·sin A，由正弦定理可得2sin A sin B cos B＝sin B sin A，因为A，B，C∈(0，π)，所以sin B sin A>0，所以cos B＝，则B＝.
课堂小结
1.正弦定理的推导．
2．利用正弦定理解三角形及三角形解的个数的判断．
3．利用正弦定理判断三角形的形状．