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浙江省宁波中学2024-2025学年高一下学期5月月考数学试题
一、单选题
1．水平放置的的斜二测直观图如图所示，已知，，则的面积为（ ）
A．6 B．3 C． D．
2．已知是两条不重合的直线，，，是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题：
①若则；
②若则；
③若则；
④若是异面直线，则．其中真命题是（ ）
A．①和② B．①和③ C．③和④ D．①和④
3．如图直四棱柱的体积为8，底面为平行四边形，的面积为，则点A到平面的距离为（　　）
A．1 B． C． D．2
4．如图，在正四棱锥中，分别是的中点，当点在线段上运动时，下列四个结论：
①；②；③平面；④平面.
其中恒成立的为（ ）
A．①③ B．③④ C．①② D．②③④
5．如图所示，在四边形中，，，，将四边形沿对角线BD折成四面体，使平面平面，则下列结论正确的是（　　）
A．
B．
C．与平面所成的角为
D．四面体的体积为
6．在三棱锥中，两两垂直，，则直线与平面所成角的正切值等于（ ）
A． B． C． D．
7．如图，到的距离分别是和，与所成的角分别是和，在内的射影长分别是和，若，则
A． B．
C． D．
8．如图，已知正三棱柱，E，F分别是棱上的点．记与所成的角为，与平面所成的角为，二面角的平面角为，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．，是不在平面内的任意两点，则（ ）
A．在内存在直线与直线异面
B．在内存在直线与直线相交
C．存在过直线的平面与垂直
D．在内存在直线与直线平行
10．已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，，，点C在底面圆周上，且二面角为45°，则（ ）．
A．该圆锥的体积为 B．该圆锥的侧面积为
C． D．的面积为
11．如图，正方体的棱长为，线段上有两个动点，且，则下列结论中正确的是（ ）
A．
B．直线与平面所成的角为定值
C．二面角的大小为定值
D．三棱锥的体积为定值
三、填空题
12．“米升子”是一种古代专司量米的量器，其形状是上大下小的正四棱台.将“米升子”装满后用手指或筷子沿升子口刮平叫“平升”.现有一“米升子”的缩小模型，上、下两面正方形的边长分别为5 cm和3cm，侧面与上面的夹角为，则该“米升子”模型“平升”的容积为
13．如图,二面角的大小是60°,线段.,与所成的角为30°.则与平面所成的角的正弦值是 .
14．已知正方形的边长为2，点为边的中点，点为边的中点，将分别沿折起，使三点重合于点，则三棱锥的外接球与内切球的表面积之比为 ．
四、解答题
15．如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形.已知，，，，.

（1）证明平面；
（2）求异面直线与所成的角的正切值；
（3）求二面角的正切值.
16．如下图，在三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，为的中点.
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）若四边形是正方形，且，求直线与平面所成角的正弦值.
参考答案
1．A
2．D
3．B
4．A
5．B
6．D
7．D
8．A
9．AC
10．AC
11．ACD
12．
13．
14．24
15．（1）证明：在中，由题设，可得.
于是.
在矩形中，.
又，平面，
所以平面.
（2）证明：由题设，，所以（或其补角）是异面直线与所成的角.
在中，由余弦定理得
由（1）知平面，平面，
所以，因而，于是是直角三角形，
故.
所以异面直线与所成的角的正切值为.
解法二：

由（1）可知，平面,平面，
所以平面平面，
作于M，交于点，
因为平面平面， 平面，
所以平面，
又平面，所以，
以M为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，
所以，，
设异面直线与所成的角为，
，则.
所以异面直线与所成的角的正切值为
（3）

过点M做于E，连接.
因为平面，平面，所以.
又，因而平面，
又平面，所以
从而是二面角的平面角.
由题设可得，
，，
，，
，
于是在中，.
所以二面角的正切值为.
解法二：由（2）知，.
设平面PBD的一个法向量为，
则，即，
令，则，
所以 ，
又平面的一个法向量可以是.
由图知二面角的大小为锐角，
所以，则
所以二面角的正切值为.
16．证法1：连结，设与相交于点，连接，则为中点，
为的中点，∴
∴.
【证法2：取中点，连接和，
平行且等于，∴四边形为平行四边行
∴
，
∴，
同理可得
∴
又
∴.
（Ⅱ），∴
又，∴
又∴
法一：设的中点为，的中点为，以为原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立空间直角坐标系.
则.
∴，
平面的一个法向量，
.
所以直线与平面所成角的正弦值为.
【法二：取的中点，连结，则
，故，∴
，∴
延长相交于点，连结，
则为直线与平面所成的角.
因为为的中点，故，又
∴
即直线与平面所成的角的正弦值为.】
【法三：取的中点，连结，则
，故，∴
，∴
取中点，连结，过点作，则，
连结，，
∴为直线与平面所成的角，
即直线与平面所成的角的正弦值为.】

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