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(共31张PPT)
7.1.1　数系的扩充和复数的概念
预 学 案
一、复数的有关概念
1．复数的定义
形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做________，其中i叫做________，满足i2＝________.
2．复数集
全体复数所构成的集合C＝{a＋bi|a，b∈R}叫做________．
3．复数的表示方法
复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，其中a叫做复数z的________，b叫做复数z的________．
复数
虚数单位
－1
复数集
实部
虚部
练习　1－i的实部等于________，虚部等于________．
1　
－1
解析：1－i的实部为1，虚部为－1.
二、复数相等的充要条件
在复数集C＝{a＋bi|a，b∈R}中任取两个数a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)，我们规定：a＋bi与c＋di相等当且仅当____________．
a＝c且b＝d
练习　若复数3＋4i＝3＋bi，i为虚数单位，则b＝(　　)
A．1　　　B．2　　　C．4　　　D．5
答案：C
解析：因为3＋4i＝3＋bi，所以b＝4.故选C.
三、复数的分类
1．复数z＝a＋bi(a，b∈R)
2．复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系
实数
虚数
a＝0
a≠0
练习　
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)若a，b为实数，则z＝a＋bi为虚数．(　　)
(2)复数i的实部不存在，虚部为0.(　　)
(3)bi是纯虚数．(　　)
(4)如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等．(　　)
×
×
×
√
2．在下列数中，属于虚数的是__________________________，属于纯虚数的是________．
0，1＋i，πi，＋2i，i，i.
1＋i，πi，＋2i，i，i
πi，i
解析：根据虚数的概念知：1＋i，πi，＋2i，i，i都是虚数；由纯虚数的概念知：πi，i都是纯虚数．
微点拨
(1)i与实数之间可以运算，亦适合加、减、乘的运算律．
(2)复数集是最大的数集，任何一个数都可写成a＋bi(a，b∈R)的形式，其中0＝0＋0i.
(3)复数a＋bi的实部、虚部不一定是a、b，只有当a∈R，b∈R时，a、b才是该复数的实部、虚部．

微点拨
(1)应用复数相等的充要条件时注意要先将复数化为z＝a＋bi(a，b∈R)的形式，即分离实部和虚部．
(2)只有当a＝c且b＝d的时候才有a＋bi＝c＋di，a＝c和b＝d有一个不成立时，就有a＋bi≠c＋di.
(3)由a＋bi＝0，a，b∈R，可得a＝0且b＝0.

微点拨
(1)两个虚数不能比较大小．
(2)a＝0是复数z＝a＋bi为纯虚数的必要不充分条件．
共 学 案
【学习目标】　
(1)了解引进虚数单位i的必要性，了解数系的扩充过程．
(2)理解在数系的扩充中的实数集扩展到复数集出现的一些基本概念．
(3)掌握复数代数形式的表示方法，理解复数相等的充要条件．
题型 1 复数的概念
【问题探究1】　(1)方程x2＋1＝0在实数范围内有解吗？若有一个新数i满足i2＝－1，试想方程x2＋1＝0有解吗？
(2)添加i之后，我们知道i2＝－1，i与原来的实数之间进行加法、乘法运算的时候，会产生怎样的新数？
提示：(1)没有解；有解x＝±i.
(2)若i与实数b相乘再与实数a相加，可得到形式为a＋bi的新数．
例1　已知复数(x＋y)＋(2－x)i的实部和虚部分别为3和4，则实数x和y的值分别是(　　)
A．2，－4 B．2，5
C．－2，4 D．－2，5
答案：D
解析：x，y∈R，复数(x＋y)＋(2－x)i的实部和虚部分别为3和4，因此解得x＝－2，y＝5，所以实数x和y的值分别是－2，5.故选D.
笔记
若z＝a＋bi，只有当a，b∈R时，a才是z的实部，b才是z的虚部，且注意虚部不是bi，而是b.
训练1　设i是虚数单位，若复数z＝3＋2a＋(2－3a)i的实部与虚部互为相反数，则实数a＝(　　)
A．5 B．－5
C．3 D．－3
答案：A
解析：∵复数z＝3＋2a＋(2－3a)i的实部与虚部互为相反数，∴3＋2a＝－(2－3a)，解得a＝5.故选A.
题型 2 复数的分类
【问题探究2】　(1)复数z＝a＋bi在什么情况下表示实数？
(2)如何利用集合关系表示实数集R和复数集C
提示：(1)b＝0.
(2)R?C.
例2　实数x分别取什么值时，复数z＝＋(x2－2x－15)i是(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？
解析：(1)当x满足即x＝5时，z是实数．
(2)当x满足即x≠－3且x≠5时，z是虚数．
(3)当x满足即x＝－2或x＝3时，z是纯虚数．
笔记
(1)利用复数的分类求参数时，应将复数化为代数形式z＝a＋bi(a，b∈R)．特别注意z为纯虚数，则b≠0，且a＝0.
(2)要注意确定使实部、虚部有意义的条件，再结合实部与虚部的取值求解．

训练2　实数m取什么值时，复数z＝m＋1＋(m－1)i是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．
解析：(1)当m－1＝0，即m＝1时，复数z是实数．
(2)当m－1≠0，即m≠1时，复数z是虚数．
(3)当即m＝－1时，复数z是纯虚数．
题型 3 复数相等的应用
【问题探究3】　我们知道集合相等，向量相等，都必须满足一定的条件．结合向量相等的条件，你能说出复数相等的充要条件是什么吗？
提示：a＋bi与c＋di相等当且仅当a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．
例3　设z1＝m2＋2＋(m2＋m－2)i，z2＝3m＋(m2－5m＋4)i，若z1＝z2，求实数m的值．
解析：由复数相等的条件可知解得m＝1.
一题多变　本例条件改为“z1＝m2＋1＋(m2＋m－2)i，z2＝4m＋2＋(m2－5m＋4)i，且z1解析：∵z1∴解得：m＝1；
当m＝1时，z1＝2，z2＝6，满足z1笔记
复数问题实数化是解决复数相等问题最基本的也是最重要的思想方法．
基本思路是：
(1)等式两边整理为a＋bi(a，b∈R)的形式；
(2)由复数相等可以得到由两个实数等式所组成的方程组；
(3)解方程组．
训练3　复数z1＝(2m＋7)＋(m2－2)i，z2＝(m2－8)＋(4m＋3)i，m∈R，若z1＝z2，求m.
解析：因为m∈R，z1＝z2，
所以(2m＋7)＋(m2－2)i＝(m2－8)＋(4m＋3)i.
由复数相等的充要条件得
解得m＝5.
随堂练习
1．已知复数z＝a2－(2－b)i的实部和虚部分别是2和3，则实数a，b的值分别是(　　)
A．，1 B．，5
C．±，5 D．±，1
答案：C
解析：令得a＝±，b＝5.故选C.
2．给出下列三个命题：(1)若z∈C，则z2≥0；(2)2i－1的虚部是2i；(3)2i的实部是0.其中正确命题的个数为(　　)
A．0个　　 B．1个 C．2个　　 D．3个
答案：B
解析：(1)错误，例如z＝i，则z2＝－1；(2)错误，因为2i－1虚部是2；(3)正确，因为2i＝0＋2i.故选B.
3．如果z＝m(m＋1)＋(m2－1)i为纯虚数，则实数m的值为(　　)
A．1 B．0
C．－1 D．－1或1
答案：B
解析：由题意知∴m＝0.故选B.
4．已知x2－y2＋2xyi＝2i，则实数x＝________，y＝________．
答案：±1　±1
解析：∵x2－y2＋2xyi＝2i，
∴解得或
课堂小结
1. 数系的扩充与复数的概念．
2．复数的分类．
3．复数相等的充要条件．

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